Примеры систем счисления: Системы счисления – примеры, таблица, обозначение (9 класс, информатика)

Примеры непозиционных систем — Системы счисления

Расшифровка системы счисления, созданной в Египте во времена первой династии (ок. 2850 до н.э.), была существенно облегчена тем, что иероглифические надписи древних египтян были аккуратно вырезаны на каменных монументах. Из этих надписей стало известно, что древние египтяне использовали только десятичную систему счисления. Единицу обозначали одной вертикальной чертой, а для обозначения чисел, меньших 10, нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов.
Чтобы записанные таким образом числа было легко узнавать, вертикальные штрихи иногда объединялись в группы из трех или четырех черт. Для обозначения числа 10, основания системы, египтяне вместо десяти вертикальных черт ввели новый коллективный символ, напоминающий по своим очертаниям подкову или крокетную дужку. Множество из десяти подковообразных символов, т.е. число 100, они заменили другим новым символом, напоминающим силки; десять силков, т.е. число 1000, египтяне обозначили стилизованным изображением лотоса. Продолжая в том же духе, египтяне обозначили десять лотосов согнутым пальцем, десять согнутых пальцев – волнистой линией и десять волнистых линий – фигуркой удивленного человека. 

В итоге древние египтяне могли представлять числа до миллиона. 

Римская система счисления
Для записи чисел в римской системе счисления используются буквы латинского алфавита. 

Например, число 264 записывается в виде CCLXIV. 

При записи чисел в римской системе счисления значением числа является алгебраическая сумма цифр, в него входящих. При этом цифры в записи числа следуют, как правило, в порядке убывания их значений, и не разрешается записывать рядом более трех одинаковых цифр.

В том случае, когда за цифрой с большим значением следует цифра с меньшим, ее вклад в значение числа в целом является отрицательным. 

1. IV  — 4 
2. VI—6 
3. LX— 60
4.  XC—90 

Древнегреческая система счисления
 В древнейшее время в Греции была распространена так называемая Аттическая система счисления, название происходит от области Греции – Аттики со столицей Афины. 

Данная система неудобная в выполнении вычислений. 

Системы счисления. Позиционная и непозиционная системы счисления

☰

Систему счисления можно определить как способ записи чисел как количественной характеристики (отвечает на вопрос «сколько») чего-либо. Синонимом понятию «система счисления» является слово «нумерация».

В любой системе счисления числа записываются с помощью специальных, используемых в данной системе знаков-символов, которые все вместе формируют алфавит этой системы счисления. Пользуясь десятичной системой счисления мы привыкли называть символы ее алфавита цифрами.

Одно и тоже число (значение, количество) можно представить в различных системах счисления. Представление числа при этом различно, а значение остается неизменным.

Широко известны две системы счисления – арабская и римская.

Алфавит арабской системы счисления:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Арабская система счисления – это позиционная система счисления.

Алфавит римской системы счисления:

I, V, X, L, C, D, M

Римская система счисления относится к непозиционным.

В позиционных системах счисления количество, обозначаемое цифрой в числе, зависит от ее позиции, в непозиционных такой однозначной зависимости нет. Например:

• 11 – здесь первая единица обозначает десять количественных единиц, вторая – только одну единицу.

• II – здесь обе единицы обозначают одну единицу.

• 345, 259, 521 – здесь цифра 5 в первом случае обозначает 5 единиц, во втором – 50, в третьем – 500.

• XXV, XVI, VII – здесь, где бы ни стояла цифра V, она везде обозначает пять единиц. Другими словами, величина, обозначаемая знаком V, не зависит от его позиции.

Сложение, умножение и другие математические операции в позиционных системах счисления выполнить легче, так как они легко описываются с помощью универсальных алгоритмов. Например, умножение в столбик или поразрядное сравнение двух чисел.

В связи с этим позиционные системы счисления нашли более широкое распространение. Помимо всем известной десятичной, в которой используются десять цифр от 0 до 9, в вычислительных технике и технологиях нашли применение такие системы как двоичная (алфавит состоит из цифр 0 и 1), восьмеричная (алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) и шестнадцатеричная (алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

Следует отметить, важную роль нуля. Открытие этой цифры в истории человечества сыграло большое значение в формировании позиционных систем счисления.

Ключевые понятия позиционных систем счисления

Основание системы счисления – это количество знаков, которое используется для записи цифр. Так основанием десятичной системы счисления является число десять, так как ее алфавит состоит из десяти знаков. Основание двоичной системы счисления является число два.

Основание системы счисления равно размерности алфавита системы счисления. Размерность алфавита – это количество цифр, составляющих алфавит.

Разряд – это позиция цифры в числе. От того, в каком месте числа находится цифра, зависит обозначаемое ею количество, то есть то, что она значит.

Разрядность числа – количество цифр, из которых состоит число. Например, 264 – трехразрядное число в десятичной системе счисления, 00010101 – восьмиразрядное число в двоичной системе счисления. Разряды нумеруются справа налево. Например, в числе 598 восьмерка занимает первый разряд, а пятерка – третий.

В позиционных системах счисления числа записываются таким образом, что каждый следующий при движении справа налево разряд больше другого на одну степень основания системы счисления

Другими словами, у каждого разряда есть свой вес, представляющий собой основание системы счисления, возведенное в степень, соответствующую данному разряду. Показатель степени соотносится с разрядом как разряд-1. Например, в примере десятичного числа ниже цифра 8 находится в четвертом разряде числа. Значит, обозначаемое ею количество вычисляется вычисляется как произведение числа 8 на основание системы счисления (здесь 10) в степени 3.

8325 = 8 * 1000 + 3 * 100 + 2 * 10 + 5

8325 = 8 * 10³ + 3 * 10² + 2 * 10¹ + 5 * 10⁰

Унарная система счисления

Определение 1

Унарная система счисления — это непозиционная система счисления, состоящая из одной цифры, которая обозначает единицу.

Введение

Ещё с древности человека стали интересовать числа. Люди подсчитывали число дней в году, количество созвездий в небе, различные финансовые траты на сооружение строений, обустройство дорог и тому подобное. Без всякой натяжки возможно считать, что цифры заложены в основание жизнедеятельности человека практически любого вида. Для выполнения каких-либо математических расчётов, нужно обладать соответствующей системой и научиться её использовать.

Определение 2

Под системой счисления понимается набор символов и законов формирования на их базе числовых значений и осуществления арифметических действий.

Помощь со студенческой работой на тему

Таким образом, применяя систему счисления, возможно производить разные вычислительные процедуры и в финале сформировать итог разрешения сформулированной задачи в форме числового значения. Очень важна в разных системах счисления форма выражения числовых значений. Можно разделить возможные форматы чисел на позиционные и непозиционные.

Для позиционного представления чисел, вес каждой цифры определяется её позицией в числовом выражении. Для непозиционного формата числа положение цифры в общем «списке» символов числа не имеет значения.

К примеру, общепринятая десятичная форма представления числа — это позиционная система. Например, число 33 состоит из единиц и десятков. То есть первая слева тройка означает три десятка, а вторая тройка это три единицы. Классический пример непозиционной системы — это латинские цифровые обозначения. Например, число «XVIII» расшифровывается как сумма всех входящих в него знаков. То есть: X + V + I + I + I = 18. В такой системе меняется лишь знак операции (сложение или вычитание) при подсчёте суммарного значения. Если меньшая цифра стоит перед большей, то она из неё вычитается. К примеру, XI = X + I = 11, но IX = X — I = 9, в данном случае буквы «X» и «I» обозначают цифры 10 и 1 соответственно.

Унарная система счисления

Определение 3

Под унарной системой счисления понимается метод отображения числовых значений, основанный на единственном цифровом символе.

Выходит, что она является наиболее простой системой счисления из всех ныне известных и существующих. Термин унарная происходит от латинского unum — «один» и как раз и означает наличие в основании всего одной цифры. Эту цифру в качестве примера обозначим как символ «|». Для представления какого-либо числа компонентов N в унарной системе счисления, необходимо просто в ряд записать необходимое количество выбранного цифрового символа. К примеру, число восемь будет выглядеть так: IIIIIIII.

Приведённый пример с очевидностью показывает, что при возрастании числа компонентов, нужно будет для их отображения записать большое количество символов, что конечно не очень удобно. По этой причине были придуманы разные методы, позволяющие упростить представление чисел в унарной системе счисления. Один из таких распространённых способов считается отображение пятёрками. Имеется ввиду группирование пяти компонентов соответствующим образом с применением «палочек». Например, во Франции и Бразилии эта группа чисел представлена в виде квадрата с диагональю: «|» — это число один, «L» (две «палочки») — число два, «U» (три «палочки») – число три, проведя черту сверху «U», получаем квадрат (число 4), наконец, «|», используемая в качестве диагонали квадрата, будет заканчивать формирование цифры пять.

Согласно данным историков, неизвестны древние цивилизации, которые бы применяли такую примитивнейшую систему для вычислительных операций, однако подтверждён такой факт, что унарная система счисления была положена в основу почти всех представлений о числах в древние времена. В качестве примера можно взять древний Египет. Там унарную систему применяли, чтобы считать от одного до десяти, а далее прибавляли новое обозначение для десятков и считали дальше, суммируя палочки. Когда счёт достигал сотен, опять применялся новый необходимый знак, и продолжали далее. Римская система тоже в своей основе имела унарную систему. Правильность такого вывода можно подтвердить, взглянув на первые три цифры: I, II, III. Истоки унарных систем счисления можно найти и у цивилизаций востока. Например, чтобы посчитать что-либо древние китайцы, японцы и корейцы по аналогии с римской системой, вначале применяли унарные методы счёта, а впоследствии добавляли новую символику.

Примеры применения унарной системы

Невзирая на очень простую структуру, унарные принципы используются и сегодня при осуществлении определённого класса вычислительных процедур. Обычно, эта система обнаруживает свою простоту и полезность в применении в тех случаях, когда не имеет значения финальное число компонентов, и требуется производить процесс счёта просто путём прибавления или вычитания одного компонента. Можно привести следующие примеры использования унарной системы счисления:

1. Обычный процесс счёта на пальцах.
2. Подсчитывание числа людей, посетивших какую-то организацию за определённый временной интервал.
3. Операция подсчёта количества голосов на выборах в какую-либо структуру власти.
4. Первоклассников обучают процедуре счёта и простым арифметическим действиям как раз с применением унарной системы посредством разноцветных палочек.
5. В информационных дисциплинах унарная система счисления применяется для разрешения отдельных проблем, к примеру, вычислительной сложности. Чтобы это сделать, необходимо привести числовое значение к унарному виду, поскольку тогда его легко можно представить в виде составляющих элементов, каждый из которых можно обрабатывать параллельными вычислениями на компьютере.

Достоинства и недостатки унарных систем

Основное достоинство мы обозначили немного выше, и оно состоит в применении всего единственного знака («|») для выражения любого числа компонентов. Помимо этого, унарное представление чисел позволяет крайне просто производить арифметические операции. Однако недостатки унарной системы счисления имеют существенно больший вес, чем достоинства. Например, отсутствие ноля становится большой преградой для математических вычислений.

1.3. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. — Основы информатики

1.3.1.ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ.

Все фантастические возможности вычислительной техники (ВТ) реализуются путем создания разнообразных комбинаций сигналов высокого и низкого уровней, которые условились называть «единицами» и «нулями».

Система счисления(СС) — это система записи чисел с помощью определенного набора цифр.CС называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различное значение, которое определяется ее местом в числе. Десятичная СС является позиционной: 999.Римская СС является непозиционной. Значение цифры Х в числе ХХІ остается неизменным при вариации ее положения в числе.Количество различных цифр, употребляемых в позиционной СС, называется основанием СС.

Развернутая форма числа — это запись, которая представляют собой сумму произведений цифр числа на значение позиций.

Например: 8527=8*10³+5*10²+2*10¹+7*10⁰

Развернутая форма записи чисел произвольной системы счисления имеет вид

, где

X — число;
a — основа системыисчисления;
i — индекс;
m — количество разрядов числа дробной части;
n — количество разрядов числа целой части.

Например: 327.46 n=3, m=2, q=10

Если основание используемой СС больше десяти, то для цифр вводят условное обозначение со скобкой вверху или буквенное обозначение.

Например: если 10=А, а 11=В, то число 7А.5В₁₂ можно расписать так:

7А.5В₁₂ = В·12^-2 + 5 ·2^-1 +А ·12⁰ + 7 ·12¹.

В шестнадцатеричной СС основа — это цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 с соответствующими обозначениями 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. Примеры чисел: 17D.ECH, F12AH.

ДвоичнаяСС— это система, в которой для записи чисел используются две цифры 0 и 1. Основанием двоичной системы счисления является число 2.

Двоичный код числа — запись этого числа в двоичной системе счисления. Например,

0=0₂
1=1₂
2=10₂
3=11₂ …
7=111₂
120=1111000₂.

В ВТ применяют позиционные СС с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную. Для обозначения используемой СС число снабжают верхним или нижним индексом, в котором записывают основание СС. Другой способ – использование латинских букв после записи числа:

D – десятичная СС
В – двоичная СС
О – восьмеричная СС
Н – 16-ричная СС.

Несмотря на то, что 10-тичная СС имеет широкое распространение, цифровые ЭВМ строятся на двоичных элементах, т.к. реализовать элементы с 10 четко различимыми состояниями сложно. Историческое развитие ВТ сложилось таким образом, что ЭВМ строятся на базе двоичных цифровых устройств: триггеров, регистров, счетчиков, логических элементов и т.д.

16-ричная и 8-ричная СС используются при составлении программ на языке машинных кодов для более короткой и удобной записи двоичных кодов – команд, данных, адресов и операндов.

Задача перевода из одной СС в другую часто встречается при программировании, особенно, на языке Ассемблера. Например, при определении адреса ячейки памяти. Отдельные стандартные процедуры языков программирования Паскаль, Бейсик, Си, HTML требуют задания параметров в 16-ричной СС. Для непосредственного редактирования данных, записанных на жесткий диск, также необходимо умение работать с 16-ричными числами. Отыскать неисправность в ЭВМ невозможно без представлений о двоичной СС.

В таблице приведены некоторые числа, представленные в различных СС.

1.3.2. ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СС В ДЕСЯТИЧНУЮ И ОБРАТНО.

Перевод чисел из произвольной системы в десятичную. Для перевода числа из любой позиционной СС в десятичную необходимо использовать развернутую форму числа, заменяя, если это необходимо, буквенные обозначения соответствующими цифрами. Например:

1101₂=1*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰=13₁₀

17D.ECH=12·16^-2 + 14·16^-1 +13·16⁰ + 7·16¹ + 1·16²=381.921875

Перевод чисел из десятичной СС в заданную.

1) Для преобразования целых чисел десятичной системы счисления в число любой системы счисления последовательно выполняют деление нацело на основание СС, пока не получат нуль. Числа, которые возникают как остаток от деления на основание СС, представляют собой последовательную запись разрядов числа в выбранной СС от младшего разряда к старшему. Поэтому для записи самого числа остатки от деления записывают в обратном порядке.

Например:

Читая остатки от деления снизу вверх, получим 111011011.

Проверка:

1*2⁸+1*2⁷+1*2⁶+0*2⁵+1*2⁴+1*2³+0*2 ²+1*2¹+1*2⁰=1+2+8+16+64+128+256=475₁₀.

2) Для преобразования десятичных дробей десятичной СС в число любой СС последовательно выполняют умножение на основание системы счисления , пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Полученные целые части являются разрядами числа в новой системе, и их необходимо представлять цифрами этой новой системы счисления. Целые части в дальнейшем отбрасываются.

Например: перевести число 0.375 ₁₀ в двоичную СС.

Полученный результат — 0.011₂.

Необходимо отметить, что не каждое число может быть точно выражено в новой системе счисления, поэтому иногда вычисляют только требуемое количество разрядов дробной части, округляя последний разряд.

1.3.3. ПЕРЕВОД МЕЖДУ ОСНОВАНИЯМИ, СОСТАВЛЯЮЩИМИ СТЕПЕНЬ 2.

Для того, чтобы из восьмеричной системы счисления перевести число в двоичный код, необходимо каждую цифру этого числа представить триадой двоичных символов. Лишние нули в старших разрядах отбрасываются.

Например:

1234.777₈ = 001 010 011 100.111 111 111₂ = 1 010 011 100.111 111 111₂

1234567₈ = 001 010 011 100 101 110 111₂ = 1 010 011 100 101 110 111₂

Обратный перевод: каждая триада двоичных цифр заменяется восьмеричной цифрой, при этом, если необходимо, число выравнивается путем дописывания нулей перед целой частью или после дробной.

Например:

1100111₂ = 001 100 111₂ = 147₈

11.1001₂ = 011.100 100₂ = 3.44₈

110.0111₂ = 110.011 100₂ = 6.34₈

При переводах между двоичной и шестнадцатеричной СС используются четверки цифр. При необходимости выравнивание выполняется до длины двоичного числа, кратной четырем.

Например:

1234.AB77₁₆ = 0001 0010 0011 0100.1010 1011 0111 0111₂ =1 0010 0011 0100.1010 1011 0111 0111₂

CE4567₁₆ = 1100 1110 0100 0101 0110 0111₂

0.1234AA₁₆ = 0.0001 0010 0011 0100 1010 1010₂

1100111₂ = 0110 0111₂ = 67₁₆

11.1001₂ = 0011.1001₂ = 3.9₁₆

110.0111001₂ = 0110.0111 0010₂ = 65.72₁₆

При переходе из восьмеричного счисления в шестнадцатеричное счисление и обратно используется вспомогательный двоичный код числа.

Например:

1234567₈ = 001 010 011 100 101 110 111₂ = 0101 0011 1001 0111 0111₂ = 53977₁₆

0.12034₈ = 0.001 010 000 011 100₂ = 0.0010 1000 0011 1000₂ = 0.2838₁₆

120.34₈ = 001 010 000. 011 100₂ = 0101 0000.0111 0000₂ = 50.7₁₆

1234.AB77₁₆ = 0001 0010 0011 0100.1010 1011 0111 0111₂ =

= 001 001 000 110 100.101 010 110 111 011 100₂ = 11064.526734₈

CE4567₁₆ = 1100 1110 0100 0101 0110 0111₂ = 110 011 100 100 010 101 100 111₂ = 63442547₈

0.1234AA₁₆ =0.0001 0010 0011 0100 1010 1010₂ =0.000 100 100 011 010 010 101 010₂ =0.04432252₈

Перевод чисел в позиционных системах счисления_8 класс_Урок информатики

основание, примеры и перевод в другие системы счисления

С того момента, как человек впервые осознал себя автономным объектом в мире, огляделся вокруг, прервав замкнутый круг бездумного выживания, он начал изучать. Смотрел, сравнивал, считал, делал выводы. Именно на этих, казалось бы, элементарных действиях, которые сейчас под силу и ребенку, начали основываться современные науки.

С чем работать будем?

Для начала необходимо определиться с тем, что вообще представляет собой система счисления. Это условный принцип записи чисел, их наглядное представление, которое упрощает процесс познания. Сами по себе числа не существуют (да простит нас Пифагор, который считал число основой мироздания). Это просто абстрактный объект, что имеет физическое обоснование лишь при вычислениях, своеобразное мерило. Цифры — объекты, из которых число составляется.

Начало

Первый осознанный счет носил самый примитивный характер. Теперь его принято называть непозиционной системой счисления. На практике она представляет собой число, в которых позиция составляющих его элементов неважна. Взять, к примеру, обыкновенные черточки, каждая из которых соответствует определенному объекту: три человека эквивалентны |||. Как ни крути, три черточки — это все те же три черточки. Если брать более близкие примеры, то древние новгородцы пользовались при счете славянским алфавитом. При необходимости выделения именно числа над буквой просто проставляли знак ~. Также буквенная система счисления была в почете у древних римлян, где числа – это опять же буквы, но принадлежащие уже латинскому алфавиту.

В силу обособленности древних держав, каждая из них развивала науку самостоятельно, кто во что горазд. Примечателен тот факт, что альтернативная десятичная система счисления была выведена еще египтянами. Однако «родственницей» привычного нам понятия считать ее нельзя, так как принцип счета отличался: жители Египта использовали число десять как основание, оперируя степенями.

С развитием и усложнением процесса познания мира появилась потребность выделения разрядов. Представим, что нужно как-то зафиксировать численность армии государства, которая измеряется тысячами (в лучшем случае). Что ж теперь, бесконечно выписывать палочки? Из-за этого шумерские ученые тех лет выделили систему счисления, в которой месторасположение символа было обусловлено его разрядом. Опять же, пример: числа 789 и 987 имеют один и тот же «состав», но, в силу смены расположения цифр, второе существенно больше.

Что это такое — десятичная система счисления? Обоснование

Конечно, позиционность и закономерность были не едиными для всех методов подсчета. Например, в Вавилоне базой выступало число 60, в Греции — алфавитная система (число составляли буквы). Примечательно то, что метод подсчета жителей Вавилона жив и по сей день — он нашел свое место в астрономии.

Однако прижилась и распространилась та, у которой основание системы счисления — десятка, так как прослеживается откровенная параллель с пальцами человеческих рук. Посудите сами — поочередно сгибая пальцы, можно досчитаться чуть ли не до бесконечного множества.

Начало этой системе было положено в Индии, причем она появилась сразу на базе «10». Формирование названий чисел было двояким – например, 18 можно было прописать словом и как «восемнадцать», и как «без двух двадцать». Также именно индийские ученые вывели такое понятие, как «ноль», официально его появление зафиксировано в IX веке. Именно этот шаг стал основополагающим в формировании классических позиционных систем счисления, потому что ноль, несмотря на то, что символизирует пустоту, ничто, способен поддержать разрядность числа, дабы оно не потеряло свой смысл. Например: 100000 и 1. Первое число включает в себя 6 цифр, первая из которых – единица, а пять последних обозначают пустоту, отсутствие, а второе число – просто единица. По логике, они должны быть равны, но на практике это далеко не так. Нули в 100000 обозначают присутствие тех разрядов, которых во втором числе нет. Вот вам и «ничто».

Современность

Десятичная система счисления состоит из цифр от нуля до девяти. Числа, составленные в её рамках, строятся по следующему принципу:

крайняя справа цифра обозначает единицы, сместитесь на один шаг влево – получите десятки, еще шаг влево – сотни и так далее. Сложно? Ничего подобного! На самом деле, десятичная система примеры может предоставить весьма наглядные, взять хотя бы число 666. Состоит из трех цифр 6, каждая из которых обозначает свой разряд. Причем эта форма записи является свернутой. Если вы хотите подчеркнуть, о каком именно числе идет речь, то его можно развернуть, придав письменную форму тому, что «проговаривает» ваш внутренний голос каждый раз, когда вы видите число – «шестьсот шестьдесят шесть». Само написание включает в себя все те же единицы, десятки и сотни, то есть каждая цифра позиции умножается на определенную степень числа 10. Развернутая форма представляет собой следующее выражение:

666₁₀ = 6х10² + 6*10¹ + 6*10⁰ = 600 + 60 + 6.

Актуальные альтернативы

Второй по популярности после десятичной системы счисления является достаточно молодая разновидность — двоичная (бинарная). Появилась она благодаря вездесущему Лейбницу, который считал, что в особо сложных случаях в исследовании теории чисел бинарность будет удобнее, нежели десятизначность. Свое повсеместное распространение она получила с развитием цифровых технологий, так как имеет в основании число 2, и элементы в ней составляются из цифр 1 и 2. Кодирование информации происходит в данной системе, так как 1 — наличие сигнала, 0 — его отсутствие. На основании этого принципа можно показать несколько наглядных примеров, демонстрирующих перевод в десятичную систему счисления.

С течением времени процессы, связанные с программированием, усложнялись, поэтому ввели способы записи чисел, у которых в основании лежат 8 и 16. Почему именно они? Во-первых, количество знаков больше, а значит, само число будет короче, во-вторых — в их основе лежит степень двойки. Восьмеричная система состоит из цифр 0-7, а шестнадцатеричная — из тех же цифр, что и десятичная, плюс буквы от A до F.

Принципы и методы перевода числа

Перевести в десятичную систему счисления просто, достаточно придерживаться следующего принципа: исходное число записывается как многочлен, который состоит из сумм произведений каждого числа на основу «2», возведенную в соответствующую разрядности степень.

Основная формула для вычисления:

_x2 = y_k2^k-1 + y_k-12^k-2 + y_k-22^k-3 + …+ y₂2¹ + y₁2⁰.

Примеры перевода

Для закрепления рассмотрим несколько выражений:

101111₂ = (1×2⁵) + (0x2⁴) + (1×2³) + (1×2²) + (1×2¹) + (1×2⁰) = 32 + 8 + 4 + 2 + 1 = 47₁₀.

Усложним задачу, ибо система включает в себя перевод и дробных чисел, для этого рассмотрим отдельно целую и отдельно дробную часть — 111110,11_2. Итак:

111110,11₂ = (1×2⁵) + (1×2⁴) + (1×2³) + (1×2²) + (1×2¹) + (0x2⁰) = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 = 62₁₀;

11₂ = 2^-1x1 + 2^-2x1 = 1/2 + 1/4 = 0,75_10.

В итоге получаем, что 111110,11₂ = 62,75₁₀.

Вывод

Несмотря на всю «древность», десятичная система счисления, примеры которой мы рассмотрели выше, все еще «на коне», и списывать ее со счетов не стоит. Именно она становится математической основой в школе, на ее примере познаются законы математической логики, выводится умение строить выверенные взаимосвязи. Да что уж там — практически весь мир пользуется именно этой системой, не смущаясь ее неактуальностью. Причина для этого одна: она удобная. В принципе, вывести основу счета можно любую, ею при необходимости станет даже яблоко, но зачем усложнять? Идеально выверенное количество цифр при необходимости и по пальцам пересчитать можно.

Перевод из одной системы счисления в другую

Для перевода чисел из одной системы счисления в другую необходимо владеть основными сведениями о системах счисления и форме представления чисел в них.

Количество s различных цифр, употребляемых в системе счисления, называется основанием, или базой системы счисления. В общем случае положительное число X в позиционной системе с основанием s может быть представлено в виде полинома:

где s — база системы счисления, — цифры, допустимые в данной системе счисления . Последовательность образует целую часть X, а последовательность — дробную часть X.

В вычислительной технике наибольшее применение нашли двоичная (BIN — binary), и двоично кодированные системы счисления: восьмеричная (OCT — octal), шестнадцатеричная (HEX — hexadecimal) и двоично-кодированная десятичная (BCD — binary coded decimal).

В дальнейшем для обозначения используемой системы счисления число будет заключаться в скобки, а в индексе указано основание системы. Число X по основанию s будет обозначено .

Если Вам не нужно углубляться в теорию, а нужно лишь получить результат, то воспользуйтесь Калькулятором онлайн Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другие системы.

Основанием системы счисления служит число 2 (s = 2) и для записи чисел используются только две цифры: 0 и 1. Чтобы представить любой разряд двоичного числа, достаточно иметь физический элемент с двумя чётко различными устойчивыми состояниями, одно из которых изображает 1, а другое 0.

Прежде чем заняться переводом из любой системы счисления в двоичную, нужно внимательно изучить пример записи числа в двоичной системе счисления:

Если Вам не нужно углубляться в теорию, а нужно лишь получить результат, то воспользуйтесь Калькулятором онлайн Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другие системы.

Эти системы счисления относятся к двоично-кодированным, в которых основание системы счисления представляет собой целую степень двойки: — для восьмеричной и — для шестнадцатеричной.

В восьмеричной системе счисления(s = 8) используются 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Прежде чем заняться переводом из любой системы счисления в восьмеричную, нужно внимательно изучить пример записи числа в восьмеричной системе:

В шестнадцатеричной системе счисления (s = 16) используются 16 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Пример записи числа в шестнадцатеричной системе:

Широкое применение восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления обусловлено двумя факторами.

Во-первых, эти системы позволяют заменить запись двоичного числа более компактным представлением (запись числа в восьмеричной и шестнадцатеричной системах будет соответственно в 3 и 4 раза короче двоичной записи этого числа). Во-вторых, взаимное преобразование чисел между двоичной системой с одной стороны и восьмеричной и шестнадцатиречной — с другой осуществляется сравнительно просто. Действительно, поскольку для восьмеричного числа каждый разряд представляется группой из трёх двоичных разрядов (триад), а для шестнадцатеричного — группой из четырёх двоичных разрядов (тетрад), то для преобразования двоичного числа достаточно объединить его цифры в группы по 3 или 4 разряда соответственно, продвигаясь от разделительной запятой вправо и влево. При этом, в случае необходимости, добавляют нули слева от целой части и/или справа от дробной части и каждую такую группу — триаду или тетраду — заменяют эвивалентной восьмеричной или шестнадцатеричной цифрой (см. таблицу).

Если Вам не нужно углубляться в теорию, а нужно лишь получить результат, то воспользуйтесь Калькулятором онлайн Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другие системы.

Для обратного перевода каждая OCT или HEX цифра заменяется соответственно триадой или тетрадой двоичных цифр, причём незначащие нули слева и справа отбрасываются.

Для рассмотренных ранее примеров это выглядит следующим образом:

Если Вам не нужно углубляться в теорию, а нужно лишь получить результат, то воспользуйтесь Калькулятором онлайн Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другие системы.

В двоично-десятичной системе вес каждого разряда равен степени 10, как в десятичной системе, а каждая десятичная цифра кодируется четырьмя двоичными цифрами. Для записи десятичного числа в BCD-системе достаточно заменить каждую десятичную цифру эквивалентной четырёхразрядной двоичной комбинацией:

Любое десятичное число можно представить в двоично-десятичной записи, но следует помнить, что это не двоичный эквивалент числа. Это видно из следующего примера:

Пусть X — число в системе счисления с основанием s, которое требуется представить в системе с основанием h. Удобно различать два случая.

В первом случае и, следовательно, при переходе к основанию h можно использовать арифметику этой системы. Метод преобразования состоит в представлении числа в виде многочлена по степеням s, а также в вычислении этого многочлена по правилам арифметики системы счисления с основанием h. Так, например, удобно переходить от двоичной или восьмеричной системы счисления к десятичной. Описанный приём иллюстрируют следующие примеры:

.

.

В обоих случаях арифметические действия выполняются по правилам системы счисления с основанием 10.

Во втором случае () удобнее пользоваться арифметикой по основанию s. Здесь следует учитывать, что перевод целых чисел и правильных дробей производится по различным правилам. При переводе смешанных дробей целая и дробная части переводятся каждая по своим правилам, после чего полученные числа записываются через запятую.

Перевод целых чисел

Правила перевода целых чисел становится ясным из общей формулы записи числа в произвольной позиционной системе. Пусть число в исходной системе счисления s имеет вид . Требуется получить запись числа в системе счисления с основанием h:

.

Для нахождения значений разделим этот многочлен на h:

.

Как видно, младший разряд , то есть , равен первому остатку. Следующий значащий разряд определяется делением частного на h:

.

Остальные также вычисляются путём деления частных до тех пор, пока не станет равным нулю.

Для перевода целого числа из s-ичной системы счисления в h-ичную необходимо последовательно делить это число и получаемые частные на h (по правилам системы счисления с основанием h) до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Старшей цифрой в записи числа с основанием h служит последний остаток, а следующие за ней цифры образуют остатки от предшествующих делений, выписываемые в последовательности, обратной их получению.

Пример 1. Перевести число 75 из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы.

Решение:

Если Вам не нужно углубляться в теорию, а нужно лишь получить результат, то воспользуйтесь Калькулятором онлайн Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другие системы.

Перевод правильных дробей

Правильную дробь , имеющую в системе с основанием s вид , можно выразить в системе счисления с основанием h как многочлен вида

Старшая цифра может быть найдена умножением этого многочлена на h, т.е.

Если это произведение меньше 1, то цифра равна 0, если же оно больше или равно 1, то цифра равна целой части произведения. Следующая цифра справа определяется путём умножения дробной части указанного выше произведения на h и выделения его целой части и т.д. Процесс может оказаться бесконечным, т.к. не всегда можно представить дробь по основанию h конечным набором цифр.

Для перевода правильной дроби из системы счисления с основанием s в систему счисления с основанием h нужно умножать исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание h (по правилам «старой» s-системы счисления). Целые части полученных произведений дают последовательность цифр дроби в h-системе счисления.

Описанная процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть очередного произведения не станет равной нулю либо не будет достигнута требуемая точность изображения числа X в h-ичной системе счисления. Представлением дробной части числа X в новой системе счисления будет последовательности целых частей полученных произведений, записанных в порядке их получения и изображённых h-ичной цифрой. Абсолютная погрешность перевода числа X при p знаков после запятой равняется .

Пример 2. Перевести правильную дробь 0,453 из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

* В двоичную систему:

Ответ:

** В восьмеричную систему:

Ответ:

*** В шестнадцатеричную систему:

Ответ: так как , то

Поделиться с друзьями

— определение, типы, примеры, правила преобразования

Число — это математическое значение, используемое для подсчета и измерения объектов, а также для выполнения арифметических вычислений. У чисел есть различные категории, такие как натуральные числа, целые числа, рациональные и иррациональные числа и так далее. Точно так же существуют различные типы систем счисления, которые имеют разные свойства, такие как двоичная система счисления, восьмеричная система счисления, десятичная система счисления и шестнадцатеричная система счисления.

Что такое системы счисления?

Система счисления — это система, представляющая числа. Ее также называют системой счисления, и она определяет набор значений для представления количества. Эти числа используются как цифры, и наиболее распространенными являются 0 и 1, которые используются для представления двоичных чисел. Цифры от 0 до 9 используются для обозначения других типов систем счисления.

Определение систем счисления

Система счисления определяется как представление чисел с помощью последовательного использования цифр или других символов.Значение любой цифры в числе может быть определено цифрой, ее положением в числе и основанием системы счисления. Числа представлены уникальным образом и позволяют нам выполнять арифметические операции, такие как сложение, вычитание и деление.

Типы систем счисления

Существуют различные типы систем счисления, в которых четыре основных типа:

Мы изучим каждую из этих систем по порядку.

Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления используются только две цифры: 0 и 1.Числа в этой системе имеют основание 2. Цифры 0 и 1 называются битами, а 8 битов вместе составляют байт. Данные в компьютерах хранятся в битах и ​​байтах. Двоичная система счисления не работает с другими числами, такими как 2,3,4,5 и т. Д. Например: \ (10001_2, 111101_2, 1010101_2 \) — примеры чисел в двоичной системе счисления.

Восьмеричная система счисления

В восьмеричной системе счисления используются восемь цифр: 0,1,2,3,4,5,6 и 7 с основанием 8.Преимущество этой системы состоит в том, что она имеет меньшее количество цифр по сравнению с несколькими другими системами, следовательно, будет меньше ошибок в вычислениях. Такие числа, как 8 и 9, не входят в восьмеричную систему счисления. Как и двоичная, в миникомпьютерах используется восьмеричная система счисления, но с цифрами от 0 до 7. Например: \ (35_ {8}, 923_ {8}, 141_ {8} \) — некоторые примеры чисел в восьмеричной системе счисления. система счисления.

Десятичная система счисления

В десятичной системе счисления используются десять цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 и 9 с основным числом 10.Десятичная система счисления — это система, которую мы обычно используем для представления чисел в реальной жизни. Если какое-либо число представлено без основания, это означает, что его основание равно 10. Например: \ (723_ {10}, 32_ {10}, 4257_ {10} \) — некоторые примеры чисел в десятичной системе счисления.

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления использует шестнадцать цифр / алфавитов: 0,1,2,3,4,5,6,7,8, 9 и A, B, C, D, E, F с основным числом 16. Здесь , AF в шестнадцатеричной системе счисления означает числа 10-15 десятичной системы счисления соответственно.Эта система используется в компьютерах для уменьшения больших строк двоичной системы. Например: \ (7B3_ {16}, 6F_ {16}, 4B2A_ {16} \) — некоторые примеры чисел в шестнадцатеричной системе счисления.

Правила преобразования числовых систем

Число может быть преобразовано из одной системы счисления в другую. Подобно тому, как двоичные числа могут быть преобразованы в восьмеричные числа и наоборот, восьмеричные числа могут быть преобразованы в десятичные числа и наоборот, и так далее.Давайте посмотрим, какие шаги необходимы для преобразования этих систем счисления.

Преобразование двоичной / восьмеричной / шестнадцатеричной системы счисления в десятичную систему счисления

Чтобы преобразовать число из двоичной / восьмеричной / шестнадцатеричной системы в десятичную, мы используем следующие шаги. Шаги показаны на примере числа в двоичной системе счисления.

Пример:

Преобразовать \ (100111_2 \) в десятичную систему.

Решение:

Шаг 1: Определите основание данного числа.Здесь основание \ (100111_2 \) равно 2.

Шаг 2: Умножьте каждую цифру данного числа, начиная с крайней правой цифры, на степень основания. Показатели должны начинаться с 0 и увеличиваться на 1 каждый раз при движении справа налево. Поскольку основание здесь 2, мы умножаем цифры данного числа на 2 ⁰ , 2 ¹ , 2 ² и так далее справа налево.

Шаг 3: Мы просто упрощаем каждый из перечисленных выше продуктов и добавляем их.0) \ [0,3 см]
& = (1 \ times 32) + (0 \ times 16) + (0 \ times 8) + (1 \ times 4) + (1 \ times 2) + (1 \ times 1) \\ [0,3 см]
& = 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 1 \ [0,3 см]
& = 39
\ end {align} \]
Таким образом,

\ (\, следовательно, 100111_2 = 39_ {10} \)

Преобразование десятичной системы счисления в двоичную / восьмеричную / шестнадцатеричную систему счисления

Чтобы преобразовать число из десятичной системы счисления в двоичную / восьмеричную / шестнадцатеричную систему счисления, мы используем следующие шаги.Показаны шаги по преобразованию числа из десятичной системы в восьмеричную.

Пример:

Преобразует \ (4320_ {10} \) в восьмеричную систему.

Решение:

Шаг 1: Определите основание необходимого числа. Поскольку мы должны преобразовать данное число в восьмеричную систему, основание требуемого числа равно 8.

Шаг 2: Разделите данное число на основание требуемого числа и запишите частное и остаток в форме частного остатка.Повторите этот процесс (снова разделив частное на основание), пока мы не получим частное меньше, чем основание.

Шаг 3: Данное число в восьмеричной системе счисления получается простым чтением всех остатков и последнего частного снизу вверх.

\ (\ следовательно 4320_ {10} = 10340_ {8} \)

Преобразование из одной системы счисления в другую систему счисления

Чтобы преобразовать число из одной из двоичных / восьмеричных / шестнадцатеричных систем в одну из других систем, мы сначала преобразуем его в десятичную систему, а затем преобразуем его в требуемые системы, используя вышеупомянутые процессы.

Пример:

Преобразовать \ (1010111100_2 \) в шестнадцатеричную систему.

Решение:

Шаг 1: Преобразуйте это число в десятичную систему счисления, как описано в описанном выше процессе.

Таким образом, \ [1010111100_2 = 700_ {10} \ rightarrow (1) \]

Шаг 2: Преобразуйте указанное выше число (в десятичной системе) в требуемую систему счисления.

Здесь мы должны преобразовать \ (700_ {10} \) в шестнадцатеричную систему, используя вышеупомянутый процесс.Следует отметить, что в шестнадцатеричной системе числа 11 и 12 записываются как B и C соответственно.

Таким образом, \ [700_ {10} = 2BC_ {16} \ rightarrow (2) \]

Из уравнений (1) и (2) \ (1010111100_2 = 2BC_ {16} \)

Рекомендуемые темы:

Ниже приведены несколько рекомендуемых тем, связанных с концепцией систем счисления:

Что такое система счисления? — Определение, факты и примеры

Система счисления

Десятичная система счисления состоит из 10 цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 и является наиболее часто используемой системой счисления.Мы используем комбинацию этих 10 цифр для образования всех остальных чисел. Значение цифры в числе зависит от ее положения в номере. Таблица значений десятичной системы счисления выглядит так:

Каждое место слева в десять раз больше, чем место справа от него, то есть, когда мы перемещаемся справа налево, разрядное значение увеличивается в десять раз с каждым местом.

• Десятичная система счисления также называется системой счисления с основанием 10.

• Число 49 365 читается как сорок девять тысяч триста шестьдесят пять, где значение 4 — сорок тысяч, 9 — девять тысяч, 3 — триста, 6 — шестьдесят и 5 — пять.

В двоичной системе счисления мы используем только две цифры 0 и 1. Это означает двойную систему счисления.

Пример двоичного числа: 1011; 101010; 1101101

Каждая цифра двоичного числа называется битом.Итак, двоичное число 101 имеет 3 бита. 499787080

В компьютерах и других цифровых устройствах используется двоичная система. В двоичной системе счисления используется основание 2.

Слово шестнадцатеричное происходит от шестнадцатеричного значения 6 и десятичного числа 10. Итак, в шестнадцатеричной системе счисления 16 цифр. Он состоит из цифр от 0 до 9 и первых 5 букв алфавита:

В таблице ниже числа от 1 до 20 показаны в десятичном, двоичном и шестнадцатеричном формате.

Системы счисления (двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная)

Прежде чем мы сможем объяснить некоторые конкретные системы счисления, нам нужно знать, что такое система счисления. Проще говоря, система счисления — это способ представления чисел.

Мы можем классифицировать системы счисления по типу нотации в зависимости от того, используют ли они позиционную нотацию (также известную как нотация с числовыми значениями), и произвести дальнейшую категоризацию по основанию или основанию.

1. Непозиционная система счисления

Для объяснения непозиционной системы счисления возьмем в качестве примера римские цифры. В таблице ниже вы можете найти десятичные значения для основных символов римской системы счисления.

Вы можете спросить, есть ли какой-то узор для формирования всех остальных символов? Ответ положительный.

• Когда символ с меньшим значением помещается на после символа, имеющего такое же или большее значение, значения складываются.Примеры приведены в таблице ниже.

• Когда символ с меньшим значением помещается на перед символом, имеющим большее значение, меньшее значение вычитается из большего. Примеры приведены в таблице ниже.

2. Система позиционных чисел

Позиционная система счисления позволяет расширить исходный набор символов, чтобы их можно было использовать для представления любого произвольно большого (или маленького) значения.В разных системах число может быть представлено по-разному.
Например, два числа $ (2A) _ {16} $ и $ (52) _ {8} $ оба относятся к одному и тому же количеству, $ (42) _ {10} $.

Система счисления, которую мы используем каждый день, называется десятичной системой счисления или системой счисления с основанием десять. Как видно из названия системы счисления, основание определяет всю систему.

Десятичная система счисления имеет основание 10, потому что мы работаем с 10 цифрами (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), и любое другое большее число может быть составлено из этих 10 цифр.{0}

$ = 3 \ cdot 100 + 4 \ cdot 10 + 2 \ cdot 1 $

$ = 300 + 40 + 2 $

В этом уроке мы не будем подробно объяснять десятичную систему, так как на странице, посвященной ей, есть много уроков.

Помимо десятичной системы счисления, существует множество других систем счисления. Мы упомянем только три из них, так как это наиболее часто используемые системы счисления после десятичной. Это: двоичная система счисления, восьмеричная система счисления и шестнадцатеричная система счисления. Мы дадим краткое объяснение каждой из них и узнаем, как преобразовывать числа из одной системы в другую.

2.1. Двоичная система счисления

Двоичная система счисления содержит две уникальные цифры (0 и 1). Таким образом, эта система является системой счисления с основанием 2. Относительные величины символов равны 0 <1. Символы в этой системе часто называются двоичными цифрами или просто битами. Двоичная система счисления - это позиционная система счисления. Позже мы увидим, что, например, $ 1010_ {2} \ neq 1100_ {2} $.

2.2. Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления содержит 8 уникальных цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).Таким образом, эта система является системой счисления с основанием 8. Относительные величины символов: 0 <1 <2 <3 <4 <5 <6 <7. Восьмеричная система счисления - еще один пример позиционной системы счисления.

2.3. Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления содержит 16 уникальных цифр. Поскольку в десятичной системе всего 10 арабских цифр, нам нужно использовать другие символы для представления оставшихся 6 цифр. Мы используем
буквенных знаков A – F, чтобы расширить систему до 16 цифр.16 цифр в шестнадцатеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E и F. Относительные величины символов равны
0. <1 <2 <3 <4 <5 <6 <7 <8 <9 Шестнадцатеричная система счисления также является позиционной системой счисления.

3. Базовое преобразование

Каждая позиция цифры в числе с основанием b представляет степень $ b $. Итак, когда мы пишем число с основанием b, каждая цифра с основанием b умножается на соответствующую степень $ b $ в зависимости от позиции в числе.

3.1. Преобразование в десятичное число

Преобразовать число из любой системы счисления в десятичную довольно просто. Мы знаем, что значение каждой цифры в числе основано на индивидуальном значении цифры и позиции цифры. Мы узнали это, когда узнали о десятичных числах. Используя это правило, мы можем преобразовать число из любой системы счисления в десятичное число.

Давайте посмотрим на общий пример:

Представьте, что у нас есть число $ d_ {2} d_ {1} d_ {0}.{-2} = 3 \ cdot 8 + 4 \ cdot 1 + 1 \ cdot \ displaystyle {\ frac {1} {8}} + 5 \ cdot \ displaystyle {\ frac {1} {64}} = 28.203125 $

3.2. Преобразование из десятичного числа в любое другое основание

Мы можем преобразовать десятичное число в любое другое, используя всего несколько простых шагов:

1. Разделите десятичное число, которое нужно преобразовать, на значение нового основания.
2. Запишите остаток в сторону
3. Разделите частное от предыдущего деления на новое основание.
4. Запишите остаток в сторону
5. Повторяйте шаги 3 и 4, пока частное на шаге 3 не станет равным нулю.

Требуемое число состоит из остатков, записываемых снизу вверх, слева направо.

Пример 2. Преобразует 25 в двоичное число.

Согласно правилу преобразования десятичных чисел в любое другое основание, необходимое число — $ 11001_ {2} $.

Пример 3. Преобразует 2489 в шестнадцатеричное число.

Помните, что эквивалент числа 11 в шестнадцатеричной системе счисления — буква B.

Согласно правилу преобразования десятичных чисел в любое другое основание, необходимое число — $ 9B9_ {16} $.

3.3. Эквивалентность различных систем счисления

4. Ярлыки для переключения между основанием 2 и основанием 8 и между основанием 2 и основанием 16

Мы узнали, что можно преобразовать число из любого основания в число из любого основания, предварительно преобразовав его в десятичное. Например, если мы хотим преобразовать число с основанием 3 в число с основанием 7, сначала нужно преобразовать число с основанием 3 в десятичное, а затем преобразовать это десятичное число в число с основанием 7.

Мы можем использовать ту же процедуру для преобразования двоичного числа в восьмеричное или шестнадцатеричное, но есть несколько полезных сокращений, которые упростят этот процесс. Давайте посмотрим на следующий пример:

Пример 4. Преобразует $ 100100010101111_ {2} $ в шестнадцатеричное число.

Чтобы преобразовать двоичное число в шестнадцатеричное, мы могли бы просто разбить двоичное число на группы из 4 цифр (начиная справа и добавляя ведущие нули, если цифры заканчиваются), а затем переинтерпретировать эти группы из 4 как перечисленные шестнадцатеричные значения. в таблице выше.При этом у нас есть:

$ 100100010101111_ {2} = 0100 1000 1010 1111 $

$ 0100 = 4 $, 1000 $ = 8 $, 1010 $ = A $, 1111 $ =

 один = я
два = II
три = III
 

 1
2
3
4
5
6
7
8
9 (ох, я наелась!)
10 (отмечено галочкой - начало новой цифры)
 

 1 секунда
2
3
4
5
…
58
59
1:00 (60 секунд или 1 минута.Мы начали новую цифру.)
 

 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15 (мы набираемся)
1:00 (16 - мы начали новую цифру)
 

1
2
3
4
5
6
7
8
9
A (10 - мы используем символ «A»)
В (11)
С (12)
D (13)
E (14)
F (15 - ох, мы набираемся)
10 (16 - начинаем новую цифру)
 

1: 1
2:10 (мы полны - отметьте галочкой)
3: 11
4: 100 (мы снова наелись - отметьте галочкой)
5: 101
6: 110
7: 111
8: 1000 (отметьте еще раз)
…