Информатика система счисления примеры: Информатика и ИКТ — Системы счисления

Содержание

Системы счисления. Перевод из одной системы в другую.

1. Порядковый счет в различных системах счисления.

В современной жизни мы используем позиционные системы счисления, то есть системы, в которых число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о них, опуская термин «позиционные».

Для того чтобы научиться переводить числа из одной системы в другую, поймем, как происходит последовательная запись чисел на примере десятичной системы.

Поскольку у нас десятичная система счисления, мы имеем 10 символов (цифр) для построения чисел. Начинаем порядковый счет: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры закончились. Мы увеличиваем разрядность числа и обнуляем младший разряд: 10. Затем опять увеличиваем младший разряд, пока не закончатся все цифры: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Увеличиваем старший разряд на 1 и обнуляем младший: 20. Когда мы используем все цифры для обоих разрядов (получим число 99), опять увеличиваем разрядность числа и обнуляем имеющиеся разряды: 100. И так далее.

Попробуем сделать то же самое в 2-ной, 3-ной и 5-ной системах (введем обозначение для 2-ной системы, для 3-ной и т.д.):


0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	10	3
4	100	11	4
5	101	12	10
6	110	20	11
7	111	21	12
8	1000	22	13
9	1001	100	14
10	1010	101	20
11	1011	102	21
12	1100	110	22
13	1101	111	23
14	1110	112	24
15	1111	120	30

Если система счисления имеет основание больше 10, то нам придется вводить дополнительные символы, принято вводить буквы латинского алфавита. Например, для 12-ричной системы кроме десяти цифр нам понадобятся две буквы ( и ):


0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10
11
12	10
13	11
14	12
15	13

2.Перевод из десятичной системы счисления в любую другую.

Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно это число разделить на основание. Полученное частное снова разделить на основание, и дальше до тех пор, пока частное не окажется меньше основания. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.

Пример 1. Переведем десятичное число 46 в двоичную систему счисления.

Пример 2. Переведем десятичное число 672 в восьмеричную систему счисления.

Пример 3. Переведем десятичное число 934 в шестнадцатеричную систему счисления.

3. Перевод из любой системы счисления в десятичную.

Для того, чтобы научиться переводить числа из любой другой системы в десятичную, проанализируем привычную нам запись десятичного числа.

Например, десятичное число 325 – это 5 единиц, 2 десятка и 3 сотни, т.е.

Точно так же обстоит дело и в других системах счисления, только умножать будем не на 10, 100 и пр., а на степени основания системы счисления. Для примера возьмем число 1201 в троичной системе счисления. Пронумеруем разряды справа налево начиная с нуля и представим наше число как сумму произведений цифры на тройку в степени разряда числа:

Это и есть десятичная запись нашего числа, т.е.

Пример 4. Переведем в десятичную систему счисления восьмеричное число 511.

Пример 5. Переведем в десятичную систему счисления шестнадцатеричное число 1151.

4. Перевод из двоичной системы в систему с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.).

Для преобразования двоичного числа в число с основанием «степень двойки» необходимо двоичную последовательность разбить на группы по количеству цифр равному степени справа налево и каждую группу заменить соответствующей цифрой новой системы счисления.

Например, Переведем двоичное 1100001111010110 число в восьмеричную систему. Для этого разобьем его на группы по 3 символа начиная справа (т.к. ), а затем воспользуемся таблицей соответствия и заменим каждую группу на новую цифру:

Таблицу соответствия мы научились строить в п.1.


0	0
1	1
10	2
11	3
100	4
101	5
110	6
111	7

Т.е.

Пример 6. Переведем двоичное 1100001111010110 число в шестнадцатеричную систему.


0	0
1	1
10	2
11	3
100	4
101	5
110	6
111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

5.Перевод из системы с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.) в двоичную.

Этот перевод аналогичен предыдущему, выполненному в обратную сторону: каждую цифру мы заменяем группой цифр в двоичной системе из таблицы соответствия.

Пример 7. Переведем шестнадцатеричное число С3A6 в двоичную систему счисления.

Для этого каждую цифру числа заменим группой из 4 цифр (т.к. ) из таблицы соответствия, дополнив при необходимости группу нулями вначале:

Система счисления. Позиционная система счисления.

Задумывались ли вы над тем, почему при сложении тех или иных чисел получается строго определённое число? А почему мы обходимся всего десятью цифрами? Странные вопросы… Дело в том, что мы привыкли проводить вычисления, используя всего одну и ту же систему счисления. Однако это было так не всегда.

Системой счисления принято называть знаковую систему, в которой были приняты определённые правила записи чисел. Знаки, с помощью которых записывают числа, мы называем цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления.

Для любой системы счисления, цифры которые служат для обозначения чисел, называемые узловыми; остальные числа (алгоритмические) получаются в результате операций над узловыми числами.

В Древнем Вавилоне узловыми числами выступали 1,10,60;

Системы счисления отличаются друг от друга выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических чисел. В информатике выделяют такие виды систем счисления, как:

унарная система;
непозиционная система;
позиционная система.

Унарная система

В самой древней и простой унарной системе счисления, для записи любых чисел использовался всего лишь один символ — в виде зарубки, выемки, узелка или камушка.

Чем больше зарубок — тем больше число. По сути, эта система является основой любого счёта. Унарная система, по-другому, ещё называется системой бирок.

Если вы думаете, что не пользуетесь этой системой счисления, тогда не считайте на пальцах!

Непозиционная система счисления

Для такой системы счисления количественный эквивалент (количественное значение) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа.

Примерно в III тысячелетии до н.э. древние египтяне разработали десятичную непозиционную систему счисления, в которой для обозначения узловых чисел 1, 10, 100 использовались символы – иероглифы.

В большинстве непозиционных систем счисления новые числа образуются путём сложения узловых чисел.

Каноническим примером непозиционной системы счисления всегда приводится римская система счисления. В качестве узловых цифр здесь применялись заглавные буквы латинского алфавита:

I = 1,
V = 5,
X = 10,
L = 50,
C = 100,
D = 500,
M = 1000

Например, II = 1 + 1 = 2
здесь символ I обозначает единицу независимо от места в числе.

Однако римская система не может быть полностью непозиционной, так как меньшая цифра, которая стоящая слева перед большей, должна вычитаться из неё:

IV = 4, в то время как:
VI = 6

Непозиционной системой счисления являлась и кириллическая система счисления — система счисления, применяемая на территории Древней Руси до XVIII века, основанная на алфавитной записи чисел с использованием кириллицы.

Позиционная система счисления

В позиционной системе счисления, количественный эквивалент цифры как раз зависит от её положения в записи числа. Основание позиционной системы счисления соответствует количеству цифр, которые составляют её алфавит.

Основным примером позиционной системы счисления является десятичная система записи чисел, к которой мы все так уже привыкли с детства, и в которой производим все основные математические вычисления.

Алфавитом десятичной системы являются цифры от 0 до 9. Образование чисел в ней происходит следующим образом: значения цифр умножаются на их «веса» соответствующих разрядов, а затем все полученные значения складываются.

Числительными русского языка, такое значением хорошо отражается, к примеру: «пять-сот семь-десят два».

Основанием позиционной системы счисления является любое натуральное число q>1. Алфавитом произвольной позиционной системы счисления с основанием q служат числа 0,1,…,q−1, каждое из которых записывается при помощи одного уникального символа; младшей цифрой всегда выступает 0.

Основными преимуществами любой позиционной системы счисления являются простота выполнения арифметических операций и небольшое количество символов, используемых в записи чисел.

Представление числа в позиционной системе счисления

В позиционной системе счисления с основанием q всякое число может быть представлено по формуле (развёрнутая форма записи):

A_q=±(a_n−1⋅qⁿ⁻¹+a_n−2⋅qⁿ⁻²+…+a₀⋅q⁰+a₋₁⋅q⁻¹+…+a_−m⋅q^−m).

где:

А — число;
q — основание системы счисления;
a_i — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
n — количество целых разрядов числа;
m — количество дробных разрядов числа;
q_i — «вес» i-го разряда.

Свёрнутой формой записи числа называется его представление в виде:

±a_n−1a_n−2…a₁a₀…a_−m

в качестве примера, возьмём десятичное число 21466,12. Его свёрнутая форма записи настолько привычна, что мы не замечаем, как в уме мы переходим сразу к развёрнутой записи, умножая цифры числа на «веса» разрядов и суммируя все полученные перемножения:

2⋅10⁴+1⋅10³+4⋅10²+6⋅10¹+6⋅10⁰+1⋅10⁻¹+2⋅10⁻².

Десятичная система счисления, несмотря на свою универсальность, имеет большой недостаток — она избыточна, так как имеет большой алфавит. Для компьютерной техники наиболее удобной оказалась двоичная система счисления, поэтому мы рассмотрим её в следующем уроке.

Кодирование информации Двоичная система счисления

Системы счисления: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная — 8 КЛАСС ► Информатика в школе и дома

Урок: Системы счисления: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная

Общие сведения о системах счисления

С древних времен в практической деятельности человека часто возникала потребность счета и измерения. Результаты счета предметов выражались вначале весьма примитивно: зарубки на палочках, узелки на веревках и др. С развитием письменности человек начал отображать с помощью знаков (записывать) информацию о количестве предметов на подручных материалах: глиняных табличках, папирусе, бересте и др. Таким образом, для обозначения чисел стали использовать знаки.

Способ записи чисел с помощью письменных знаков называют системой счисления. Знаки, с помощью которых записываются числа, называют цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления.

Одной из наиболее древних являлась египетская иероглифическая система счисления. В ней числа представлялись в виде отдельных знаков, например:

Так, число означало:

100+10+10+1+1+1=123.

Существовали системы счисления, в которых для записи чисел использовались буквы алфавита, например старославянская система счисления.

Десятичная система счисления зародилась в Индии приблизительно в 5 в., затем она появилась в арабских рукописях. Из арабских рукописей эта система пришла в Европу в 9-12 вв. Поэтому современную десятичную систему счисления называют арабской.

В любой системе счисления цифры служат для обозначения чисел, называемых узловыми; остальные числа (алгоритмические) получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел.

Пример:

У вавилонян узловыми являлись числа 1, 10, 60; в римской системе счисления узловые числа — это 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000, обозначаемые соответственно I, V, X, L, C, D, M.

Системы счисления различаются выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических чисел. Можно выделить следующие виды систем счисления:

унарная система;
непозиционные системы;
позиционные системы.

Простейшая и самая древняя система — так называемая унарная система счисления.

В ней для записи любых чисел используется всего один символ — палочка, узелок, зарубка, камушек. Длина записи числа при таком кодировании прямо связана с его величиной, что роднит этот способ с геометрическим представлением чисел в виде отрезков. Именно унарная система лежит в фундаменте арифметики, и именно она до сих пор вводит первоклассников в мир счёта.

Унарную систему ещё называют системой бирок.

Непозиционными называются такие системы счисления, в которых каждый знак (цифра) в записи любого числа имеет одно и то же значение и не зависит от своего расположения в числе.

В большинстве непозиционных систем счисления числа образуются путём сложения узловых чисел.

В непозиционной римской системе счисления для обозначения чисел используются следующие знаки:

Например, число записанное в римской системе счисления, в десятичной системе счисления означает: 10+10+5+1+1+1=28.

Древнеегипетская и старославянская система также являются непозиционными.

Позиционными называют такие системы счисления, в которых значение каждого знака (цифры) в записи любого числа зависит от расположения (позиции) этого знака в числе. Количество цифр, используемых для записи чисел в позиционной системе счисления, называется ее основанием.

Мы используем позиционную десятичную систему счисления. Основанием этой системы является число 10.

Для записи любого числа в десятичной системе счисления используют десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Комбинируя эти цифры, можно записывать любые числа.

Например, цифры числа 737 в десятичной системе счисления являются коэффициентами его записи в виде суммы степеней числа 10:

737=7⋅102+3⋅101+7⋅100=7⋅100+3⋅10+7⋅1

Из этого примера видно, что цифра 7 в зависимости от своей позиции в этом числе означает и 7 сотен, и 7 единиц, а цифра 3 означает три десятка.

Пример:

Рассмотрим десятичное число 13456,7. Его свёрнутая форма записи настолько привычна, что мы не замечаем, как в уме переходим к развернутой записи, умножая цифры числа на «веса» разрядов и складывая полученные произведения:

1⋅104+3⋅103+4⋅102+5⋅101+6⋅100+7⋅10−1.

Системы счисления: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная

Для кодирования информации в компьютере вместо привычной десятичной системы счисления используется двоичная система счисления.

Двоичной системой счисления люди начали пользоваться очень давно. Древние племена Австралии и островов Полинезии использовали эту систему в быту. Так, полинезийцы передавали необходимую информацию, выполняя два вида ударов по барабану: звонкий и глухой. Это было примитивное представление двоичной системы счисления.

Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2.

Для записи чисел в ней использовали только две цифры: 0 и 1.

Для обозначения системы счисления, в которой представляется число, используют нижний индекс, указывающий основание системы. Например, 110112 — число в двоичной системе счисления.

Цифры в двоичном числе являются коэффициентами его представления в виде суммы степеней с основанием 2, например:

1012=1⋅22+0⋅21+1⋅20.

В десятичной системе счисления это число будет выглядеть так:

1012=4+0+1=5.

Для перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления нужно последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 2 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в двоичной системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.

Пример:

Переведём десятичное число 13 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) можно изобразить так:

Получили 1310=11012.

Пример:

Если десятичное число достаточно большое, то более удобен следующий способ записи рассмотренного выше алгоритма:

22410=111000002.

Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8.

Для записи чисел в восьмеричной системе счисления используются цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Для перевода целого восьмеричного числа в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения.

Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в восьмеричной системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.

Пример:

Переведём восьмеричное число 154368 в десятичную систему счисления.

154368=1⋅84+5⋅83+4⋅82+3⋅81+6⋅80=694210

Пример:

Переведём десятичное число 94 в восьмеричную систему счисления.

9410=1368

Шестнадцатеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 16.

Для записи чисел в шестнадцатеричной системе счисления используются цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и латинские буквы A, B, C, D, E, F. Буквы A, B, C, D, E, F имеют значения 1010, 1110, 1210, 1310, 1410, 1510.

Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания шестнадцатеричной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах шестнадцатеричного числа.

Для перевода целого десятичного числа в шестнадцатеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 16 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.

Пример:

Переведём шестнадцатеричное число 2A7 в десятичное. В соответствии с вышеуказанными правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 16:

2A716=2⋅162+10⋅161+7⋅160=512+160+7=679.

Пример:

Переведём десятичное число 158 в шестнадцатеричную систему счисления.

15810=9E16.

Для перевода числа из любой позиционной системы счисления в десятичную необходима использовать развернутую формулу числа, заменяя, если это необходимо, буквенные обозначения соответствующими цифрами.

Для перевода целых чисел десятичной системы счисления в число любой системы счисления последовательно выполняют деление нацело на основание системы счисления, пока не получат нуль. Числа, которые возникают как остаток от деления на основание системы счисление, представляют собой последовательную запись разрядов числа в выбранной системе счисления от младшего разряда к старшему. Поэтому для записи самого числа остатки от деления записывают в обратном порядке.

Рекомендованный список литературы

Босова Л.Л. Информатика — Учебник для 8 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний

§ 1.1. Системы счисления

Информатика. 8 класса. Босова Л.Л. Оглавление

Ключевые слова:

система счисления
цифра
алфавит
позиционная система счисления
основание
развёрнутая форма записи числа
свёрнутая форма записи числа
двоичная система счисления
восьмеричная система счисления
шестнадцатеричная система счисления

1.1.1. Общие сведения о системах счисления

Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Знаки, с помощью которых записываются числа (рис. 1.1), называются цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления.

Пример 1. У вавилонян узловыми являлись числа 1, 10, 60; в римской системе счисления узловые числа — это 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000, обозначаемые соответственно I, V, X, L, С, D, М.

Рис. 1.1. Знаки, используемые для записи чисел в различных системах счисления

1) унарная система;
2) непозиционные системы;
3) позиционные системы.

Простейшая и самая древняя система — так называемая унарная система счисления. В ней для записи любых чисел используется всего один символ — палочка, узелок, зарубка, камушек. Длина записи числа при таком кодировании прямо связана с его величиной, что роднит этот способ с геометрическим представлением чисел в виде отрезков. Именно унарная система лежит в фундаменте арифметики, и именно она до сих пор вводит первоклассников в мир счёта. Унарную систему ещё называют системой бирок.

Система счисления называется непозиционной, если количественный эквивалент (количественное значение) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа.

Пример 2. В древнеегипетской системе счисления числа 1, 2, 3, 4, 10, 13, 40 обозначались соответственно следующим образом:

Те же числа в римской системе счисления обозначаются так: I, II, III, IV, X, XIII, XL. Здесь алгоритмические числа получаются путём сложения и вычитания узловых чисел с учётом следующего правила: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.

Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа.Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.

Десятичная система

Десятичная система записи чисел, которой мы привыкли пользоваться в повседневной жизни, с которой мы знакомы с детства, в которой производим все наши вычисления, — пример позиционной системы счисления. Алфавит десятичной системы составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Алгоритмические числа образуются в ней следующим образом: значения цифр умножаются на «веса» соответствующих разрядов, и все полученные значения складываются. Это отчётливо прослеживается в числительных русского языка, например: «три-ста пять-десят семь».

Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число q > 1. Алфавитом произвольной позиционной системы счисления с основанием q служат числа 0, 1, …, q—1, каждое из которых может быть записано с помощью одного уникального символа; младшей цифрой всегда является 0.

Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходимых для записи любых чисел.

В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:

А_q = ± (а_n-1 • q^n-1 + а_n-2 • q^n-2 + … + а₀ • q⁰ + а_-1 • q^-1 + … + а_-m • q^-m). (1)

Здесь:

А — число;
q — основание системы счисления;
а_i — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
n — количество целых разрядов числа;
m — количество дробных разрядов числа;
qⁱ — «вес» i-го разряда.

Запись числа по формуле (1) называется развёрнутой формой записиСвёрнутной формой записи числа называется его представление в виде¹ ± a_n-1a_n-2…a₁a₀,a_-1…a_-m.¹ Далее будут рассматриваться только положительные целые числа.

Пример 3. Рассмотрим десятичное число 14351,1. Его свёрнутая форма записи настолько привычна, что мы не замечаем, как в уме переходим к развёрнутой записи, умножая цифры числа на «веса» разрядов и складывая полученные произведения:

1 • 10⁴ + 4 • 10³ + 3 • 10² + 5 • 10¹ + 1 • 10⁰ + 1 • 10^-1.

1.1.2. Двоичная система счисления

Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2. Для записи чисел в двоичной системе счисления используются только две цифры: 0 и 1.

На основании формулы (1) для целых двоичных чисел можно записать:

а_n-1а_n-2…а₁а₀ = a_n-1 • 2^n-1 + а_n-2 • 2^n-2 +…+ а₀ • 20. (1′)

Например:

10011₂ = 1 • 2⁴ + 0 • 2³ + 0 • 2² + 1 • 2¹ + 1 • 2⁰ = 2⁴ + 2¹ + 2⁰ = 19₁₀.

Такая форма записи «подсказывает» правило перевода натуральных двоичных чисел в десятичную систему счисления: необходимо вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа.

Получим правило перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления из формулы (1′).

Разделим а_n-1 • 2^n-1 + а_n-2 • 2^n-2 + … + а₀ • 2⁰ на 2. Частное будет равно а_n-1 • 2^n-2 + … + а₁, а остаток будет равен а₀.

Полученное частное опять разделим на 2, остаток от деления будет равен а₁.

Если продолжить этот процесс деления, то на n-м шаге получим набор цифр:

а₀, а₁, а₂, … а_n-1,.

которые входят в двоичное представление исходного числа и совпадают с остатками при его последовательном делении на 2.

Таким образом, для перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления нужно последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 2 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в двоичной системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.

Пример 4. Переведём десятичное число 11 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) можно изобразить так:

Выписывая остатки от деления в направлении, указанном стрелкой, получим: 11₁₀ = 1011₂.

Пример 5. Если десятичное число достаточно большое, то более удобен следующий способ записи рассмотренного выше алгоритма:

1.1.3. Восьмеричная система счисления

Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8. Для записи чисел в восьмеричной системе счисления используются цифры: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7.

На основании формулы (1) для целого восьмеричного числа можно записать:

а_n-1а_n-2…а₁а₀ = а_n-1 • 8^n-1 + а_n-2 • 8^n-2 + … + а₀ • 8⁰. (1″)

Например: 1063₈ = 1 • 8³ + 0 • 8² + 6 • 8¹ + 3 • 8⁰ = 563₁₀.

Таким образом, для перевода целого восьмеричного числа в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения.

Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в новой системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.

Пример 6. Переведём десятичное число 103 в восьмеричную систему счисления.

103₁₀ = 147₈

1.1.4. Шестнадцатеричная система счисления

Основание: q = 16.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F.

Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0,…, 9. Для записи цифр с десятичными количественными эквивалентами 10, 11, 12, 13, 14, 15 обычно используются первые пять букв латинского алфавита.

Таким образом, запись 3AF₁₆ означает:

3AF₁₆ = 3 • 16² + 10 • 16¹ + 15 • 16⁰ = 768 + 160 + 15 = 943₁₀.

Пример 7. Переведём десятичное число 154 в шестнадцатеричную систему счисления.

154₁₀ = 9А₁₆

1.1.5. Правило перевода целых десятичных чисел в систему счисления с основанием q

Для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием q следует:

1) последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, равное нулю;
2) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;
3) составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего полученного остатка.

Представим таблицу соответствия десятичных, двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел от 0 до 2010.

В Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов (http://sc.edu.ru/) размещена интерактивная анимация «Преобразование десятичного числа в другую систему счисления» (135050). С её помощью можно понаблюдать за переводом произвольного целого числа от 0 до 512 в позиционную систему счисления, основание которой не превышает 16.

В размещённой там же виртуальной лаборатории «Цифровые весы» (135009) вы сможете освоить ещё один способ перевода целых десятичных чисел в другие системы счисления — метод разностей.

1.1.6. Двоичная арифметика

Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании следующих таблиц сложения и умножения:

Пример 8. Таблица двоичного сложения предельно проста. Так как 1 + 1 = 10, то 0 остаётся в младшем разряде, а 1 переносится в старший разряд.

Пример 9. Операция умножения двоичных чисел выполняется по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.

Таким образом, в двоичной системе счисления умножение сводится к сдвигам множимого и сложениям.

1.1.7. «Компьютерные» системы счисления

В компьютерной технике используется двоичная система счисления, обеспечивающая ряд преимуществ по сравнению с другими системами счисления:

двоичные числа представляются в компьютере с помощью достаточно простых технических элементов с двумя устойчивыми состояниями;
представление информации посредством только двух состояний надёжно и помехоустойчиво;
двоичная арифметика наиболее проста;
существует математический аппарат, обеспечивающий логические преобразования двоичных данных.

Обмен информацией между компьютерными устройствами осуществляется путём передачи двоичных кодов. Пользоваться такими кодами из-за их большой длины и зрительной однородности человеку неудобно. Поэтому специалисты (программисты, инженеры) на некоторых этапах разработки, создания, настройки вычислительных систем заменяют двоичные коды на эквивалентные им величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системах счисления. В результате длина исходного слова сокращается в три, четыре раза соответственно. Это делает информацию более удобной для рассмотрения и анализа.

С помощью ресурса «Интерактивный задачник, раздел “Системы счисления»» (128659), размещённого в Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов, можно проверить, насколько прочно вы усвоили изученный в этом параграфе материал.

Самое главное о системе счисления

Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Знаки, с помощью которых записываются числа, называются цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления.

Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа. Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.

Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число q > 1.

В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:

А_q = ± (а_n-1 • q^n-1 + а_n-2 • q^n-2 + … + а₀ • q⁰ + а_-1 • q^-1 + … + а_-m • q^-m). (1)

Здесь:

А — число;
q — основание системы счисления;
а_i — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
n — количество целых разрядов числа;
m — количество дробных разрядов числа;
qⁱ — «вес» i-го разряда.

Вопросы и задания

1. Ознакомьтесь с материалами презентации к параграфу, содержащейся в электронном приложении к учебнику. Что вы можете сказать о формах представления информации в презентации и в учебнике? Какими слайдами вы могли бы дополнить презентацию?

2. Найдите дополнительную информацию об унарной, позиционных и непозиционных системах счисления. Чем они различаются? Приведите примеры.

3. Цифры каких систем счисления приведены на рис. 1.1?

4. Объясните, почему позиционные системы счисления с основаниями 5, 10, 12 и 20 называют системами счисления анатомического происхождения.

5. Как от свёрнутой формы записи десятичного числа перейти к его развёрнутой форме?

6. Запишите в развёрнутой форме числа

7. Вычислите десятичные эквиваленты следующих чисел 172₈ 2EA₁₆

8. Укажите какое из чисел 110011₂, 111₄, 35₈ и 1В₁₆ является

9. Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 123, 222, 111, 241? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления.

10. Верны ли следующие равенства? а) 33₄ = 21₇;
б) 33₈ = 21₄.

11. Найдите основание х системы счисления, если: а) 14_х = 9₁₀;
б) 2002_х = 130₁₀.

12. Переведите целые числа из десятичной системы счисления в двоичную: а) 89; б) 600; в) 2010

13. Переведите целые числа из десятичной системы счисления в восьмеричную: а) 513; б) 600; в) 2010.

14. Переведите целые числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную: а) 513; б) 600; в) 2010.

15. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же число должно быть записано в системах счисления с основаниями 2, 8, 10 и 16.

16. Выполните операцию сложения над двоичными числами: а) 101010 + 1101; б) 1010 + 1010; в) 10101 + 111.

17. Выполните операцию умножения над двоичными числами: а) 1010 · 11; б) 111 · 101; в) 1010 · 111.

18. Расставьте знаки арифметических операций так, чтобы были верны следующие равенства в двоичной системе: а) 1100 ? 11 ? 100 = 100000; б) 1100 ? 10 ? 10 = 100; в) 1100 ? 11 ? 100 = 0.

19. Вычислите выражения: а) (1111101₂ + AF₁₆) : 36₈; б) 125₈ + 101₂ ∙ 2A₁₆ − 141₈. Ответ дайте в десятичной системе счисления.

20. Какими преимуществами и недостатками обладает двоичная система счисления по сравнению с десятичной?

21. Разработайте таблицы сложения и умножения для восьмеричной системы счисления.

22. Постройте граф, отражающий разновидности систем счисления.

23. Подготовьте небольшое сообщение об одной из систем счисления (когда и где применялась, какие символы использовались и т. д.).

Оглавление

§ 1.1. Системы счисления

§ 1.2. Представление чисел в компьютере

Двоичная система счисления – таблица последовательности, примеры (8 класс, информатика)

Информация в компьютере обрабатывается в цифровом формате, в виде набора нулей и единиц, поэтому все числа переводятся в двоичный вид. Система счисления, в которой для обозначения чисел применяется всего два знака, называется двоичной. Метод представления чисел в двоичном формате изучается в курсе информатики 8 класса.

Двоичная система

Система счисления, которая в своем арсенале использует только две цифры, то есть имеющая основание два, называется двоичной или бинарной. В такой системе числа заменяются последовательностью нулей и единиц. Например, десятичное число 134 в двоичном формате выглядит как 10000110. Для того чтобы понять, как это работает, следует придерживаться правил перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Рис. 1. Двоичная система счисления.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную

Перевод целой части десятичного числа производится путем поочередного деления частного на основание двоичной системы, то есть на два. В остатке от деления останется либо ноль, либо единица. Эти остатки записываются, начиная с последнего частного в направлении слева направо. Это и будет двоичным представлением десятичного числа.

Рассмотрим примеры.

Для перевода десятичного числа 29 в двоичный формат:

Делят 29 на два, получают 14 и в остатке 1. Остаток следует запомнить.

Затем частное от деления, то есть число 14 снова делят на два, получено 7 и в остатке 0 (ноль).

Разделим 7 на два, получим частное 3 и остаток 1.

Три делят на два, получено в частном 1 и остаток 1.

Так как последнее частное 1 меньше основания системы счисления, то есть числа 2, то последовательное деление прекращают.

Затем записывают остатки, начиная с последнего частного, и получают последовательность чисел: 11101. Таким образом, десятичное число 29 в двоичной системе счисления равно 11101.

Еще один пример: перевод числа 37 в двоичный формат.

37 / 2 = 18 (1)

18 / 2 = 9 (0)

9 / 2 = 4 (1)

4 / 2 = 2 (0)

2 / 2 = 1 (0)

Получен результат: 100101.

Если десятичные числа расположить последовательно и сопоставить с их двоичными эквивалентами, то можно увидеть некоторую закономерность.

Таблица двоичной системы счисления

0	0	8	1000
1	01	9	1001
2	10	10	1010
3	11	11	1011
4	100	12	1100
5	101	13	1101
6	110	14	1110
7	111	15	1111

Как видно из таблицы, после 11 в числовом ряду двоичных чисел идет число 100. Так как в двоичной системе счисления только два знака 0 и 1 для обозначения числа, то происходит сдвиг разрядной сетки влево. После двузначного числа 11 идет трехзначное число 100.

Таблицей двоичной системы удобно пользоваться для перевода только небольших десятичных чисел. Ее даже рекомендуется запомнить, как таблицу умножения в математике. Но ни в коем случае нельзя по таблице переводить отдельные цифры числа в десятичный формат. Это приведет к ошибке. Например, десятичное число 15 это не 1 и 101, (вместе 1101), а все-таки 1111.

Перевод двоичных чисел в десятичную систему счисления

Обратный перевод двоичного числа в десятичную систему производится также строго по правилу перевода.

Рис. 2. Портрет Г. В. Лейбница.

Сначала нумеруются разряды двоичного числа справа налево, начиная с нулевого, а затем каждая цифра двоичного числа умножается на основание двоичной системы, то есть на два, возведенной в степень соответствующего разряда. Полученные произведения суммируются, и получается десятичное число.

Например: двоичное число 1110001 в десятичной системе равно 113.

Нумеруем разряды числа, начиная с нуля: 1(6) 1(5) 1(4) 0(3) 0(2) 0(1) 1(0).

Каждую цифру двоичного числа умножаем на два в степени разряда и суммируем:

1*26 + 1*25 + 1*24 +0*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 = 64 + 32 + 16 + 0 + 0 + 0 +1 = 113

Следует помнить, что любое число в степени ноль равно единице.

Двоичная система счисления была описана Готфридом Вильгельмом Лейбницем в 18 веке. На это его вдохновили гексограммы из китайской книги Перемен, которые соответствовали двоичным числам от 0 до 111111.

Рис. 3. Гексаграммы книги перемен.

Что мы узнали?

Данные в ЭВМ представляются в двоичном формате. Двоичная система счисления оперирует для записи чисел только двумя символами 0 и 1. Перевод десятичных чисел в двоичную систему и обратно производится строго по правилам.

ИнформатикаСистемы счисления – примеры, таблица, обозначение (9 класс, информатика)

ИнформатикаВосьмеричная система счисления – как переводить, таблица

Системы счисления | Практическая информатика

Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:

I 	V 	X 	L	C	D 	M
1 	5 	10 	50	100	500 	1000

Например, VI = 5 + 1 = 6, а IX = 10 — 1 = 9.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе называется позицией. Первая известная нам система, основанная на позиционном принципе — шестидесятeричная вавилонская. Цифры в ней были двух видов, одним из которых обозначались единицы, другим — десятки. Следы вавилонской системы сохранились до наших дней в способах измерения и записи величин углов и промежутков времени.

Однако наибольшую ценность для нас имеет индо-арабская десятичная система. Индийцы первыми использовали ноль для указания позиционной значимости величины в строке цифр. Эта система получила название десятичной, так как в ней десять цифр.

Для того чтобы лучше понять различие позиционной и непозиционной систем счисления, рассмотрим пример сравнения двух чисел. В позиционной системе счисления сравнение двух чисел происходит следующим образом: в рассматриваемых числах слева направо сравниваются цифры, стоящие в одинаковых позициях. Большая цифра соответствует большему значению числа. Например, для чисел 123 и 234, 1 меньше 2, поэтому число 234 больше, чем число 123. В непозиционной системе счисления это правило не действует. Примером этого может служить сравнение двух чисел IX и VI. Несмотря на то, что I меньше, чем V, число IX больше, чем число VI.

Далее мы будем рассматривать только позиционные системы счисления.

Основание системы счисления, в которой записано число, обычно обозначается нижним индексом. Например, 555₇ — число, записанное в семеричной системе счисления. Если число записано в десятичной системе, то основание, как правило, не указывается. Основание системы — это тоже число, и его мы будем указывать в обычной десятичной системе. Вообще, число x может быть представлено в системе с основанием p, как x=a_n*pⁿ+a_n-1*p^n-1+ a₁*p¹+a₀*p⁰, где a_n…a₀ — цифры в представлении данного числа. Так, например,

103510=1*103+0*102+3*101+5*100;
10102 = 1*23+0*22+1*21+0*20 = 10.

Наибольший интерес при работе на ЭВМ представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16. Вообще говоря, этих систем счисления обычно хватает для полноценной работы как человека, так и вычислительной машины. Однако иногда в силу различных обстоятельств все-таки приходится обращаться к другим системам счисления, например к троичной, семеричной или системе счисления по основанию 32.

Для того чтобы нормально оперировать с числами, записанными в таких нетрадиционных системах, важно понимать, что принципиально они ничем не отличаются от привычной нам десятичной. Сложение, вычитание, умножение в них осуществляется по одной и той же схеме.

Почему же мы не пользуемся другими системами счисления? В основном потому, что в повседневной жизни мы привыкли пользоваться десятичной системой счисления, и нам не требуется никакая другая. В вычислительных же машинах используется двоичная система счисления, так как оперировать над числами, записанными в двоичном виде, довольно просто.

Часто в информатике используют шестнадцатеричную систему, так как запись чисел в ней значительно короче записи чисел в двоичной системе. Может возникнуть вопрос: почему бы не использовать для записи очень больших чисел систему счисления, например по основанию 50? Для такой системы счисления необходимы 10 обычных цифр плюс 40 знаков, которые соответствовали бы числам от 10 до 49 и вряд ли кому-нибудь понравится работать с этими сорока знаками. Поэтому в реальной жизни системы счисления по основанию, большему 16, практически не используются.

Системы счисления — Информатика — Презентации

Системы счисления

Система счисления —

это совокупность приемов наименования и записи чисел с помощью набора специальных знаков, называемых цифрами.

Виды систем счисления

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

ПОЗИЦИОННЫЕ

НЕПОЗИЦИОННЫЕ

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе.

XXI

В позиционных системах счисления величина , обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от её положения в числе ( позиции ).

211

Непозиционные системы счисления

500 лет до н.э.

Римская система

Цифры:

100

500

1000

Число формировалось из цифр , а также с помощью групп:

Группа 1-го вида — несколько одинаковых

подряд идущих цифр: XX = 20

Группа 2-го вида — разность значений

двух цифр, если слева стоит меньшая:

СМ = 1000 – 100 = 900

Величина числа суммируется из значений

цифр и групп 1-го или 2-го вида:

X X X I I

D X L I I

= 3 2

= 542

100

500

1000

4 4 4 =

C D X L I V

(D-C)

+ (L-X)

+ (V-I)

= 400 + 40 + 4

4 4 4 =

400

1 9 7 4

M C M L X X I V =

1000 +

(M-C) = 1000 — 100 = 900 +

50 +

20 +

Непозиционные системы счисления

Период палеолита.

10-11 тысяч лет до н.э.

Единичная («палочная»)

или

см. пример

2,5 тысяч лет до н.э.

Древнеегипетская

десятичная

непозиционная система

= 3 4 5

— сотни

— десятки

— единицы

Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от её положения в числе (позиции).

Количество используемых цифр называется основанием системы счисления .

Например, 11 – это одиннадцать, а не два: 1 + 1 = 2 (сравните с римской системой счисления). Здесь символ 1 имеет различное значение в зависимости от позиции в числе.

Первые позиционные системы счисления

Самой первой такой системой, когда счетным «прибором» служили пальцы рук, была пятеричная .

Некоторые племена на филиппинских островах используют ее и в наши дни, а в цивилизованных странах ее реликт, как считают специалисты, сохранился только в виде школьной пятибалльной шкалы оценок.

Двенадцатеричная система счисления

Следующей после пятеричной возникла двенадцатеричная система счисления. Возникла она в древнем Шумере. Некоторые учёные полагают, что такая система возникала у них из подсчёта фаланг на руке большим пальцем.

Широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления в XIX веке. На ее широкое использование в прошлом явно указывают названия числительных во многих языках, а также сохранившиеся в ряде стран способы отсчета времени, денег и соотношения между некоторыми единицами измерения. Год состоит из 12 месяцев, а половина суток состоит из 12 часов.

Элементом двенадцатеричной системы в современности может служить счёт дюжинами. Первые три степени числа 12 имеют собственные названия: 1 дюжина = 12 штук; 1 гросс = 12 дюжин = 144 штуки; 1 масса = 12 гроссов = 144 дюжины = 1728 штук.

Английский фунт состоит из 12 шиллингов.

Шестидесятеричная система счисления

Следующая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричная , т.е. в ней использовалось шестьдесят цифр!

В более позднее время использовалась арабами, а также древними и средневековыми астрономами. Шестидесятеричная система счисления, как считают исследователи, являет собой синтез уже вышеупомянутых пятеричной и двенадцатеричной систем.

Какие позиционные системы счисления используются сейчас?

В настоящее время наиболее распространены десятичная , двоичная , восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Двоичная, восьмеричная (в настоящее время вытесняется шестнадцатеричной) и шестнадцатеричная система часто используется в областях, связанных с цифровыми устройствами, программировании и вообще компьютерной документации.

Современные компьютерные системы оперируют информацией представленной в цифровой форме. Числовые данные преобразуются в двоичную систему счисления .

Десятичная система счисления

Десятичная система счисления — позиционная система счисления по основанию 10.

Предполагается, что основание 10 связано с количеством пальцев рук у человека.

Наиболее распространённая система счисления в мире.

Для записи чисел используются символы 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , называемые арабскими цифрами.

Двоичная система счисления

Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2. Используются цифры 0 и 1.

Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и удовлетворяет требованиям:

Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы.
Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать.
Простота создания таблиц сложения и умножения — основных действий над числами

Почему двоичное кодирование

С точки зрения технической реализации использование двоичной системы счисления для кодирования информации оказалось намного более простым, чем применение других способов. Действительно, удобно кодировать информацию в виде последовательности нулей и единиц, если представить эти значения как два возможных устойчивых состояния электронного элемента:

0 – отсутствие электрического сигнала;

1 – наличие электрического сигнала.

Эти состояния легко различать. Недостаток двоичного кодирования – длинные коды . Но в технике легче иметь дело с большим количеством простых элементов, чем с небольшим числом сложных.

Способы кодирования и декодирования информации в компьютере, в первую очередь, зависит от вида информации, а именно, что должно кодироваться: числа, текст, графические изображения или звук.

Сложение

Правила сложения:

0+0=0

1+0=1

0+1=1

1+1=10 ( результат сложения двух единиц: ноль и единица переноса в старший разряд)

Сложение двоичных чисел выполняются в столбик.

Примеры:

10110 1001 1111 101,011

+ 101 + 1010 + 1 + 1,11

11011 10011 10000 111 ,001

Умножение

Правила умножения:

0*0=0

1*0=0

0*1=0

1*1=1

Умножение двоичных чисел производится в столбик аналогично умножению десятичных чисел.

Примеры:

1011 1101

*101 *11

+ 1011 1101

1011 +1101

110111 100111

Вычитание

Правила вычитания:

0-0=0

1-0=1

1-1=0

10-1=1(из нуля вычесть единицу нельзя, поэтому для вычитания необходимо занять единицу у старшего разряда)

При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине вычитается меньшее и у результата ставится соответствующий знак.

Примеры:

1011 1001 11-1011= -(1011-11)

-111 -110 1011

100 11 — 11

1000

Алфавит десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления

Система счисления

Основание

Десятичная

Алфавит цифр

Двоичная

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Восьмеричная

0, 1

Шестнадцатеричная

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Соответствие десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления

p=10

p=2

p=8

p=16

100

101

110

111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

10000

Количество используемых цифр называется основанием системы счисления .

При одновременной работе с несколькими системами счисления для их различения основание системы обычно указывается в виде нижнего индекса, который записывается в десятичной системе:

123 10 — это число 123 в десятичной системе счисления;

1111011 2 — то же число, но в двоичной системе.

Двоичное число 1111011 можно расписать в виде: 1111011 2 = 1*2 6 + 1*2 5 + 1*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 .

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Чтобы перевести число из позиционной системы счисления с основанием p в десятичную , надо представить это число в виде суммы степеней p и произвести указанные вычисления в десятичной системе счисления.

Например, переведем число 1011 2 в десятичную систему счисления. Для этого представим это число в виде степеней двойки и произведем вычисления в десятичной системе счисления.

1011 2 = 1*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 1*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 10

Рассмотрим еще один пример. Переведем число 52,74 8 в десятичную систему счисления.

52,74 8 = 5*8 1 + 2*8 0 + 7*8 -1 + 4*8 -2 = 5*8 + 2*1 + 7*1/8 +4*1/64 = 40 + 2 + 0,875 + 0,0625 = 42,9375 10

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Перевод из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием p осуществляется последовательным делением десятичного числа и его десятичных частных на p , а затем выписыванием последнего частного и остатков в обратном порядке.

Переведем десятичное число 20 10 в двоичную систем счисления (основание системы счисления p=2). В итоге получили 20 10 = 10100 2 .

Перевод десятичной дроби в двоичную

328125

656250

312500

62500

250000

500000

000000

0,328125 10 →? 2

0,328125 10 =0,010101 2

Перевод десятичной дроби в восьмеричную

0,9375 10 →? 8

0,9375 10 = 0,74 8

9375

5000

0000

Задания:

Прочитайте стихотворение. Переведите встречающиеся в нем числительные из двоичной системы счисления в десятичную.

Необыкновенная девчонка (А. Н. Стариков)

Ей было тысяча сто лет,

Она в 101-ый класс ходила,

В портфеле по сто книг носила –

Все это правда, а не бред.

Когда, пыля десятком ног,

Она шагала по дороге,

За ней всегда бежал щенок

С одним хвостом, зато стоногий.

Она ловила каждый звук

Своими десятью ушами,

И десять загорелых рук

Портфель и поводок держали.

И десять темно-синих глаз

Рассматривали мир привычно,…

Но станет все совсем обычным,

Когда поймете наш рассказ.

Вопросы:

У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Старший учится в 1001 классе. Может ли быть такое?
Когда дважды два равно 100?

Задания:

Запишите число 1945 в римской системе счисления.
Запишите в развернутом виде числа: 2007 10 , 234 8 , 10110 2 .
Чему будут равны числа 174 8 , 2 E 16 , 101,101 2 в десятичной системе счисления?
Как будет записываться число 14 10 в двоичной системе счисления? 100 10 в восьмеричной?

Система счисления в компьютере — Байт-примечания

«Набор значений , используемых для представления различных величин, известен как Система счисления ». Например, система счисления может использоваться для представления количества студентов в классе или количества зрителей, просматривающих определенную телепрограмму и т. Д. Цифровой компьютер представляет все виды данных и информации в двоичных числах. Он включает аудио, графику, видео, текст и числа. Общее количество цифр, используемых в системе счисления, называется основанием или основанием системы счисления.База пишется после числа в виде нижнего индекса, например 51210.

Вот некоторые важные системы счисления.

Десятичная система счисления
Двоичная система счисления
Восьмеричная система счисления
Шестнадцатеричная система счисления

Обычно используется десятичная система счисления. Однако в компьютерах используется двоичная система счисления. В компьютере используются восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Десятичная система счисления

См. Также: Преобразование десятичных чисел в двоичные числа

Десятичная система счисления состоит из десяти цифр от 0 до 9.Эти цифры можно использовать для представления любого числового значения. Основание десятичной системы счисления — 10. Это наиболее широко используемая система счисления. Значение, представленное отдельной цифрой, зависит от веса и положения цифры.

Каждое число в этой системе состоит из цифр, которые находятся в разных позициях. Положение первой цифры слева от десятичной точки равно 0. Положение второй цифры слева от десятичной точки равно 1. Точно так же положение первой цифры справа от десятичной точки равно -1.Положение второй цифры справа от десятичной точки равно -2 и так далее.

Значение числа определяется умножением цифр на вес их позиции и сложением результатов. Этот метод известен как метод расширения. Самая правая цифра числа имеет наименьший вес. Эта цифра называется наименьшей значащей цифрой (LSD). Самая левая цифра числа имеет наибольший вес. Эта цифра называется наиболее значимой цифрой (MSD). Цифра 7 в числе 724 — самая старшая цифра, а 4 — самая младшая.

См. Также: Числовые базы

Пример:

Вес и положение каждой цифры числа 453 следующие:

Позиция	2	1	0
Вес	102	101	100
Номинал	4	5	3

В приведенной выше таблице указано, что:

Значение цифры 4 = 4 × 102 = 400

Значение цифры 4 = 5 × 10 = 50

Значение цифры 3 = 3 × 10 = 3

Фактическое число можно найти, сложив значения, полученные с помощью цифр, следующим образом:

400 + 50 + 3 = 45310

Пример:

Вес и позиция каждой цифры числа 139.78 следующие.

Позиция	2	1	0		-1	–2
Вес	102	101	100	.	10–1	10-2
Номинальная стоимость	1	3	9		7	8

В приведенной выше таблице указано, что:

Значение цифры 1 = 1 × 102 = 100

Значение цифры 3 = 3 × 101 = 30

Значение цифры 9 = 9 × 100 = 9

Значение цифры 7 = 7 × 10-1 = 0.7

Значение цифры 8 = 8 × 10-2 = 0,08

Фактическое число можно найти, сложив значения, полученные с помощью цифр, следующим образом:

100 + 30 + 9 + 0,7 + 0,8 = 139,78

Двоичная система счисления

Цифровой компьютер представляет все виды данных и информации в двоичной системе. Двоичная система счисления состоит из двух цифр 0 и 1. Ее основание — 2. Каждая цифра или бит в двоичной системе счисления может быть 0 или 1.Комбинация двоичных чисел может использоваться для представления различных величин, таких как 1001. Позиционное значение каждой цифры в двоичном числе вдвое больше разрядного или номинального значения цифры его правой стороны. Вес каждой позиции равен 2.

Разрядность цифр в соответствии с положением и весом выглядит следующим образом:

Позиция	3	2	1	0
Вес	23	22	21	20

Пример: преобразование десятичного числа 101112

Позиция	2	1	0	-1	–2
Вес	102	101	100	10–1	10-2
Номинальная стоимость	1	3	9	7	8

101112 = 1 х 24 + 0 х 23 + 1 х 22 + 1 х 21 + 1 х 20

= 1 х 16 + 0 + 1 х 4 + 1 х 2 + 1 х 1

= 16 + 0 + 4 2 + 1

= 2310

Пример: преобразовать 101.1012

Позиция	2	1	0		-1	–2	-3
Номинальная стоимость	1	0	1	.	1	0	1
Масса	24	21	20		2–1	2-2	2-3

101.1012 = 1 x 22 + 0x21 + 1 x 20 + 1x 2-1 + 0 x 2-2 + 1 x 2-3

= 1 х 4 + 0 + 1 х 1 + ½ + 0 + 1/8

= 4 + 0 + 1 + 0,5 + 0,125

= 5,62510

Восьмеричная система счисления

состоит из восьми цифр от 0 до 7. Основа восьмеричной системы — 8. Каждая цифра в этой системе представляет собой степень восьмерки.Любая цифра в этой системе всегда меньше 8. Восьмеричная система счисления используется как сокращенное представление длинных двоичных чисел. Число 6418 недействительно в этой системе счисления, так как 8 не является действительной цифрой.

Значение разряда каждой цифры в соответствии с положением и весом выглядит следующим образом.

Позиция	4	3	2	1	0
Масса	84	83	82	81	80

Пример: преобразовать 458 в десятичное число

458 = 4 х 81 + 5 х 80

= 4 х 8 + 5 х 1

= 32 + 5

= 3710

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления состоит из 16 цифр от 0 до 9 и от A до F.Алфавиты от A до F представляют собой десятичные числа от 10 до 15. Основание этой системы счисления — 16. Каждая цифра в шестнадцатеричной системе представляет собой степень 16. Число 76416 является действительным шестнадцатеричным числом. Он отличается от 76410, который составляет семьсот шестьдесят четыре. Эта система счисления обеспечивает быстрый способ представления длинных двоичных чисел.

Значение разряда каждой цифры в соответствии с положением и весом выглядит следующим образом:

Позиция	4	3	2	1	0
Вес	164	163	162	161	160

Пример: преобразование 3A16 в десятичное число

3A16 = 3 x 161 + A x 160

= 3 х 16 + 10 х 1

= 48 + 10

= 5810

Система счисления и компьютерные науки Пример бесплатного эссе

Сравните различные форматы представления чисел в компьютерах.Кратко обсудите с помощью примеров. Укажите, какое представление чисел является наиболее популярным и почему вы так думаете

Система счисления — это способ представления чисел. Мы привыкли использовать десятичную систему счисления (основание 10). Другие распространенные системы счисления включают шестнадцатеричную (основание 16), восьмеричную (основание 8) и двоичную (основание 2). Что касается компьютерных систем, системы счисления можно разделить на четыре категории:

Десятичная система счисления
Двоичная система счисления
Восьмеричная система счисления
Шестнадцатеричная система счисления

Десятичная система счисления

Термин «десятичный» происходит от латинского префикса «deci», что означает «десять».

Сдавайте бумагу самого высокого качества
Обратитесь к квалифицированному писателю, который поможет вам с

«Системы счисления и информатика»

Получите качественную бумагу

НОВИНКА! AI согласование с писателем

Десятичная система счисления состоит из десяти цифр от 0 до 9. Потому что в этой системе десять цифр; ее также называют десятичной или десятичной системой счисления. Десятичное число всегда следует записывать с нижним индексом 10, например. X10. Но поскольку это наиболее широко используемая система счисления в мире, нижний индекс обычно понимается и игнорируется в письменной работе.

Однако, когда многие системы счисления рассматриваются вместе, всегда следует ставить нижний индекс, чтобы различать системы счисления.

Двоичная система счисления

Для обозначения чисел используются две цифры, а именно 1 и 0. В отличие от десятичных чисел, где значение разряда увеличивается в десять раз, в двоичной системе значения разряда увеличиваются в 2 раза, двоичные числа записываются как X2, рассмотрим двоичное число, такое как 10112. разрядное значение 1–20, в то время как крайнее левое имеет разрядное значение 1–23.

Узнайте смету стоимости вашей бумаги

«Вы должны согласиться с условиями предоставления услуг и политикой конфиденциальности»

Восьмеричная система счисления

Состоит из восьми цифр в диапазоне от 0 до 7. Разряд восьмеричных чисел увеличивается в восемь раз справа налево.

Шестнадцатеричная система счисления

Это система счисления с основанием 16, которая состоит из шестнадцати цифр в диапазоне от 0 до 9 и букв A-F, где A эквивалентно 10, от B до 11 до F, что эквивалентно 15 в системе с основанием десять.Разрядность шестнадцатеричных чисел увеличивается в шестнадцать раз.

Шестнадцатеричное число может быть обозначено с помощью нижнего индекса 16 или заглавной буквы H справа от числа. Например, 94B можно записать как 94B16 или 94BH.

Самое популярное представление числа

Самым популярным представлением чисел среди вышеперечисленных четырех, на мой взгляд, является десятичная система счисления. Это потому, что он не ограничивает нас в использовании его нижнего индекса 10, например X10, как и другие системы счисления.Как это понимает большинство из нас.

Что вы подразумеваете под точностью представления числа с плавающей запятой в стандарте IEEE? Объясните на небольшом примере

IEEE стандартизировал компьютерное представление двоичных чисел с плавающей запятой в IEEE 754 (также известном как IEC 60559) в 1985 году. Новая версия IEEE 754-2008 была опубликована в августе 2008 года после семилетнего процесса пересмотра под председательством Дэна. Зурас и отредактированный Майком Коулишоу. Он заменил как IEEE 754-1985 (двоичная арифметика с плавающей запятой), так и стандарт IEEE 854-1987 для Radix-независимой арифметики с плавающей запятой.Текущая версия IEEE 754-2019, опубликованная в июле 2019 года, является производной и заменяет IEEE 754-2008 после процесса пересмотра, начатого в сентябре 2015 года под председательством Дэвида Г. Хоу и отредактированным Майком Коулишоу. Он включает в себя в основном пояснения и исправления, но также включает некоторые новые рекомендуемые операции. Стандарт предусматривает множество тесно связанных форматов, три из которых особенно широко используются в компьютерном оборудовании и языках:

одинарной точности

Одинарная точность обычно используется для представления типа «float» в семействе языков C (хотя это не гарантируется).Это двоичный формат, занимающий 32 бита (4 байта), а его значащий формат имеет точность 24 бита (около 7 десятичных цифр).

Двойная точность

Двойная точность обычно используется для представления типа «double» в семействе языков C (хотя это не гарантируется). Это двоичный формат, занимающий 64 бита (8 байтов), а его значащий формат имеет точность 53 бита (около 16 десятичных цифр).

Двойной удлиненный

Двойной расширенный формат также называется форматом «расширенной точности».Это двоичный формат, который занимает не менее 79 бит (80, если правило скрытых / неявных битов не используется), а его значащий формат имеет точность не менее 64 бит (около 19 десятичных цифр). Формат, удовлетворяющий минимальным требованиям (64-битная точность, 15-битная экспонента, что соответствует 80 битам), обеспечивается архитектурой x86. Как правило, на таких процессорах этот формат может использоваться с «длинным двойным» в семействе языков C (стандарты C99 и C11 «Расширение арифметических операций с плавающей запятой IEC 60559 — Приложение F» рекомендуют использовать 80-битный расширенный формат как «Длинный дубль», если таковой имеется).

Например, если b = 10, p = 7 и e-max = 96, то e-min =? 95, значащее удовлетворяет 0? с? 9,999,999, а показатель степени удовлетворяет? 101? д? 90. Следовательно, наименьшее ненулевое положительное число, которое может быть представлено, равно 1 × 10 × 101, а наибольшее — 9999999 × 1090 (9,999999 × 1096), поэтому полный диапазон чисел составляет от? 9,999999? 1096 до 9,999999? 1096. . Числа? B1? Emax и b1? Emax (здесь? 1? 10? 95 и 1? 10? 95) являются наименьшими (по величине) нормальными числами; ненулевые числа между этими наименьшими числами называются субнормальными числами.

Компьютерные науки

Приложения в наши дни, куда CS / SE направляется к

Информатика — это изучение компьютеров и вычислительных систем. В отличие от инженеров-электриков и компьютерных инженеров, компьютерные ученые в основном занимаются программным обеспечением и программными системами; это включает их теорию, дизайн, разработку и применение. Основные области изучения компьютерных наук включают искусственный интеллект, компьютерные системы и сети, безопасность, системы баз данных, взаимодействие человека с компьютером, зрение и графику, численный анализ, языки программирования, программную инженерию, биоинформатику и теорию вычислений.

Хотя умение программировать необходимо для изучения информатики, это только один элемент области знаний. Ученые-информатики разрабатывают и анализируют алгоритмы для решения программ и изучают производительность компьютерного оборудования и программного обеспечения. Проблемы, с которыми сталкиваются компьютерные ученые, варьируются от абстрактных (определение того, какие проблемы могут быть решены с помощью компьютеров и сложности алгоритмов, которые их решают), до материальных (разработка приложений, которые хорошо работают на портативных устройствах, которые просты в использовании и которые соблюдать меры безопасности.Его области можно разделить на теоретические и практические дисциплины. Теория вычислительной сложности очень абстрактна, в то время как компьютерная графика делает упор на реальные приложения.

Разница между CS / SE / CE

Компьютерная инженерия (CE)

Он занимается проектированием, разработкой и эксплуатацией компьютерных систем. По своей сути, компьютерная инженерия концентрируется на цифровых аппаратных устройствах и компьютерах, а также на программном обеспечении, которое ими управляет. Компьютерная инженерия делает упор на решение проблем с цифровым оборудованием и программно-аппаратным интерфейсом.

Программная инженерия (SE)

Занимается созданием и сопровождением программных систем. Он больше ориентирован на программное обеспечение и уделяет больше внимания крупным программным приложениям, чем компьютерная инженерия. Он более прикладной, чем информатика, уделяя больше внимания всему процессу разработки программного обеспечения, от идеи до конечного продукта.

Компьютерные науки (КВ)

Он фокусируется на понимании, проектировании и разработке программ и компьютеров. По своей сути компьютерные науки концентрируются на данных, преобразовании данных и алгоритмах.На курсах продвинутого уровня представлены специализированные методы программирования и конкретные области применения. Программа CS менее структурирована, чем программы CE и SE, что дает студентам большую гибкость для углубления и расширения в различных областях приложений или в основах компьютерных наук.

Работа в Интернете

Когда вы вводите слова на веб-странице поисковой системы, она так быстро возвращает вам результаты. (Алгоритмы поиска, параллельные вычисления)

Игра в компьютерные науки

Современные игры выглядят потрясающе, со всеми их крутыми трехмерными эффектами, и все это визуализируется в реальном времени, когда вы играете и постоянно меняете игровую среду.(Компьютерная графика)
Враги в игре кажутся «умными» и могут учиться на ваших действиях. (Искусственный интеллект)
Мы и десятки других игроков можем играть онлайн одновременно, и при этом большую часть времени игра будет отзывчивой. (Сеть, архитектура клиент-сервер)

Загрузка носителя (юридически)

Программы обмена файлами, такие как Bit-Torrent, могут работать намного быстрее, чем простая загрузка с веб-сайта.(Сеть, распределенные алгоритмы)
Разве не удивительно, что когда вы загружаете файл, он всегда попадает на ваш компьютер в первозданном виде, даже если ему пришлось пройти тысячи миль по ненадежным медным проводам? (Надежные сетевые протоколы, обнаружение и исправление ошибок)
Высококачественные фотографии, аудио и видео можно сильно сжать (от 1/10 до 1/100 исходного размера) без большой потери качества. (Алгоритмы сжатия потерь)

Покупки в Интернете

Вы можете быть уверены в том, что никто не украдет номер вашей кредитной карты, пока вы делаете покупки в Интернете.(Сетевая безопасность, криптография)
Продавец может отслеживать, какие товары есть в наличии, и сообщать результаты в режиме реального времени на своем веб-сайте. (Базы данных, веб-программирование)
Некоторые другие приложения информатики: использование наших мобильных телефонов, невротическое обновление ваших страниц в Facebook, Instagram, Twitter, отслеживание профилей других людей и путешествия в самолете.

Будущее компьютерных наук

Будущее информатики может быть не слишком светлым.Компьютеры стали настолько широко распространенной технологией, что я думаю, что изучение вычислительной техники может скоро быть отнесено к другим академическим дисциплинам, и компьютерная наука может потерять свою независимость как академический предмет. Меня не удивит, если через 20 лет отделы информационных технологий вымрут. Вычислительная техника уже породила несколько академических факультетов, таких как информационные технологии, программная инженерия и компьютерная инженерия, которые редко интегрируются с учебной программой факультета компьютерных наук. В последнее время появились и другие вычислительные дисциплины, такие как научные вычисления / вычислительная наука, наука об управлении, цифровая графика и компьютерные игры / виртуальная реальность.

Системы счисления в компьютере

Системы счисления

Человеческие существа используют десятичных (основание 10) и двенадцатеричных (основание 12) систем счисления для счета и измерений (вероятно, потому что у нас 10 пальцев и два больших пальца на ногах). Компьютеры используют двоичную систему счисления (основание 2), поскольку они состоят из двоичных цифровых компонентов (известных как транзисторы), работающих в двух состояниях — включенном и выключенном. В вычислениях мы также используем шестнадцатеричной системы счисления (основание 16) или восьмеричной системы счисления (основание 8) в качестве компактной формы для представления двоичных чисел.

Десятичная система счисления (основание 10):

Десятичная система счисления состоит из десяти символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, называемых цифрами s. Это позиционное обозначение , например

 735D = 7 × 10 ² + 3 × 10 ¹ + 5 × 10 ⁰

Мы будем обозначать десятичное число с необязательным суффиксом D , если возникнет двусмысленность.

Двоичная система счисления (основание 2):

Двоичная система счисления имеет два символа: 0 и 1, которые называются битами .Это также позиционное обозначение , например

 10110B = 1 × 2 ⁴ + 0 × 2 ³ + 1 × 2 ² + 1 × 2 ¹ + 0 × 2 ⁰

Будем обозначать двоичное число суффиксом B . Некоторые языки программирования обозначают двоичные числа с префиксом 0b (например, 0b1001000 ) или префиксом b с указанными битами (например, b'10001111 ').

Двоичная цифра называется бит .Восемь битов называется байтом (почему 8-битная единица? Вероятно, потому что 8 = 2 ³ ).

Шестнадцатеричная система счисления (основание 16):

Шестнадцатеричная система счисления использует 16 символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E и F, называемые шестнадцатеричными цифрами . Это позиционное обозначение , например

 A3EH = 10 × 16 ² + 3 × 16 ¹ + 14 × 16 ⁰

Обозначим шестнадцатеричное число суффиксом H .Некоторые компьютерные языки обозначают шестнадцатеричные числа с префиксом 0x (например, 0x1A3C5F ) или префиксом x с шестнадцатеричными кавычками (например, x'C3A4D98B ').

Каждая шестнадцатеричная цифра также называется шестнадцатеричной цифрой . Большинство языков принимают строчные буквы от 'a' от до 'f' , а также прописные буквы 'A' от до 'F' .

Computers использует двоичную систему в своих внутренних операциях, поскольку она построена из двоичных цифровых электронных компонентов.Однако запись или чтение длинной последовательности двоичных битов обременительны и подвержены ошибкам. Шестнадцатеричная система используется как компактная форма или сокращенная форма для двоичных разрядов. Каждая шестнадцатеричная цифра эквивалентна 4 двоичным битам, то есть сокращению для 4 битов, как показано ниже:

0H (0000B) (0D)	1H (0001B) (1D)	2H (0010B) (2D)	3H (0011B) (3D)
4H (0100B) (4D)	5H (0101B) (5D)	6H (0110B) (6D)	7H (0111B) (7D)
8H (1000B) (8D)	9H (1001B) (9D)	AH (1010B) (10D)	BH (1011B) (11D)
CH (1100B) (12D)	DH (1101B) (13D)	EH (1110B) (14D)	FH (1111B) (15D)

Преобразование систем счисления

Преобразование из шестнадцатеричного в двоичное:

Замените каждую шестнадцатеричную цифру 4 эквивалентными битами, например,

 A3C5H = 1010 0011 1100 0101B
102AH = 0001 0000 0010 1010B

Преобразование из двоичного в шестнадцатеричный:

Начиная справа (младший бит), замените каждую группу из 4 бит на эквивалентную шестнадцатеричную цифру, например,

 1001001010B = 0010 0100 1010B = 24AH
10001011001011B = 0010 0010 1100 1011B = 22CBH

Важно отметить, что шестнадцатеричное число обеспечивает компактную форму или сокращенную для представления двоичных битов.

Преобразование из базы

r в десятичную систему (основание 10):

Для n -значного основания r номер: dn-1 dn-2 dn-3 ... d3 d2 d1 d0 (основание r), десятичный эквивалент равен:

 dn-1 × r ⁽ n-1) + dn-2 × r ⁽ n-2) + ... + d1 × r ¹ + d0 × r ⁰

Преобразование десятичного числа (основание 10) в основание

r :

Использовать повторное деление / остаток.Например,

 Чтобы преобразовать 261D в шестнадцатеричное:
261/16 частное = 16 остаток = 5
16/16 частное = 1 остаток = 0
1/16 частное = 0 остаток = 1 (частное = 0 стоп)
Следовательно, 261D = 105H

Совет : Вы можете использовать калькулятор Windows для преобразования чисел, выбрав научный режим (Запустите «Калькулятор» ⇒ Выберите меню «Просмотр» ⇒ Выберите «Научный» режим).

Упражнения

Преобразует следующие десятичных чисел в двоичных и шестнадцатеричных чисел .
```
 108; 4848; 9000 
```
Преобразуйте следующие двоичные числа в шестнадцатеричные и десятичные числа.
```
 1000011000; 10000000; 101010101010 
```
Преобразуйте следующие шестнадцатеричные числа в двоичные и десятичные числа.
```
 ABCDE; 1234; 80F 
```

Вы можете использовать калькулятор Windows ( calc.exe ), чтобы проверить свой ответ, установив его в научный режим (выберите меню «Просмотр» ⇒ выберите «Научный» режим).

Ответы:

1101100B , 1001011110000B , 10001100101000B , 6CH , 12F0H , 2328H ;
218H , 80H , AAAH , 536D , 128D , 2730D ;
10101011110011011110B , 1001000110100B , 100000001111B , 703710D , 4660D , 2063D .

Ссылки и ресурсы

Система счисления для класса 11

Система счисления — это способ представления всего в виде цифр. Существует четыре типа системы счисления.

1. Двоичная система счисления

Двоичная система счисления может содержать две цифры 0 и 1. Таким образом, основание двоичной системы счисления равно 2. Двоичные числа представлены с помощью 2 в качестве индекса значения.

Примеры двоичных чисел:

(1101) ₂
(1110.011) ₂

2. Десятичная система счисления

Десятичная система счисления может содержать цифры от 0 до 9. Таким образом, основание десятичной системы счисления — 10. Десятичные числа представлены с 10 в качестве индекса значения.

Примеры десятичных чисел:

(1234) ₁₀
(55,34) ₁₀

3. Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления может содержать цифры от 0 до 7 .Таким образом, основание восьмеричной системы счисления — 8. Восьмеричные числа представлены с 8 в качестве нижнего индекса к значению.

Примеры восьмеричных чисел:

(561) ₈
(17,54) ₈

4. Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления может содержать цифры от 0 до 9 и алфавиты от A до F, где

A = 10

B = 11

C = 12

D = 13

E = 14

F = 15

Таким образом, основание шестнадцатеричной системы счисления — 16.Шестнадцатеричные числа представлены индексом 16 к значению.

Примеры шестнадцатеричных чисел: :

(A74) ₁₆
(91.B3) ₁₆

Преобразование числовой системы

1. Преобразование десятичной системы в двоичную в

Чтобы получить двоичный эквивалент десятичного числа, десятичное число следует многократно разделить на 2 остатка записи, полученного на каждом шаге.

Это должно продолжаться до тех пор, пока последнее частное не станет равным 1.Остатки следует записывать снизу вверх, чтобы получить двоичный эквивалент десятичного числа.

(17) ₁₀ = (?) ₂ = (10001) ₂

2. Преобразование десятичного в восьмеричное

Для получения восьмеричного эквивалента десятичного числа , десятичное число следует многократно разделить на 8 остатков записи, получаемых на каждом шаге.

Это должно продолжаться до тех пор, пока последнее частное не станет меньше 8.Остатки следует записывать снизу вверх, чтобы получить восьмеричный эквивалент десятичного числа.

_3. Преобразование десятичного числа в шестнадцатеричное

Чтобы получить шестнадцатеричный эквивалент десятичного числа, десятичное число следует многократно разделить на 16 остатков записи, получаемых на каждом шаге.

Это должно продолжаться до тех пор, пока последнее частное не станет меньше 16. Остатки следует записывать снизу вверх, чтобы получить шестнадцатеричный эквивалент десятичного числа.

4. Преобразование двоичного числа в десятичное

Чтобы получить десятичный эквивалент двоичного числа, отдельные цифры двоичного числа следует умножить на степени 2, начиная с крайней правой цифры, умноженной на 2 ⁰, вторая последняя цифра умножается на 2 ¹, третья последняя цифра умножается на 2 ² и так далее до самой левой цифры.

Пример :

5.Преобразование восьмеричного числа в десятичное

Чтобы получить десятичный эквивалент восьмеричного числа, отдельные цифры восьмеричного числа должны быть умножены на степень 8, начиная с крайней правой цифры, умноженной на 8 ⁰, вторая последняя цифра умножена на 8 ¹, третья последняя цифра умножается на 8 ² и так далее до самой левой цифры.

Пример:

** Стрелки обозначают значения для умножения.

6. Преобразование шестнадцатеричного числа в десятичное

Чтобы получить десятичный эквивалент шестнадцатеричного числа, отдельные цифры шестнадцатеричного числа должны быть умножены на степень 16, начиная с крайней правой цифры, умноженной на 16 ⁰, вторая последняя цифра умножена на 16 ¹ , третья последняя цифра умножается на 16 ² и так далее до самой левой цифры.

В случае букв от A до F коды алфавитов должны быть умножены на степень 16.

Пример:

** Стрелки представляют значения, которые необходимо умножить.

7. Преобразование восьмеричного числа в двоичное

Чтобы получить двоичный эквивалент восьмеричного числа, отдельные цифры восьмеричного числа должны быть преобразованы в двоичное в группах по три цифры.

Например, чтобы получить двоичный эквивалент восьмеричного числа 127 , мы можем предпринять следующие шаги:

Двоичный эквивалент 7 — 111

Двоичный эквивалент 2 — 010

Двоичный эквивалент 1 — 001

Итак, двоичный эквивалент из (127) ₈ это:

8.Преобразование шестнадцатеричного числа в двоичное

Чтобы получить двоичный эквивалент шестнадцатеричного числа, отдельные цифры шестнадцатеричного числа должны быть преобразованы в двоичное в группах по четыре цифры.

Например, чтобы получить двоичный эквивалент шестнадцатеричного числа A27, мы можем предпринять следующие шаги:

Двоичный эквивалент 7 — 0111

Двоичный эквивалент 2 — 0010

Двоичный эквивалент A (10) — 1010

Итак, двоичный эквивалент (A27) ₁₆ :

9.Преобразование двоичного числа в восьмеричное

Чтобы получить восьмеричный эквивалент двоичного числа, цифры двоичного числа должны быть разделены на группы по три цифры, начиная с самой правой цифры. Затем эти группы следует преобразовать в соответствующие десятичные числа.

Например, чтобы получить восьмеричный эквивалент двоичного числа 101011, мы можем предпринять следующие шаги:

101011 делится на группы из трех цифр:

(101) (011)

Десятичный эквивалент 011 — 3

Десятичный эквивалент 101 — 5

Восьмеричный эквивалент 101011 ₂ :

10.Преобразование двоичного числа в шестнадцатеричное

Чтобы получить шестнадцатеричный эквивалент двоичного числа, цифры двоичного числа должны быть разделены на группы по четыре цифры, начиная с крайней правой цифры. Затем эти группы следует преобразовать в соответствующие десятичные числа.

Например, чтобы получить восьмеричный эквивалент двоичного числа 1011101011, мы можем предпринять следующие шаги:

1011101011 делится на группы из четырех цифр как:

(0010) (1110) (1011)

Примечание: нули заполняется в начале самой левой группы двоичных цифр, если количество цифр меньше четырех.

Десятичный эквивалент 1011 — 11 (B)

Десятичный эквивалент 1110 — 14 (E)

Десятичный эквивалент 0010 — 2

Шестнадцатеричный эквивалент 1011101011 ₂ — это:

Двоичное сложение

Двоичные числа можно складывать так же, как и обычные числа, но в случае двоичных чисел сумма всегда равна 0 или 1. Правила сложения двоичных чисел следующие:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0 с переносом 1

Пример 1:

Сумма в приведенном выше примере выполняется следующими шагами:

1 + 1 = 10 = 0 с переносом 1.

1 + 0 + 1 = 10 = 0 с переносом 1

1 + 1 + 0 = 10 = 10 = 0 с переносом 1

1 + 1 + 1 = 10 + 1 = 11 = 1 с переносом 1

1 +1 +1 = 11

Пример 2:

Теги урока: двоичная система счисления, двоичное преобразование в десятичное, десятичная система счисления, десятичное преобразование в двоичное, десятичное в шестнадцатеричное преобразование, десятичное преобразование в восьмеричное, шестнадцатеричная система счисления, шестнадцатеричное преобразование в десятичное, шестнадцатеричное преобразование в двоичное, преобразование системы счисления, восьмеричное Система счисления, восьмеричное преобразование в десятичное, восьмеричное преобразование в двоичное.

Принципы CS

Это упражнение знакомит с концепцией, на которой построено абстракций. двоичные последовательности могут использоваться для представления всех цифровых данных .Он также вводит понятие алгоритма . Это фокусируется на следующих целях обучения:

5б. Объяснение того, как системы счисления, включая двоичные и десятичные, используются для рассуждений о цифровых данных.
16а. Использование естественного языка, псевдокода, визуального или текстового языка программирования для выражения алгоритма.

Вступление

Этот урок предполагает, что вы выполнили домашнее задание по двоичному и шестнадцатеричные системы счисления.Эта домашняя работа описывала, как работают двоичные, десятичные и шестнадцатеричные системы счисления и показали, как конвертировать из одной системы счисления в другую.

В этом уроке мы хотим обобщить то, что мы узнали, увидев эти системы счисления как конкретные примеры более общей концепции, позиционная система счисления .

Мы разработаем алгоритмов , которые позволят вам выполнять преобразования из одной системы счисления в другую.

Тип обобщения, который мы делаем в этом уроке, — это еще один пример принципа абстракции в информатике — здесь мы сосредотачиваемся на общей схеме, которая верна для всех позиционные системы счисления.

Алгоритмы и псевдокод

Алгоритм представляет собой пошаговую процедуру для выполнения некоторых вычислений. Например, шаги, которые вы выполняете в приложении Hello Purr , когда кнопка clicked — это пример простого двухэтапного алгоритма:

Чтобы помочь нам рассказать об алгоритмах, мы будем использовать псевдокод, язык или обозначение, которые имеют многие структуры язык программирования, но его легко читать. Псевдокады на полпути между естественными языками, такими как английский, и формальным программированием языков.

Позиционные системы счисления

Давайте рассмотрим некоторые ключевые моменты, которые вы усвоили в книге Хан. Видео Академии.

Наша десятичная система счисления (а также двоичная и шестнадцатеричная систем) являются частными примерами более общей концепции позиционный система счисления.
В позиционной системе счисления один и тот же символ может представлять разные значения в зависимости от позиции (или позиции ) в цифра. Например, в 91 9 представляет 90 (10-е место). но в 19 он представляет собой 9 (первое место).Сравните это с тем, как символы работают в непозиционной системе, например римские цифры, где X всегда представляет 10.

Основание числовой системы представляет собой количество символы, которые он имеет:

Имя	База	Символы
Десятичное	10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Двоичное	2	0 , 1
Шестнадцатеричный	16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Восьмеричный	8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

В позиционных системах счисления используется возведение в степень от до определить значение символа в зависимости от его места.Мы можем использовать это идея перевести из любой системы в десятичную:

Система	База	Значение	Формула преобразования	Десятичное значение
Десятичное	10	104	(1 × 10 ²) + (0 × 10 ¹) + ( 4 × 10 ⁰)	100 + 0 + 4 = 104
Двоичный	2	111	(1 × 2 ²) + (1 × 2 ¹) + (1 × 2 ⁰)	4 + 2 + 1 = 7
Восьмеричное	8	104	(1 × 8 ²) + (0 × 8 ¹) + (4 × 8 ⁰)	64 + 0 + 4 = 68
Шестнадцатеричный	16	FEC	(F × 16 ²) + (E × 16 ¹) + (C × 8 ⁰ )	15 × 256 + 14 × 16 + 12 × 1 = 3840 + 224 + 12 = 4076

Алгоритмы преобразования

Обобщим эти формулы преобразования, разработав общий алгоритм, который преобразует любую систему счисления в десятичную.

Алгоритм преобразования любого основания в десятичное число с основанием 10

Пусть n будет количеством цифр в номере. Например, 104 состоит из 3 цифр, поэтому n = 3 .
Пусть b будет основанием числа. Например, 104 является десятичным, поэтому b = 10 .
Пусть с будет промежуточным итогом, изначально равным 0.
Для каждой цифры в номере, работая слева направо, выполните:
Вычтем 1 из n .
Умножьте цифру на b ⁿ и прибавьте к s .
Когда вы закончите со всеми цифрами в номере, его десятичное значение будет s

Попробуем на двоичном числе 1011.

Пусть n = 4.
Пусть b = 2.
Пусть s = 0.
   Первая цифра, 1: n = 3, 1 × b ⁿ равно 1 × 2 ³ = 8. Итак, s = 8.
   Вторая цифра, 0: n = 2, 0 × b ⁿ равно 0 × 2 ² = 0. Итак, s = 8.
   Третья цифра, 1: n = 1, 1 × b ⁿ равно 1 × 2 ¹ = 2. Итак, s = 10.
   Последняя цифра, 1: n = 0, 1 × b ⁿ равно 1 × 2 ⁰ = 1.Итак, 1011 ₂ = 11 ₁₀

Цифра	n	Значение = Цифра * b ⁿ	Итого
1	3	1 × 2 ³ = 8	8
2	0 × 2 ² = 0	8
1	1	1 × 2 ¹ = 2	10
1	0	1 × 2 ⁰ = 1	11

Попробуем на шестнадцатеричном числе 7E.

Пусть n = 2.
Пусть b = 16.
Пусть s = 0.
   Первая цифра, 7: n = 1, 7 × b ⁿ равно 7 × 16 ¹ = 7 × 16 = 112. Итак, s = 112.
   Последняя цифра, E: n = 0, 14 × b ⁿ равно 14 × 16 ⁰ = 14. Таким образом, s = 112 + 14 = 126. Итак, 7E ₁₆ = 126 ₁₀

Цифра	n	Значение = Цифра * b ⁿ	Итого
7	1	7 × 16 ¹ = 112	114
0	14 × 16 ⁰ = 14	126

Попробуем на восьмеричном числе 124.

Пусть n = 3.
Пусть b = 8.
Пусть s = 0.
   Первая цифра, 1: n = 2, 1 × b ⁿ равно 1 × 8 ² = 1 × 64 = 64. Итак, s = 64.
   Вторая цифра, 2: n = 1, 2 × b ⁿ равно 2 × 8 ¹ = 2 × 8 = 16. Итак, s = 64 + 16 = 80.
   Последняя цифра, 4: n = 0, 4 × b ⁿ равно 4 × 8 ⁰ = 4. Итак, s = 80 + 4 = 84. Итак, 124 ₈ = 84 ₁₀

Цифра	n	Значение = Цифра * b ⁿ	Итого
1	2	1 × 8 ² = 64	64
1	2 × 8 ¹ = 16	80
4	0	4 × 8 ⁰ = 4	84

Алгоритм преобразования десятичного числа в другое основание

Пусть n будет десятичным числом.
Пусть m будет числом, изначально пустым, в которое мы конвертируем. Мы будем составлять его справа налево.
Пусть b будет основанием числа, в которое мы конвертируем.
Повторяйте, пока n не станет 0
Разделите n на b , пусть результат будет d , а остаток будет r .
Запишите остаток r как крайнюю левую цифру из b .
Пусть d будет новым значением n .

Воспользуемся алгоритмом для преобразования 45 в двоичную форму.

Пусть n = 45.
Пусть b = 2.
Повторить
   45, деленное на b, составляет 45/2 = 22, остаток 1. Итак,  d = 22  и  r = 1 . Итак,  m = 1 , а новое  n  равно 22.
   Деление 22 на b дает 22/2 = 11 остаток 0. Итак,  d = 11  и  r = 1 . Итак,  m = 01 , а новое  n  равно 11.
   11, разделенное на b, равно 11/2 = 5, остаток 1.Итак,  d = 5  и  r = 1 . Итак,  m = 101 , а новое  n  равно 5.
    Деление 5 на b дает 5/2 = 2 остатка 1. Итак,  d = 2  и  r = 1 . Итак,  m = 1101 , а новое  n  равно 2.
    2, деленное на b, равно 2/2 = 1 остаток 0. Итак,  d = 1  и  r = 0 . Итак,  m = 01101 , а новое  n  равно 1.
    1, деленное на b, равно 1/2 = 0, остаток 1. Итак,  d = 0  и  r = 1 . Итак,  m = 101101  и новое  n  равно 0.Итак, 45 ₁₀ = 101101 ₂

Давайте воспользуемся им для преобразования 99 в двоичную форму.

Пусть n = 99.
Пусть b = 2.
Повторить
   99 разделить на b равно 99/2 = 49 остаток 1. Итак,  d = 49  и  r = 1 . Итак,  m = 1 , а новое  n  равно 49.
   49, деленное на b, составляет 49/2 = 24 остатка 1. Итак,  d = 24  и  r = 1 . Итак,  m = 11 , а новое  n  равно 24.
   24 делить на b равно 24/2 = 12, остаток 0.Итак,  d = 12  и  r = 0 . Итак,  m = 011 , а новое  n  равно 12.
   Деление 12 на b дает 12/2 = 6 остаток 0. Итак,  d = 6  и  r = 0 . Итак,  m = 0011 , а новое  n  равно 6.
    6, деленное на b, составляет 6/2 = 3 остатка 0. Итак,  d = 3  и  r = 0 . Итак,  m = 00011 , а новое  n  равно 3.
    3, деленное на b, составляет 3/2 = 1 остаток 1. Итак,  d = 1  и  r = 1 . Итак,  m = 100011 , а новое  n  равно 1.1, деленное на b, равно 1/2 = 0, остаток 1. Итак,  d = 0  и  r = 1 . Итак,  m = 1100011 , а новое  n  равно 0. Итак, 99 ₁₀ = 1100011 ₂

Давайте воспользуемся им для преобразования 45 в шестнадцатеричное.

Пусть n = 45.
Пусть b = 16.
Повторить
   45, деленное на b, составляет 45/16 = 2 остатка 13. Итак,  d = 2  и  r = 13 . Итак,  m = D , а новое  n  равно 2.
    2, деленное на b, равно 2/16 = 0, остаток 2.Итак,  d = 0  и  r = 2 . Итак,  m = 2D , а новое  n  равно 0. Итак, 45 ₁₀ = 2D ₁₆.

Давайте воспользуемся им для преобразования 99 в шестнадцатеричное.

Пусть n = 99.
Пусть b = 16.
Повторить
   99, деленное на b, дает 99/16 = 6 остаток 3. Итак,  d = 6  и  r = 3 . Итак,  m = 3 , а новое  n  равно 6.
    6, деленное на b, составляет 6/16 = 0 остаток 6. Итак,  d = 0  и  r = 6 .Итак,  m = 63 , а новое  n  равно 0. Итак, 99 ₁₀ равно 63 ₁₆.

Упражнения в классе

Преобразуйте следующие числа в десятичную систему.
1. Двоичное число 111.
2. Двоичное число 1011.
3. Двоичное число 1011 1011.
4. Шестнадцатеричное число 61.
5. Шестнадцатеричное число DA.
6. Шестнадцатеричное число FEE.
Преобразуйте следующие десятичные числа, как указано.
1. Преобразование десятичного числа 12 в двоичное.
2. Преобразование десятичного числа 44 в двоичное.
3. Преобразование десятичного числа 254 в шестнадцатеричное.
4. Преобразование десятичного числа 16 в шестнадцатеричное.
Задача: преобразовать десятичную 125 в восьмеричную (с основанием 8) .

Системы счисления в компьютере — DataFlair

Система счисления — это то, что мы используем каждый день для выполнения наших задач и повседневных дел. Для этого у нас есть система с уникальными символами и конкретными значениями.Эта система становится тем, что мы называем системой счисления, помогающей нам все рассчитывать.

Основными характеристиками системы счисления являются — уникальные символы, последовательность, сопоставимые результаты значений и простота воспроизведения. Десятичная система остается самой базовой системой, используемой людьми, с базовой степенью 10, но то же самое нельзя сказать и о машинах.

Машины интерпретируют числа иначе, чем люди, поэтому для этого нужна совершенно другая система. Когда мы что-то печатаем на устройстве, эти буквы преобразуются в определенные числа, понятные только компьютеру.Позиционная система счисления — это то, что нужно устройству, где есть цифры и разные значения, составляющие целое число. Каждая цифра имеет свое уникальное положение и символ. Значение каждой цифры может быть определено: цифрой, положением цифры в числе и основанием числа.

Компьютер поддерживает четыре системы счисления. Их —

двоичный
восьмеричный
Десятичное
Шестнадцатеричный

С.№	Система счисления	Описание	Пример
1	Двоичная система счисления	База 2. Используемые цифры: 0, 1	11010
2	Восьмеричная система счисления	База 8. Используемые цифры: от 0 до 7	125708
3	Шестнадцатеричная система счисления	База 16. Используемые цифры: от 0 до 9 Используемые буквы: A- F	27FB
4	Десятичная система счисления	База 10. Используемые цифры: от 0 до 9	1234

1. Десятичная система счисления

Десятичная система счисления — это наиболее распространенная система счисления, которую мы используем в повседневной жизни. В этой системе счисления всего 10 цифр, так как в ней используются числа от 0 до 9.Все цифры имеют собственное значение разряда в соответствии с их положением.

При каждом движении справа налево числовое значение увеличивается на 10. Позиция слева от десятичной дроби соответствует десяткам, сотням, тысячам и т. Д. Единицам.

Например — Десятичное число 4567 состоит из 7 в позиции единицы, 6 в позиции десятков, 2 в позиции сотен и 1 в позиции тысяч.

(4 x 1000) + (5 x 100) + (6 x 10) + (7 x l)
4000 + 500 + 60 + 7
4567

2.Двоичная система счисления

Самая основная единица хранения в устройстве представлена битом. Компьютер использует бит для отображения любой информации. Транзисторы — важная часть компьютерной системы, позволяющая току течь в устройстве. Он может быть включен или выключен.

Каждое число, которое мы видим на компьютере, представляет собой электрический сигнал, который ранее был представлен включением и выключением, создающим двоичный переключатель. Включенное и выключенное состояние использует 1 и 0 для представления ситуации, когда двоичная система счисления является основанием 2.

Только эти два символа представляют каждое число. 0 для более низкой скорости, а 1 для более высокой скорости. Числа здесь не как отдельные единицы, а состоят из групп единиц и нулей. Каждая двоичная цифра представляет собой бит, а значения разряда представляют собой возрастающие степени двойки слева направо. Наименее значимый бит находится справа, а старший разряд — слева. Например — 11010

При преобразовании в десятичную систему —
= 11010
= 1 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 0 × 20
= 16 + 8 + 0 + 2 + 0
= 2610

Таблица преобразования долота —

1 байт (B) = 8 бит
1 килобайт (КБ) = 1024 байта
1 мегабайт (МБ) = 1024 КБ
1 гигабайт (ГБ) = 1024 МБ
1 терабайт (ТБ) = 1024 ГБ
1 эксабайт (ЭБ) = 1024 ПБ
1 зеттабайт = 1024 EB
1 йоттабайт (YB) = 1024 ZB

Преобразовать десятичное в двоичное

Разделите десятичное число на 2
Оставить целое частное для следующей итерации
Оставить остаток для двоичной цифры
Повторяйте шаги, пока не получите 0 в качестве частного

Пример —

Отдел	Остаток (R)
112/2 = 56	0
56/2 = 28	0
28/2 = 14	0
14/2 = 7	0
7/2 = 3	1
3/2 = 1	1
1/2 = 0	1

3.Восьмеричная система счисления

В восьмеричной системе счисления, как следует из названия, есть основание из восьми чисел. Используемые цифры — 0,1,2,3,4,5,6,7. Каждая позиция восьмеричного числа имеет нулевую степень основания.

Последняя цифра восьмеричного числа имеет степень x основания. Эта система счисления не очень распространена и используется в основном, когда количество битов кратно 3. Система UNIX и числа UTF8 используют ее как сокращение для представления файлов.

Целью разработки этой системы было сделать двоичный файл более компактным.Он объединяет двоичные цифры в группу из трех вместо четырех. Основная восьмерка происходит только от десятичной системы счисления. Например — 125708
При переводе в десятичную систему —

125708
= ((1 x 84) + (2 x 83) + (5 x 82) + (7 x 81) + (0 x 80)) 10
= (4096 + 1024 + 320 + 56 + 0) 10
= 549610

Конвертировать двоичное в восьмеричное

Первый шаг — сгруппировать двоичные цифры в набор из 3.
Умножьте каждую группу, добавив нули, чтобы она делилась на 3.
Напишите восьмеричный символ для каждой группы внизу.
Это даст вам восьмеричное число, полученное из двоичного числа.
Если поменять местами последние два шага, вместо восьмеричного будет получено двоичное число.

Пример — 1010111100
= (1010111100) 2
= (00101011100) 2
= (1 2 7 4) 8
= (1274) 8

4. Шестнадцатеричная система счисления

Компьютеры легко понимают двоичную систему счисления, чего нельзя сказать о людях.Особенно при работе с большим числом только двоичные файлы становятся более подверженными ошибкам и ошибкам.

Чтобы решить эту проблему, в шестнадцатеричной системе счисления двоичные числа были объединены в группу из четырех битов. Это компактный подход к представлению чисел на компьютере, поскольку для него требуется всего 4 бита. Шестнадцатеричная система счисления имеет основание 16, что означает, что в ней всего 16 символов.

В этой системе 10 чисел десятичной системы и A, B, C, D, E и F в качестве дополнительных символов.Эти буквы просто представляют числа, которые идут после 10. Каждое разрядное значение в числе обозначает степень основания 0, в то время как последние цифры имеют степень z основания. Например — 27FB

При переводе в десятичную систему —

27FB × 16 = 2 × 16 3 + 7 × 16 2 + 15 × 16 1 + 10 × 16

= 8192 + 1792 + 240 +10

= 1023410

Преобразовать двоичное в шестнадцатеричное

Первый шаг — сгруппировать двоичные цифры в набор из 4 цифр.
И затем каждый квартет заменяется шестнадцатеричным представлением.
Это даст вам шестнадцатеричное число, полученное из двоичного числа.

Пример — 1010101101001

= (1010101101001) 2
= (1 0101 0110 1001) 2
= (0001 0101 0110 1001) 2
= (1 5 6 9) 16
= (1569) 16

Отношение к системе счисления

ШЕСТНАДЦАТЬ	ДЕСЯТИЧНЫЙ	Восьмеричный	ДВОИЧНЫЙ
0	0	0	0000
1	1	1	0001
2	2	2	0010
3	3	3	0011
4	4	4	0100
5	5	5	0101
6	6	6	0110
7	7	7	0111
8	8	10	1000
9	9	11	1001
А	10	12	1010
B	11	13	1011
С	12	14	1100
Д	13	15	1101
E	14	16	1110
F	15	17	1111

ASCII

Алфавиты, знаки препинания, символы и т. Д. Также являются важной частью компьютерного языка, с которой ему нужно работать.Набор английского языка, который использует компьютер, имеет буквенно-цифровые коды, числовой эквивалент каждого алфавита, который включает —

26 заглавных букв
26 строчных букв
10 цифр
7 знаков препинания
От 20 до 40 специальных символов

Американский стандартный код для обмена информацией (ASCII) — это общий цифровой код, используемый во всем мире и имеющий 128 возможных кодов.

Код ASCII

ISCII

Индийский сценарий обмена информацией предназначен для поддержки индийских языков на устройствах, включая деванагари, тамильский, бангла, телугу и т. Д.Правительство было наиболее частым пользователем этого языка, но вскоре Unicode заменил его.

Юникод

Международная система кодирования с разными языковыми сценариями — Unicode. Для каждого символа существует уникальное числовое значение, и каждый скрипт также имеет систему кодирования. Идея состоит в том, чтобы гарантировать, что для каждого символа на каждом языке существует уникальный номер.

Заключение

Система счисления является неотъемлемой частью компьютерных технологий, позволяя компьютерам выполнять все функции всего за несколько секунд.

В
«Компьютерные способности для начинающих» эта тема является частью основ, которые появляются на многих конкурсных экзаменах в Индии. Такие экзамены, как Bank PO, экзамены IBPS, экзамены SBI и железнодорожные экзамены, включают в себя компьютерные навыки как часть их учебной программы. Это делает очень важным, чтобы все кандидаты внимательно прочитали тему.
позиционных систем счисления | Успех технологического колледжа Айви 115
Позиционные системы счисления
Основы десятичной, двоичной и шестнадцатеричной системы счисления: позиционные системы счисления
Всем известно, что калькуляторы могут выполнять преобразование двоичного числа в десятичное и тому подобное.Тем не менее, это значительно расширит ваше понимание вычислений (и упростит другие задачи), если вы просто потратите время на изучение позиционных систем счисления и того, как они работают. Запоминания не требуется! Также не нужно добавлять длинную строку чисел для получения единственного ответа.
Если числовое преобразование не является конечной целью, тогда зачем мы это делаем? Это делается для того, чтобы вы могли начать распознавать, попадают ли символы в числовые диапазоны или нет. Например, вы, вероятно, знаете, что 300 находится между 298 и 324.А как насчет ABF4 и диапазона от AB10 до ABE7? (Это снаружи.)
В любой позиционной системе счисления окончательное числовое значение определяется позицией, которую занимает число, а не самим числом. Возьмем, к примеру, число 427. Хотя 7 считается большим числом, чем 4, мы знаем, что в этом случае 7 стоит меньше, чем 4. Почему? Из-за его соответствующей позиции в номере.
Позиционные системы счисления и их расположение / значение цифр работают с использованием базового числа с рядом экспонент, примененных к основанию.В десятичной системе счисления основание равно 10, в двоичной системе счисления — 2, а в шестнадцатеричной системе счисления — 16.
База 10
В десятичной системе это работает так (рассечение начинается с самого правого целого числа):
Основание и экспонента 10 ³ 10 ² 10 ¹ 10 ⁰
Масса 1000
100 10 1
427 = (7) (10 ⁰) + (2) (10 ¹) + (4) (10 ²)
= (7) (1) + (2) (10) + (4) (100)
= 7 + 20 + 400
Кстати, по определению любое число с показателем 0 равно 1.Это одно из тех математических определений, которые мы действительно не хотим доказывать в данный момент — просто верьте в это! 🙂
[Однако, если вам действительно интересно, взгляните на это: когда мы умножаем как основание, мы складываем экспоненты. Это означает 10 ¹ * 10 ^-1 = 10 ⁰. Помните, что 10 ¹ = 10 и 10 ^-1 = 1/10, поэтому мы можем проверить нашу работу, подставив эти числа в уравнение, в котором используются экспоненты. Действительно, 10 * 1/10 = 1!]
Также обратите внимание, что в Base 10 у нас есть десять целых чисел на выбор для заполнения позиции (0-9).
По сути, мы работаем с некоторыми довольно сложными математическими идеями в Base 10. Элементарное обсуждение разрядов единиц, десятков и сотен не так просто! Давайте применим те же принципы к двоичной системе счисления или системе счисления с основанием 2 (часто обозначается индексом ₂).
База 2 или двоичная
В базе 2 у нас есть два целых числа, которые могут заполнить позицию (0,1). Используя модель Base 10 в качестве руководства, преобразуйте двоичное число 1101 ₂, снова начиная преобразование с самого правого целого числа или младшего значащего бита ():
Основание и экспонента 2 ³ 2 ² 2 ¹ 2 ⁰
Масса 8
4 2 1
1101 = (1) (2 ⁰) + (0) (2 ¹) + (1) (2 ²) + (1) (2 ³)
= (1) (1) + (0) (2) + (1) (4) + (1) (8)
= 1 + 0 + 4 + 8
Другой способ просмотреть преобразование двоичного числа в десятичное — отметить, есть ли у вас цифра 1 или 0 в месте — точно так же, как да или нет (вы знаете — черный / белый или двоичный).В случае 1101, все, что необходимо — это базовая инвентаризация. Есть ли галочка в месте восьмерки? Да (и так далее). Хитрость заключается в том, чтобы запомнить значение в каждом месте и помнить, что 20 равно 1.
Когда мы смотрим на любые другие позиционные системы счисления (например, троичную (основание 3), восьмеричную (основание 8), шестнадцатеричную (основание 16)), мы обнаруживаем, что они работают одинаково.
В целях организации сети мы часто ссылаемся на октеты или группу из восьми двоичных чисел с 1 или 0 в каждом месте от 20 до 27.Если единица встречается в каждом месте, что приводит к двоичному числу 11111111, десятичный эквивалент равен 255.
В качестве информационной точки (без каламбура) точка, которую мы так нежно называем «десятичной точкой», является всего лишь десятичной точкой в десятичной системе счисления. Его официальное название — «основание». Как ни странно, жизнь в позиционных системах счисления работает одинаково по обе стороны от системы счисления. Проверьте это!
Основание и экспонента 10 ⁰ 10 ^-1 10 ^-2 10 ^-3
Масса 1
.1 или 1/10
. 01 или 1/100
.001 или 1/1000

Основание и экспонента 2 ⁰ 2 ^-1 2 ^-2 2 ^-3
Масса 1
.5 или 1/2
.25 или 1/4
.125 или 1/8

А как насчет шестнадцатеричной системы счисления?
Как вы уже догадались — это тоже позиционная система счисления с основанием 16. Мы используем 16 символов в шестнадцатеричной системе счисления. Вы знакомы с числами от 0 до 9, а что насчет остальных?
Мы используем A-F для представления десятичных чисел от 10 до 16!
A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 F = 15
Основание и экспонента 16 ³ 16 ² 16 ¹ 16 ⁰
Масса 4096
256 16 1
Вот пример шестнадцатеричного числа и его анализа с использованием более раннего метода (всегда начинайте с самого правого числа):
7D4F ₁₆ = (15) (16 ⁰) + (4) (16 ¹) + (13) (16 ²) + (7) (16 ³)
= (15) (1) + (4) (16) + (13) (256) + (7) (4096)
Вытяните свой калькулятор или электронную таблицу, если вы хотите найти сумму, но она не имеет отношения к пониманию системы счисления.

Основание и экспонента	10 ³	10 ²	10 ¹	10 ⁰
Масса	1000	100	10	1

Основание и экспонента	2 ³	2 ²	2 ¹	2 ⁰
Масса	8	4	2	1

Основание и экспонента	10 ⁰	10 ^-1	10 ^-2	10 ^-3
Масса	1	.1 или 1/10	. 01 или 1/100	.001 или 1/1000

Основание и экспонента	2 ⁰	2 ^-1	2 ^-2	2 ^-3
Масса	1	.5 или 1/2	.25 или 1/4	.125 или 1/8

Основание и экспонента	16 ³	16 ²	16 ¹	16 ⁰
Масса	4096	256	16	1