Двоичная система счисления пример: Двоичная система счисления

18. Двоичная, десятичная и шестнадцитеричная системы счисления.

Двоичная система счисления — это позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе счисления числа записываются с помощью двух символов: 0 и 1.
Двоичную цифру называют битом.
Двоичная система счисления является основной системой представления информации в памяти компьютера.

Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел.

Таблица сложения

Пример: 1001 + 10 = 1011

Таблица вычитания

Пример: 1111101 — 10001 = 1101100

Таблица умножения

Пример: 1111 · 1001 = 10000111

Правило перевода целых чисел из десятичной системы счисления в другие позиционные системы счисления:

1. Разделить целое десятичное число на основание новой системы счисления, выделив целую часть и остаток от деления.

2. Целую часть полученного  результата разделить на основание новой системы счисления, выделив целую часть и остаток от деления.

3. Выполнять действия 2 до тех пор, пока целая часть результата от деления не станет равной нулю.

4. Записать остатки от деления в обратном порядке, заменив их цифрами новой системы счисления.

Пример:  Для перевода десятичного числа в двоичное надо разделить его на 2 и собрать остатки, начиная с последнего частного.

Пример: 73₁₀ = 1001001₂

Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания двоичной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах двоичного числа.

Пример: требуется перевести двоичное число 10110110 в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов ( разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). Представим его в виде суммы степеней с основанием 2:
10110110₂ = (1·2⁷)+(0·2⁶)+(1·2⁵)+(1·2⁴)+(0·2³)+(1·2²)+(1·2¹)+(0·2⁰) = 128+32+16+4+2 = 182₁₀

Учебный курс «Информатика»

Курс Harvard CS50 — Лекция: Двоичная система счисления

У нас 10 пальцев, и система — десятичная. То есть, любое, сколь угодно большое число мы можем представить с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. В зависимости от того, где в числе стоит цифра, она может означать разное: если эта цифра последняя, то она расположена в разряде единиц, предпоследняя — разряд десятков, еще левее — разряд сотен и так далее. По сути, любое число можно расписать в виде суммы цифр, каждая из которых умножена на десять в определенной степени. В случае единиц, эта степень — нулевая.

Например,

1573 = 3*100 + 7*101 + 5*102 + 1*103.

Число, на степень которого умножаются цифры называется базой системы счисления. Для десятичной системы базой, логично, является десятка.

У компьютера пальцев нет, но есть два состояния: условно «ток идет» и «ток не идет», нулик и единичка. Соответственно все числа (да и вообще информация) в памяти компьютера состоят только из двух цифр — 0 и 1. Их расположение, как и в случае десятичной системы счисления, указывает на разряд. Только теперь число можно разложить на сумму цифр, помноженных не на степени десятки, а степени двойки.

0 в двоичной системе = 0
1 в двоичной системе = 1 
2 в двоичной системе = 10 
710=1112

Научитесь переводить из двоичной системы в десятичую. Вы, наверное, уже поняли, как это делается — просто берем цифру числа начиная с самой правой и умножаем её на базу системы счисления в степени, соответствующей её разряду, так с каждым разрядом. Затем складываем все получившиеся таким образом числа.

Пример:

Давайте найдем десятичный аналог двоичного числа 101101

• Самая правая единичка = 1*2⁰
• Следующий нулик = 0*2¹
• Третья справа единичка = 1*2²
• Четвертая = 1*2³
• … и так далее

1011012 = 1*20 + 0*21 + 1*22 + 1*23 + 0*24 + 1*25 = 1 + 0 + 4 + 8 + 0 + 32 = 4510

Представьте восемь лампочек, выставленных в ряд. У каждой из них — свой собственный выключатель.

Каждая из лампочек — это разряд. Да что представлять, вспомните самую первую лекцию (там есть такой агрегат) или вот вам виджет: cdn.cs50.net/2016/x/psets/0/pset0/bulbs.html

Поиграйтесь с ним, «прочувствуйте» двоичную систему.

Перевод из десятичной системы в двоичную

Тут тоже всё просто, если понимать суть.

Пример:

У нас есть десятичное число 57₁₀. Чтобы перевести его в двоичную систему, нужно определить, какая максимальная степень двойки не превосходит это число.

26 = 64. 
Это явно многовато. 
А вот 25 = 32.

Мы определили старший разряд. 32₁₀ = 100000₂. Теперь ищем следующий разряд. 57-32 = 25. Теперь для 25 ищем степень двойки, которая не превосходит 25. 2⁴ = 16. Значит, следующий разряд у нас тоже равен 1. 32+16 = 48₁₀ = 110000₂. 57 – 48 = 9. 2₃ = 8, это меньше, чем 9. Значит следующий разряд тоже будет единичкой.

32 + 16 + 8 = 5610 = 1110002.
57 - 56 = 1, то есть осталась только одна степень 20.
Таким образом, 5710 = 1110012.

На этом все =) Переходите к следующей лекции!

Двоичная система счисления — это… Что такое Двоичная система счисления?

Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2.

Двоичные цифры

В этой системе счисления числа записываются с помощью двух символов (0 и 1).

История

• В 1605 году Френсис Бэкон описал систему, буквы алфавита которой могут быть сведены к последовательностям двоичных цифр, которые в свою очередь могут быть закодированы как едва заметные изменения шрифта в любых случайных текстах. Важным шагом в становлении общей теории двоичного кодирования является замечание о том, что указанный метод может быть использован применительно к любым объектам.
  [7] (См. Шифр Бэкона)

• Современная двоичная система была полностью описана Лейбницем в XVII веке в работе Explication de l’Arithmétique Binaire^[8]. В системе счисления Лейбница были использованы цифры 0 и 1, как и в современной двоичной системе. Как человек, увлекающийся китайской культурой, Лейбниц знал о книге Перемен и заметил, что гексаграммы соответствуют двоичным числам от 0 до 111111. Он восхищался тем, что это отображение является свидетельством крупных китайских достижений в философской математике того времени.^[9]

• В 1937 году Клод Шеннон представил к защите кандидатскую диссертацию Символический анализ релейных и переключательных схем в MIT, в которой булева алгебра и двоичная арифметика были использованы применительно к электронным реле и переключателям. На диссертации Шеннона по существу основана вся современная цифровая техника.

• В ноябре 1937 года Джордж Штибиц, впоследствии работавший в Bell Labs, создал на базе реле компьютер «Model K» (от англ. « Kitchen», кухня, где производилась сборка), который выполнял двоичное сложение. В конце 1938 года Bell Labs развернула исследовательскую программу во главе со Штибицом. Созданный под его руководством компьютер, завершённый 8 января 1940 года, умел выполнять операции с комплексными числами. Во время демонстрации на конференции American Mathematical Society в Дартмутском колледже 11 сентября 1940 года Штибиц продемонстрировал возможность посылки команд удалённому калькулятору комплексных чисел по телефонной линии с использованием телетайпа. Это была первая попытка использования удалённой вычислительной машины посредством телефонной линии. Среди участников конференции, бывших свидетелями демонстрации, были Джон фон Нейман, Джон Мокли и Норберт Винер, впоследствии писавшие об этом в своих мемуарах.

Запись двоичных чисел

Двоичная система счисления является комбинацией двоичной системы кодирования и показательной весовой функции с основанием равным 2. Положительные целые числа (без знака) записываются в виде:

где:

•  — представляемое число, первый индекс — основание системы кодирования (размерность множества цифр a={0,1}), второй индекс — основание весовой показательной функции b (в двоично-десятичном кодировании b=10),
•  — запись числа, строка цифровых знаков,
•  — обозначение основания системы кодирования и основания системы счисления,
•  — количество цифр (знаков) в числе x_2,2,
•  — порядковый номер цифры,
•  — цифры числа x_2,2 из множества a={0,1}, в двоичной системе счисления основание системы кодирования равно 2,
•  — основание показательной весовой функции, основание системы счисления,
•  — весовая показательная функция, создающая весовые коэффициенты.

Количество записываемых кодов (чисел) зависит от основания системы кодирования — c, определяется в комбинаторике и равно числу размещений с повторениями:

где:

Количество записываемых кодов (чисел) от основания показательной функции — b не зависит.
Основание показательной функции — b определяет диапазон представляемых числами x_2,b величин и разреженность представляемых чисел на числовой оси.

Целые числа являются частными суммами степенного ряда:

в котором коэффициенты a_n берутся из множества R=a{0,1}, X=2, n=k, а верхний предел в частных суммах ограничен с до — n-1.

Целые числа со знаком записываются в виде:

где:

•  — знак числа из множества z={+,-}, у положительных целых чисел знак зачастую опускается.

Дробные числа записываются в виде:

где:

•  — число цифр дробной части числа,
•  — весовые коэффициенты из множества ,
• основание системы кодирования равно 2,
•  — основание показательной весовой функции, основание системы счисления.

Следует отметить, что число может быть записано в двоичном коде, а система счисления при этом может быть не двоичной, а с другим основанием. Пример: двоично-десятичное кодирование, в котором десятичные цифры записываются в двоичном виде, а система счисления — десятичная.

Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел

Таблица сложения

Пример сложения «столбиком» (14 + 5 = 19):

Таблица вычитания

Таблица умножения

Пример умножения «столбиком» (14 × 5 = 70):

Преобразование чисел

Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:

Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая стоит после 1, называется двоичной точкой.

Преобразование двоичных чисел в десятичные

Допустим, вам дано двоичное число 110001. Для перевода в десятичное просто запишите его справа налево как сумму по разрядам следующим образом:

Можно записать это в виде таблицы следующим образом:

Точно так же, начиная с двоичной точки, двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа.
Таким образом, двоичное число 110001 равнозначно десятичному 49.

Преобразование методом Горнера

Для того, чтобы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2). Например, двоичное число 1011011 переводится в десятичную систему так: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+0=22 >> 22*2+1=45 >> 45*2+1=91 То есть в десятичной системе это число будет записано как 91. Или число 101111 переводится в десятичную систему так: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+1=23 >> 23*2+1=47 То есть в десятичной системе это число будет записано как 47. Перевод дробных чисел методом Горнера 1) 0,1101₂=0,X₁₀ (рассматриваем цифры в обратном порядке)
1:2=0,5
0,5+0=0,5
0,5:2=0,25
0,25+1=1,25
1,25:2=0,625
0,625+1=1,625
1,625:2=0,8125
Ответ: 0,1101₂= 0,8125₁₀
2) 0,356₈=0,X₁₀ (рассматриваем цифры в обратном порядке)
6:8=0,75
0,75+5=5,75
5,75:8=0,71875
0,71875+3=3,71875
3,71875:8=0,46484375
Ответ: 0,356₈=0,46484375₁₀
3) 0,A6E₁₆=0,X₁₀ (рассматриваем цифры в обратном порядке)
14:16=0,875
0,875+6=6,875
6,875:16=0,4296875
0,4296875+10=10,4296875
10,4296875:16=0,65185546875
Ответ: 0,A6E₁₆=0,65185546875₁₀

Преобразование десятичных чисел в двоичные

Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой :

19 /2 = 9  с остатком 1
9  /2 = 4  c остатком 1
4  /2 = 2  без остатка 0
2  /2 = 1  без остатка 0
1  /2 = 0  с остатком 1

Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в конец двоичной записи. Продолжаем деление до тех пор, пока в частном не будет 0. Результат записываем справа налево. То есть нижнее число будет самым левым и.т.д. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011.

Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные

Нужно перевести число 1011010,101 в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:

Или по таблице:

Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные

Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:

• Вначале переводится целая часть десятичной дроби в двоичную систему счисления;
• Затем дробная часть десятичной дроби умножается на основание двоичной системы счисления;
• В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве значения первого после запятой разряда числа в двоичной системе счисления;
• Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются с предыдущего шага.

Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.

Перевод целой части дает 206₁₀=11001110₂ по ранее описанным алгоритмам; дробную часть умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:
0,116 • 2 = 0,232
0,232 • 2 = 0,464
0,464 • 2 = 0,928
0,928 • 2 = 1,856
0,856 • 2 = 1,712
0,712 • 2 = 1,424
0,424 • 2 = 0,848
0,848 • 2 = 1,696
0,696 • 2 = 1,392
0,392 • 2 = 0,784
и т. д.
Получим: 206,116₁₀=11001110,0001110110₂

Применения

В цифровых устройствах

Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:

• Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. В частности, две цифры двоичной системы счисления могут быть легко представлены многими физическими явлениями: есть ток (ток больше пороговой величины) — нет тока (ток меньше пороговой величины), индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет (индукция магнитного поля меньше пороговой величины) и т. д.
• Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Например, чтобы закодировать три состояния через величину напряжения, тока или индукции магнитного поля, потребуется ввести два пороговых значения и два компаратора, что не будет способствовать помехоустойчивости и надёжности хранения информации.^{[источник не указан 770 дней]}
• Двоичная арифметика является довольно простой. Простыми являются таблицы сложения и умножения — основных действий над числами.

В цифровой электронике одному двоичному разряду в двоичной системе счисления соответствует (очевидно) один двоичный разряд двоичного регистра, то есть двоичный триггер с двумя состояниями (0,1).

В английской системе мер

При указании линейных размеров в дюймах по традиции используют двоичные дроби, а не десятичные, например: 5¾″, 7¹⁵/₁₆″, 3¹¹/₃₂″ и т. д.

Интересные факты

См. также

Примеры чисел-степеней двойки

Примечания

1. ↑ Sanchez, Julio & Canton, Maria P. (2007), «Microcontroller programming: the microchip PIC», Boca Raton, Florida: CRC Press, с. 37, ISBN 0-8493-7189-9 
2. ↑ W. S. Anglin and J. Lambek, The Heritage of Thales, Springer, 1995, ISBN 0-387-94544-X
3. ↑ Ordish George, Hyams, Edward. The last of the Incas: the rise and fall of an American empire. — New York: Barnes & Noble, 1996. — С. 80. — ISBN 0-88029-595-3
4. ↑ Experts ‘decipher’ Inca strings. Архивировано из первоисточника 18 августа 2011.
5. ↑ Carlos Radicati di Primeglio, Gary Urton Estudios sobre los quipus. — P. 49.
6. ↑ Dale Buckmaster (1974). «The Incan Quipu and the Jacobsen Hypothesis». Journal of Accounting Research 12 (1): 178-181. Проверено 2009-12-24.
7. ↑ Bacon, Francis, «The Advancement of Learning», vol. 6, London, сс. Chapter 1, <http://home.hiwaay.net/~paul/bacon/advancement/book6ch2.html> 
8. ↑ http://www.leibniz-translations.com/binary.htm Leibniz Translation.com EXPLANATION OF BINARY ARITHMETIC
9. ↑ Aiton, Eric J. (1985), «Leibniz: A Biography», Taylor & Francis, сс. 245–8, ISBN 0-85274-470-6 

Ссылки

Двоичное счисление: вычитание, сложение, умножение, деление

Двоичное счисление это

Двоичное счисление имеет в своей основе только две цифры: 0 и 1. Все числа записывают с помощью этих двух цифр. Основание двоичной системы счисления равно двум.

Двоичная система счисления применяется в компьютерной технике. Бит — это наименьшая единица информации. Слово «бит», по-английски bit, происходит от «binary digit», что значит «двоичная цифра». Бит может быть единицей или нулём, ведь в двоичной системе счисления имеются только две цифры: 0 и 1.

Двоичное счисление относится к позиционным системам счисления. Это значит, что значение двоичного числа связано с позициями цифр в нём. Пример: двоичные числа 1101 и 1011 составлены из одинакового количества единиц и нулей, но позиции их различны, значит и числа различны.

Вот таблица позиций числа 1101:

Теперь таблица позиций числа 1011:

Номера позиций начинаются с нуля.

Двоичные дроби

Дроби в двоичной системе счисления записывают как и в десятичной:
1101,1101

Таблица позиций числа 1101,1101

Позиции дробной части начинаются с -1.

Перевод дробного двоичного числа в десятичное

Переведём двоичное дробное число 1101,1101 в десятичную дробь.
Таблица позиций числа 1101,1101

1 * 2³ + 1 * 2² + 0 * 2¹ + 1 * 2⁰ + 1 * 2^-1 + 1 * 2^-2 + 0 * 2^-3 + 1 * 2^-4 = 8 + 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0 + 0.0625 = 13.8125

Степени 2 равны номеру позиции.

Итак, двоичное число 1101,1101 равно 13,8125 в десятичной системе счисления.

Двоичная система счисления: как сравнить два числа?

Двоичные числа сравнивают также, как и в десятичной системе счисления, примеры:

100 > 10
100 < 110
111 < 1111
111 < 1000

Двоичная система счисления — Информатика, информационные технологии

Двоичная система счисления была придумана математиками и философами ещё до появления компьютеров (XVII — XIX вв.). Выдающийся математик Лейбниц говорил: Вычисление с помощью двоек… является для науки основным и порождает новые открытия… При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок. Позже двоичная система была забыта, и только в 1936 — 1938 годах американский инженер и математик Клод Шеннон нашёл замечательные применения двоичной системы при конструировании электронных схем. Рассмотрим пример представления числа в двоичной системе счисления:

Пример 2.1.1. Переведём число 2000 в двоичную систему.

1. Делим 2000 на основание новой системы счисления — 2:

2000:2=1000(0 — остаток),

1000:2=500(0),

500:2=250(0),

250:2=125(0),

125:2=62(1),

62:2=31(0),

31:2=15(1),

15:2=7(1),

7:2=3(1),

3:2=1(1)

2. Собираем последнее частное от деления (всегда равно 1) и остатки от деления и записываем их по порядку, начиная снизу :

200010==111110100002

Для проверки переведём полученное число в десятичную систему счисления, для этого:

1. Выделим двоичные разряды числа, то есть, степени числа 2, начиная с 0-й:

2. Запишем сумму произведений 0 и 1 на соответствующую степень числа 2 (см. представление числа в р-ричной системе счисления):

0*20+0*21+0*22+0*23+l*24+0*25+l*26+l*27+l*28+l*29+l*210= 16+64+128+256+512+1024=2000

Существуют системы счисления, родственные двоичной. При работе с компьютерами иногда приходится иметь дело с двоичными числами, так как двоичные числа заложены в конструкцию компьютера. Двоичная система удобна для компьютера, но неудобна для человека — слишком длинные числа неудобно записывать и запоминать. На помощь приходят системы счисления, родственные двоичной — восьмеричная и шестнадцатеричная.

Например, в шестнадцатеричной системе для записи чисел предназначены 10 арабских цифр и буквы латинского алфавита {А, В, С, D, Е, F}. Чтобы записать число в этой системе счисления, удобно воспользоваться двоичным представлением числа. Возьмём для примера то же число — 2000 или 11111010000 в двоичной системе. Разобьём его на четвёрки знаков, двигаясь справа налево, в последней четвёрке слева припишем незначащий 0, чтобы количество знаков в триадах было по четыре: 0111 1101 0000. Начнём перевод — числу 0111 в двоичной системе соответствует число 7 в десятичной (710=1*20+1*21+1*22), в шестнадцатеричной системе счисления цифра 7 есть; числу 1101 в двоичной системе соответствует число 13 в десятичной (13=1*20 + 0*21 + 1*22 + 1*23), в шестнадцатеричной системе этому числу соответствует цифра D, и, наконец, число 0000 — в любой системе счисления 0. Запишем теперь результат: 111110100002 = 7D016.

Кодирование координат

Закодировать можно не только числа, но и другую информацию. Например, информацию о том, где находится некоторый объект. Величины, определяющие положение объекта в пространстве, называются координатами. В любойсистеме координат есть начало отсчёта, единица измерения, масштаб, направление отсчёта, или оси координат. Примеры систем координат — декартовы координаты, полярная система координат, шахматы, географические координаты.

Кодирование музыки

Как всякий звук, музыка является не чем иным, как звуковыми колебаниями, зарегистрировав которые достаточно точно, можно этот звук безошибочно воспроизвести. Нужно только непрерывный сигнал, которым является звук, преобразовать в последовательность нулей и единиц. С помощью микрофона звук можно превратить в электрические колебания, измерить амплитуду колебаний через равные промежутки времени (несколько десятков тысяч раз в секунду). Каждое измерение записывается в двоичном коде. Этот процесс называетсядискретизацией. Устройство для выполнения дискретизации — АЦП (аналогово-цифровой преобразователь). Воспроизведение такого звука ведётся при помощи ЦАП (цифро-аналогового преобразователя). Полученный ступенчатый сигнал сглаживается и преобразуется в звук при помощи усилителя и динамика. На качество воспроизведения влияютчастота дискретизации и разрешение(размер ячейки, отведённой под запись значения амплитуды). Например, при записи музыки на компакт-диски используются 16-разрядные значения и частота дискретизации 44 032 Гц. Понятно, что музыкальное произведение содержит в себе множество разных звуков, поэтому для того, чтобы хранить такой объём информации, нужно много места, такую запись трудно обрабатывать, так как в музыке ещё очень много оттенков. По этим причинам удобнее использовать для кодирования музыки нотную запись — своего рода алгоритм музыканту. В 1983 году ведущие производители электронных музыкальных инструментов и композиторов договорились о системе команд универсального синтезатора. Это соглашение — стандарт MIDI (Musical Instrument Digital Interface). При таком кодировании запись компактна, легко меняется инструмент исполнителя, тональность звучания, одна и та же запись воспроизводится как на синтезаторе, так и на компьютере.

Кодирование текста

Текст закодировать довольно просто. Для этого достаточно как-нибудь перенумеровать все буквы, цифры, знаки препинания и другие используемые при письме символы. Для хранения одного символа чаще всего используется восьмиразрядная ячейка — один байт, иногда два байта (иероглифы, например). В байт можно записать 256 различных чисел, значит, это позволит закодировать 256 различных символов. Соответствие символов и их кодов задаётся в специальной таблице. Коды записываются в шестнадцатеричной системе, так как для записи числа из восьми разрядов нужно всего две шестнадцатеричных цифры.

Кодирование изображений

Цифровые персональные компьютеры хорошо работают с числами, но не умеют обрабатывать непрерывные величины. Но человеческий глаз можно обмануть: изображение, составленное из большого числа отдельных мелких деталей, воспринимается как непрерывное. Если разбить картинку вертикальными и горизонтальными линиями на маленькие мозаичные квадратики, получим так называемыйрастр — двумерный массив квадратиков. Сами квадратики —элементы растра или пиксели (picture’s element) — элементы картинки. Цвет каждого пикселя кодируется числом, тогда, задав по порядку номера цветов (слева направо или сверху вниз), можно описать любую картинку. Часть информации неизбежно потеряется, но чем больше растр (мельче пиксели), тем точнее воспроизводится картинка.

Для описания черно-белых изображений используются оттенки серого цвета, то есть при кодировании учитывается только яркость. Она описывается одним числом, поэтому для кодирования одного пикселя требуется от 1 до 8 бит: чёрный цвет — 0, белый цвет — N=2k-l, где k — число разрядов, которые отводятся для кодирования цвета. Например, при длине ячейки в 8 бит это 256-1=255. Человеческий глаз в состоянии различить от 100 до 200 оттенков серого цвета, поэтому восьми разрядов вполне хватает.

Цветные изображения воспринимаются нами как сумма трёх основных цветов — красного, зелёного и синего. Например, сиреневый = красный + синий; жёлтый = красный + зелёный; оранжевый = красный + зелёный, но в другой пропорции. Поэтому достаточно закодировать цвет тремя числами — яркостью его красной, зелёной и синей составляющих. Этот способ кодирования называетсяRGB (Red—Green—Blue). Его используют в устройствах, способных излучать свет (мониторы). При рисовании на бумаге действуют другие правила, так как краски сами по себе не испускают свет, а только поглощают некоторые цвета спектра. Если смешать красную и зелёную краски, то получится коричневый, а не жёлтый цвет. Поэтому при печати цветных изображений используют метод CMY (Cyan—Magenta—Yellow) —голубой, сиреневый, жёлтый цвета. При таком кодировании красный = сиреневый + жёлтый; зелёный = голубой + жёлтый.

Кодирование фильмов

Фильм представляет собой последовательность быстро сменяющих друг друга кадров, на которых изображены последовательные фазы движения. Поскольку известны принципы кодирования отдельных кадров, то закодировать фильм как последовательность таких кадров ничего не стоит. Звук записывают независимо от изображения. При демонстрации фильма важно только добиться синхронизации звука и изображения (в кино для этого используют хлопушку — по щелчку хлопушки совмещаются звук и изображение).

Закодированный фильм несёт в себе информацию о размере кадра в пикселях и количество используемых цветов; частоте и разрешении для звука; способе записи звука (покадровый или непрерывный для всего фильма). После этого следует последовательность закодированных картинок и звуковых фрагментов.

Статьи к прочтению:

Просто о сложном: Двоичная система счисления

Похожие статьи:

Двоичное кодирование — урок. Информатика, 7 класс.

Известно множество способов записи чисел.

Мы пользуемся десятичной позиционной системой счисления. Десятичной она называется потому, что в этой системе счисления десять единиц одного разряда составляют одну единицу следующего старшего разряда.

Число \(10\) называется основанием десятичной системы счисления. Для записи чисел в десятичной системе счисления используются десять цифр: \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\) и \(9\).

Позиционной эта система счисления называется потому, что одна и та же цифра получает различные количественные значения в зависимости от места или позиции, которую она занимает в записи числа.

Пример:

в записи числа \(555\) цифра \(5\), стоящая на первом месте справа, обозначает \(5\) единиц, на втором — \(5\) десятков, на третьем — \(5\) сотен.

Рассмотрим два числовых ряда:
\(1\), \(10\), \(100\), \(1000\), \(10 000\), \(100 000\)…
\(1\), \(2\), \(4\), \(8\), \(16\), \(32\), \(64\), \(128\), \(256\), \(512\), \(1024\), \(2048\)…
Оба этих ряда начинаются с единицы.

Каждое следующее число первого ряда получается путём умножения предыдущего числа на \(10\).

Каждое следующее число второго ряда получается путём умножения предыдущего числа на \(2\).
Любое целое число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых — единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее, записанных в первом ряду. При этом каждый член этого ряда может либо не входить в сумму, либо входить в неё от \(1\) до \(9\) раз.

Пример:

1409=1⋅1000+4⋅100+0⋅10+9⋅1.

Числа \(1\), \(4\), \(0\), \(9\), на которые умножаются члены первого ряда, составляют исходное число \(1409\).

Перевод целых десятичных чисел в двоичный код

Способ 1

Попробуем представить число \(1409\) в виде суммы членов второго ряда.

Воспользуемся методом разностей. Возьмём ближайший к исходному числу, но не превосходящий его член второго ряда и составим разность:

\(1409 — 1024 = 385\).

Возьмём ближайший к полученной разности, но не превосходящий её член второго ряда и составим разность:

\(385 — 256 = 129\).

Аналогично составим разность:

\(129 — 128 = 1\).

В итоге получим:

1409=1024+256+128+1=1⋅1024+0⋅512+1⋅256+1⋅128+ 0⋅64+0⋅32+0⋅16+0⋅8+0⋅4+0⋅2+1⋅1

Мы видим, что каждый член второго ряда может либо не входить в сумму, либо входить в неё только один раз.

Числа \(1\) и \(0\), на которые умножаются члены второго ряда, также составляют исходное число \(1409\), но в его другой, двоичной записи: \(10110000001\).

Результат записывают так:

140910=101100000012.

Исходное число мы записали с помощью \(0\) и \(1\), другими словами, получили двоичный код этого числа или представили число в двоичной системе счисления.

Способ 2

Пример:

В первую ячейку верхней строки записано исходное число, а в каждую следующую — результат целочисленного деления предыдущего числа на \(2\).
В ячейках нижней строки записаны остатки от деления стоящих в верхней строке чисел на \(2\).
Последняя ячейка нижней строки остается пустой. Двоичный код исходного десятичного числа получается при последовательной записи всех остатков, начиная с последнего: 140910=101100000012.

Первые \(20\) членов натурального ряда в двоичной системе счисления записываются так: \(1\), \(10\), \(11\), \(100\), \(101\), \(110\), \(111\), \(1000\), \(1001\), \(1010\), \(1011\), \(1100\), \(1101\), \(1110\), \(1111\), \(10000\), \(10001\), \(10010\), \(10011\), \(10100\).

Перевод целых чисел из двоичной системы счисления в десятичную

Способ 1

Пусть имеется число 1111012. Его можно представить так:

Способ 2

Возьмем то же число 1111012. Переведём единицу \(6\)-го разряда (первая слева в записи числа) в единицы \(5\)-го разряда, для чего \(1\) умножим на \(2\), так как единица \(6\)-го разряда в двоичной системе содержит \(2\) единицы \(5\)-го разряда.
К полученным \(2\) единицам \(5\)-го разряда прибавим имеющуюся единицу \(5\)-го разряда. Переведём эти \(3\) единицы \(5\)-го разряда в \(4\)-й разряд и прибавим имеющуюся единицу \(4\)-го разряда:

3⋅2+1=7.

Переведём \(7\) единиц \(4\)-го разряда в \(3\)-й разряд и прибавим имеющуюся единицу \(3\)-го разряда:

\(7 · 2 + 1 = 15\).

Переведём \(15\) единиц \(3\)-го разряда во \(2\)-й разряд:

\(15 · 2 = 30\).

В исходном числе во \(2\)-м разряде единиц нет.

Переведем \(30\) единиц \(2\)-го разряда в \(1\)-й разряд и прибавим имеющуюся там единицу:

\(30 · 2 + 1 = 61\).

Мы получили, что исходное число содержит \(61\) единицу \(1\)-го разряда. Письменные вычисления удобно располагать так:

\(((((1 · 2 + 1) · 2 + 1) · 2 + 1) · 2 + 0) · 2 + 1 = 61\).

Переводить целые числа из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления и обратно можно с помощью приложения Калькулятор.

Источники:

Босова, Л. Л. Информатика и ИКТ. Учебник для 6 класса / Л. Л. Босова. — 4-е изд. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. — 217 с.

Что такое двоичная система счисления? Определение, подсчет, пример, использование и преимущества двоичной системы счисления

Определение : Система счисления, которая соответствует только двум цифровым цифрам, то есть 0 и 1, известна как двоичная система счисления. Поскольку это двухзначная система, известная как система с основанием 2, . Работа компьютерной системы зависит исключительно от двоичной системы счисления. Поскольку он понимает только двоичные значения, то есть 0 и 1.

Теперь возникает вопрос, почему компьютерная система понимает только двоичные значения?

Ответ на поставленный выше вопрос таков: компьютер — это электронное устройство, а все электрические и электронные устройства воспринимают только электрические сигналы.Таким образом, двоичные цифры 0 и 1 просто соответствуют на и на состоянии устройства соответственно.

Цифры 0 и 1 имеют то же значение, что и в десятичной системе счисления. Однако изменение положения двоичных чисел зависит от представляемого значения.

Как и при увеличении положения справа налево, вес показывает последовательное увеличение в степени 2.

Давайте посмотрим, как мы можем записать число двоичной цифрой в степени 2:

Две двоичные цифры 0 и 1 известны как биты .Бит считается первичной единицей информации. Слово BIT происходит от комбинации BI nary и digi T . Однако комбинация 8 бит дает начало другому блоку, известному как « байт» . Кроме того, когда объединяются 4 бита , формируется единица «полубайт» .

Здесь стоит отметить, что основные логические функции основаны на двоичной системе счисления. Можно изменить двоичное представленное значение в десятичной, восьмеричной или шестнадцатеричной системе.Кроме того, мы можем преобразовать любую систему счисления в двоичную, выполнив соответствующую операцию.

Подсчет двоичных чисел

Как мы знаем, существует 10 цифр в десятичной системе счисления, то есть от 0 до 9. Однако, используя комбинацию этих слов при изменении их положения, можно представить несколько величин.

Давайте сначала разберемся, как выполняется счет в двоичной системе счисления, а затем перейдем к пониманию его десятичного представления.

Здесь всего 2 цифры, так как счет начинается с 0 и заканчивается 1.Однако из-за наличия только 2 цифр при последовательном подсчете цифра 1 сдвигается влево, а цифра справа становится 0, что дает 10 в двоичной системе счисления, которая представляет собой не что иное, как 2 в десятичной системе счисления.

Приведенная ниже таблица даст вам лучшее представление о представлении десятичного числа в двоичном формате и его формате подсчета:

Из табличного представления, показанного выше, ясно, что двоичное число превосходит в степени 2, начиная с 0, что мы уже обсуждали ранее.

Как представить десятичные числа в двоичном формате

Чтобы получить двоичный эквивалент десятичного числа, мы последовательно выполняем деление члена частного, пока оно не станет 0. Кроме того, мы последовательно отмечаем остаток, полученный после каждого деления. Эти напоминания затем записываются в порядке, обратном их появлению. Таким образом мы просто получаем двоичный эквивалент любого десятичного значения.

Перейдем теперь к математической реализации рассмотренного выше метода:

Например, пусть число будет 15 :

Метод известен как метод двойного прикосновения .

Иногда в реальной жизни мы встречаем десятичные числа в дробном формате. Итак, давайте рассмотрим пример дробного десятичного числа, которое нужно преобразовать в дробное двоичное число.

Например, пусть число будет 0,65 :

Чтобы преобразовать 0,65 в дробное двоичное число, число сначала умножается на 2. Результат, полученный после умножения, затем последовательно умножается на 2. Кроме того, после умножения полученный результат представляет собой десятичное значение, поэтому цифра перед десятичной дробью служит в качестве бит для переноски.

Дробное десятичное преобразование в двоичное в виде математической реализации показано ниже:

Здесь в данном случае перенос отмечается в нисходящем направлении. Примечательно, что двоичное умножение обычно продолжается до восьми двоичных разрядов. Следовательно, можно сказать, что полученный результат не совсем эквивалентен, но считается приблизительной величиной.

Характеристики двоичной системы счисления

1. Это двухзначная система счисления.
2. Это обычно называют системой счисления с основанием 2.
3. Различные позиции двоичной системы счисления показывают эквивалентное значение в степени 2.
4. В крайнем левом положении двоичного представления показано 2 в степени x. Здесь x представляет крайнее положение слева.

Преимущества двоичной системы счисления

С развитием двоичной системы счисления работа с различными задачами упростилась. Используя двоичные значения, можно легко решить различные логические задачи, основанные на булевой алгебре.

Использование двоичной системы счисления

• В электронных устройствах : Электронные устройства, такие как компьютер, диод, BJT, MOSFET и т. Д., Работают только с низким и высоким значением, то есть 0 и 1 в двоичной системе счисления.
• В перфокартах : Они широко используются в перфокартах, которые показывают 0 для состояния без перфорации и 1 для состояния с перфорацией.
• В цифровых компьютерах : цифровая система основана на двоичных значениях 0 и 1. Цифровые компьютеры оперируют двоичными значениями для выполнения логических операций.
• На магнитной ленте : Магнитная лента может использоваться как устройство, имеющее 2 состояния. Поскольку в этом случае некоторые точки намагничиваются, показывая двоичную 1, а остальные не намагничиваются, представляя двоичный 0. Таким образом, катушка магнитной ленты может использоваться для хранения информации в двоичной форме.

Двоичная система счисления выполняет различные логические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление. Однако среди них наиболее важным является сложение.

: применение и преимущества — видео и стенограмма урока

Приложения

Наиболее распространенное применение двоичной системы счисления можно найти в компьютерных технологиях. Весь компьютерный язык и программирование основаны на 2-значной системе счисления, используемой в цифровом кодировании. Цифровое кодирование — это процесс получения данных и их представления с помощью дискретных битов информации. Эти дискретные биты состоят из нулей и единиц двоичной системы.16 представляет 65 536 различных цветов!

Мы также находим двоичную систему счисления в области математики, известной как булева алгебра. Эта область математики занимается логикой и ценностями истины. Здесь истинным или ложным утверждениям затем присваивается 0 или 1.

Преимущества

Самым большим преимуществом двоичной системы счисления является ее простота. Любое устройство с переключателем включения / выключения может быть преобразовано в вычислительное устройство с использованием двоичной системы счисления, где 0 означает «выключено», а 1 — «включено».«Поскольку переключатели, используемые в компьютерном языке, либо включены, либо выключены, их можно легко прочитать с небольшой вероятностью ошибки.

В вычислениях двоичную систему счисления проще использовать, чем десятичную или десятичную, с меньшим количеством вычислений. Например, дополнительно используются только три вычисления:

1. 0 + 0 = 0
2. 0 + 1 = 1
3. 1 + 1 = 10

Умножение в двоичной системе счисления также предполагает использование трех вычислений:

1. 0 x 0 = 0
2. 0 х 1 = 0
3. 1 х 1 = 1

Напротив, десятичная или десятичная система счисления требует знания 100 вычислений.

Краткое содержание урока

Хотя наиболее часто используется система счисления с десятичным основанием , двоичная система счисления также важна. Это система счета, состоящая только из двух цифр. Этими цифрами обычно являются 0 и 1. Каждое значение разряда представляет собой степень 2.

В компьютерном языке используется двоичная система счисления, в которой ноль представляет положение «выключено», а один — положение «включено». Преимущества включают простоту использования при кодировании, меньшее количество вычислений и меньшее количество ошибок в вычислениях.Двоичная система счисления может также использоваться в булевой алгебре .

Теперь, когда вы закончили этот урок, взгляните на наклейку на бампере:

«Есть 10 типов людей: те, кто понимает двоичное, и те, кто нет».

«10» — это двоичное число, которое на самом деле означает 2.

: что это такое? (Определение и примеры)

Что такое двоичная система счисления?

В цифровой электронике Двоичные числа являются наиболее важным инструментом для ввода цифровых данных.Теперь, прежде чем понимать двоичную систему счисления , мы должны понять десятичную систему счисления, которую мы используем в нашей повседневной жизни. Система счисления впервые была введена в истории человечества для целей подсчета.

Разные числа для подсчета обозначаются разными символами. Например, одна вещь считается символом 1, если есть две вещи, символ будет 2, для подсчета трех вещей символ будет 3. Для четырех, пяти, шести, семи, восьми, девяти символов, используемых в десятичные системы: 4, 5, 6, 7, 8 и 9 соответственно.Символ 0 (ноль) означает, что считать нечего. Итак, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — это десять основных символов, используемых для счета от нуля до девяти. Вот почему она называется десятичной системой счисления или системой счисления с основанием 10.

Но если нужно подсчитать более девяти вещей, то мы не выбираем другой новый символ, а объединяем два или более символов от 0 до 9 и представляем числа, которые больше девяти. Для представления девять + один, то есть десять, мы используем 10, для девяти + два мы используем 11 и так далее. Таким образом мы установили десятичную систему счисления.

Теперь перейдем к двоичной системе счисления — это имя так потому, что оно имеет две основы (0 и 1), которые используются для представления всей системы счисления. Посмотрите анимацию ниже, чтобы получить представление о преобразовании двоичных чисел в десятичные.

История двоичной системы счисления

Инарная система счисления b была введена индийским ученым Пингалой примерно в 5–2 веках до нашей эры. Длинные и короткие слоги использовались им для иллюстрации двух типов чисел, это больше похоже на азбуку Морзе.

Готфрид Лейбниц в 1679 году ввел современный тип двоичной системы счисления, который мы используем до сих пор.
Любые числа (десятичные) могут быть представлены в двоичной системе счисления. Использование этой системы популярно в цифровой электронике, потому что с ее помощью можно довольно легко понять, какой режим включен и выключен.

Если мы рассмотрим приведенные выше числа, мы обнаружим, что первые десять последовательных чисел, то есть от 00 до 09, представлены изменением десяти десятичных цифр в младшем разряде.Затем MSB изменяется на следующую последовательную цифру, и путем изменения цифр в LSB представляются другие десять последовательных чисел (от 10 до 19). В третьей строке таблицы MSB заменяется на следующую последовательную цифру, а путем изменения цифр в LSB отображаются другие десять последовательных чисел (от 20 до 29).

Всего 100, то есть от 00 до 99 чисел, представленных двумя битами в десятичной системе. 100 означает 10 ² , что означает (количество основных цифр) ^{количество битов} . Следовательно, по 3 битам 10 ³ или 1000 чисел (т.e от 000 до 999). Точно так же n битами могут быть представлены 10 ⁿ чисел.

Теперь подумайте о ситуации, когда система счисления имеет только две цифры 0 и 1. Эта система также может быть представлена ​​в той же логике, что и десятичная система. Система счисления, состоящая только из двух цифр 0 и 1, известна как двоичная система счисления.

Здесь ноль представлен символом «0», а единица — как «1», но если число больше единицы, то MSB изменяется на 1, и путем изменения LSB могут быть представлены два других последовательных числа.Так же, как и в десятичной системе, общие числа, подсчитываемые в двоичной системе, зависят от ее битов.

Для двухбитового двоичного кода могут быть представлены 2 ² чисел, т.е. от нуля до трех. Формула здесь такая же, общее количество чисел представлено в двоичной системе счисления = (количество основных цифр) ^{количество битов} . Количество основных цифр в двоичной системе равно двум (0 и 1), но количество битов может быть выбрано от 1 до бесконечности, поэтому весь диапазон чисел может быть легко представлен в двоичной системе, как и все другие системы счисления.

Определение двоичной системы счисления

Двоичная система счисления определяется как система счисления с основанием (или основанием) 2. Это означает, что числа в этой системе состоят из двух цифр — 1 и 0.

Теперь подумайте о десятичное число, такое как 625. Из самой базовой концепции мы можем понять

Здесь 625 — трехбитное десятичное число, у которого самая правая цифра или цифра в LSB равна 5, и если мы посчитаем биты справа, самый правый бит будет 0. Следующий справа бит нумеруется как 1, и здесь размещается цифра 2, аналогично крайний левый бит — 2, а цифра — 6.Таким образом, из этого примера ясно, что любое десятичное число может быть представлено как:
∑цифра × 10 ^{соответствующая позиция или бит}
Здесь в приведенном выше выражении 10 — общее количество цифр, используемых в десятичной системе, то есть от 0 до 9
Как десятичная система. Любая система счисления может быть представлена ​​одним и тем же выражением, только 10 в выражении следует заменить на общее количество цифр, используемых в этой системе. Следовательно, любое число в любой системе может быть представлено как:
∑цифра × (количество цифр, используемых в этой системе) ^{соответствующая позиция или бит}
Количество цифр, используемых в двоичной системе счисления, равно 2.Следовательно, любое число может быть представлено в этой системе с помощью:
∑цифра × (2) ^{соответствующая позиция или бит}

Здесь двоичное число число 101010. Таким образом, согласно приведенному выше выражению число может быть выражено как:

Для лучшего понимания, пожалуйста, обратите внимание на таблицу ниже:

См. Анимацию удар, чтобы получить идея, как подсчитываются разные двоичные числа.

Как работают двоичные и шестнадцатеричные числа: введение в недесятичные системы счисления

Компьютеры на очень низком уровне построены на двоичных (единицах и нулях).Подумайте об этом — весь текст, который вы читаете на экране, начал свое существование как с единицы или нуля в той или иной форме. Это невероятно! Как можно превратить такую ​​простую вещь в растягивающийся лист символов, который вы можете прочитать на своем устройстве? Давайте узнаем вместе!

Десятичное

Когда вы или я считаем, мы обычно используем 10 чисел в некоторой вариации комбинации для этого: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 и 9 .

Когда вы считаете до 10 , вы действительно используете комбинацию 1 и 0 , чтобы построить большее число, которое мы осознаем. Число 10 сохраняется в нашем сознании, даже когда оно записано; десять .

Знание того, что мы можем отделить число от наших мыслей, позволяет нам дополнительно классифицировать число, мысленно разбивая его на более мелкие группы. Например, число 34 можно разбить на три группы: единиц , десятков и сотен .

Для числа 34 мы разбиваем его на: 0 сотен , 3 десятков и 4 единиц . Затем мы можем умножить большее число на меньшее число (столбец, в котором они находятся), чтобы получить числа 30 ( 3 десятков ) и 4 ( 4 единиц ). . Наконец, мы складываем их все вместе, чтобы получилось число, которое мы все знаем и любим: 34 .

Эта разбивка демонстрирует ограничение с наличием 10 символов для представления чисел; имея только один столбец, наибольшее число, которое мы можем представить, будет 9 . Помните, что число 10 представляет собой комбинацию 1 и 0 ? Это связано с этим ограничением. Точно так же — с двумя столбцами — максимальное число, которое мы можем представить, — это 99 .

двоичный

Это может показаться довольно упрощенным, но это важное различие, которое необходимо сделать для понимания двоичного кода.Наша типичная десятичная система счисления известна как система счисления с основанием 10 . Он называется так, потому что для построения всех остальных чисел используются 10 символов (еще раз: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 и 9 ). Двоичный, с другой стороны, равен по основанию два . Это означает, что в этой системе счисления существует только два символа.

Для энтузиастов латинского языка двоичное происходит от слова «binarius», означающего «два вместе». Дека , то есть 10, отсюда происходит десятичная дробь. Кроме того, термин «основание» иногда используется вместо «основания» при описании систем счисления, особенно в программировании.

Вместо использования чисел, которые могут очень быстро запутаться при обучении в первый раз, давайте использовать ** X ** s и ** O ** s в качестве двух символов для наших первых нескольких примеров. X показывает, присутствует ли число и что мы должны добавить его к окончательной сумме; O означает, что номер отсутствует и что мы не должны добавлять его . Возьмем следующий пример:

В этом примере присутствуют и 1 , и 2 , поэтому мы складываем их вместе, чтобы получить 3 . Вы увидите, что, поскольку у нас может быть только присутствующее или отсутствующее значение — потому что у нас есть только два символа в двоичном формате, — это преобразование имеет меньше шагов, чем при использовании десятичного.Например, если вам нужен только номер два, вы можете просто пометить 1 как «отсутствует», используя O :

Вы даже можете заменить два символа на 1 и 0 , чтобы получить фактическое двоичное число 10 для представления 2 :

Итак, как это происходит при попытке представить число 50 в двоичном формате?

Как видите, мы создаем столбцы, которые являются степенями 2 по тем же причинам, что и при использовании степеней 10 в десятичном виде; вы не можете представить 4 , 8 , 16 или 32 без создания нового столбца в противном случае.

Помните, что в этой системе число может только присутствовать или нет; нет 2 . Это означает, что присутствуют только символы 1 и 0 . Имея это в виду, это означает, что у нас может быть только 11 как наибольшее представленное число без другого столбца. 11 в двоичном формате — это 3 в десятичном. Это показывает, что только с двумя двоичными цифрами могут быть представлены только десятичные числа: 0 , 1 , 2 и 3 .В результате нам нужно добавить столбец 4 , чтобы представить это число в двоичном формате.

Продолжая этот шаблон: без столбца 8 у вас может быть только 4 , 2 и 1 , что даст максимальное значение 7 . Важно отметить, что эти значения всегда на единицу меньше степени 2.

После того, как каждая из этих степеней выложена, мы можем начать добавлять 1 с, где у нас есть минимальное количество каждого значения.Например:

• 64 меньше или равно 50 ? Нет. Это 0 .
• Является ли 32 <= 50 ? Да, поэтому это 1 .
• При перемещении вниз по списку будет 16 <= 18 ? Да, это 1 . - 18 - 16 = 2
• Является ли 8 <= 2 ? Нет, это 0 .
• 4 <= 2 ? Нет, это тоже 0 .
• 2 <= 2 ? Да, это 1 .
• Теперь, когда у нас осталось 0 , мы знаем, что остальные цифры будут 0 .

Сложите все эти числа:

И вуаля, у вас есть двоичное представление 50 : 0110010 .

Примечание автора:

Хотя существует множество способов найти двоичное представление десятичного числа, в этом примере используется «жадный» алгоритм. Я считаю, что этот алгоритм лучше всего подходит для изучения двоичной системы счисления, но это не единственный способ (или даже лучший способ, зачастую).

Шестнадцатеричный

Двоичная система - не единственная недесятичная система. Вы можете использовать любое число в качестве основы, если у вас достаточно символов для представления цифр.Давайте посмотрим на другой пример недесятичной системы: в шестнадцатеричной системе счисления .

- это шестнадцатеричная система счисления.

Hexa означает «шесть» на латыни, а deca означает «десять», поэтому они объединяются в «шестнадцать».

Теперь вы можете задаться вопросом, как можно сосчитать до 16 в одном столбце, когда мы используем только 10 символов для представления чисел. Для многих разработчиков ответ состоит в том, чтобы заполнить оставшиеся 6 последних символов другими символами: буквами алфавита.

0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , A , B C , D , E , F

Это символы, которые составляют шестнадцатеричную систему счисления для многих разработчиков. A в данном случае представляет собой номер 10 ; F представляет собой номер 15 .В этой системе счисления есть шестнадцать , двести пятьдесят шестерок (полученное умножением 16 на себя - 16 ² ) и другие степени 16.

Учитывая эту информацию, как бы мы представили число 50 ?

Предполагая, что у нас есть столбец единиц , столбец sixteens и столбец двести пятьдесят шестерок , мы можем вычислить число аналогично предыдущему двоичному примеру:

• 256 меньше или равно 50 ? Нет.Это 0
• Является ли 16 <= 50 ? да. Итак, мы знаем, что это , по крайней мере, 1 .
  • Теперь, сколько раз вы можете вставить 16 в 50 ?
    • 16 * 2 = 32 и 32 <= 50 , поэтому это как минимум 2 .
    • 16 * 3 = 48 и 48 <= 50 , поэтому это как минимум 3 .
    • 16 * 4 = 64 .Однако, 64> 50 , поэтому шестнадцатое место не может быть 4 , поэтому оно должно быть 3 .
  • Теперь, когда мы знаем максимум, который мы можем иметь в шестнадцатом месте , мы можем вычесть сумму ( 48 ) из нашего результата ( 50 ).
• Теперь перейдем к : сколько может поместиться в 2 ?
  • 1 * 1 = 1 и 1 <= 2 , поэтому это как минимум 1 .
  • 1 * 2 = 2 и 2 <= 2 и поскольку эти числа равны, мы знаем, что должно быть 2 двоек .

Теперь, если сложить эти числа:

Почему

  0x000000
0x000002
0x000004