Двоичная система счисления пример: Двоичная система счисления

Содержание

18. Двоичная, десятичная и шестнадцитеричная системы счисления.

Двоичная система счисления — это позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе счисления числа записываются с помощью двух символов: 0 и 1.
Двоичную цифру называют битом.
Двоичная система счисления является основной системой представления информации в памяти компьютера.

Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел.

Таблица сложения

Пример: 1001 + 10 = 1011

Таблица вычитания

Пример: 1111101 — 10001 = 1101100

Таблица умножения

Пример: 1111 · 1001 = 10000111

Перевод чисел.

Правило перевода целых чисел из десятичной системы счисления в другие позиционные системы счисления:

1. Разделить целое десятичное число на основание новой системы счисления, выделив целую часть и остаток от деления.

2. Целую часть полученного  результата разделить на основание новой системы счисления, выделив целую часть и остаток от деления.

3. Выполнять действия 2 до тех пор, пока целая часть результата от деления не станет равной нулю.

4. Записать остатки от деления в обратном порядке, заменив их цифрами новой системы счисления.

Пример:  Для перевода десятичного числа в двоичное надо разделить его на 2 и собрать остатки, начиная с последнего частного.

Пример: 7310 = 10010012

Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания двоичной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах двоичного числа.

Пример: требуется перевести двоичное число 10110110 в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов ( разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). Представим его в виде суммы степеней с основанием 2:
101101102 = (1·27)+(0·26)+(1·25)+(1·24)+(0·23)+(1·22)+(1·21)+(0·20) = 128+32+16+4+2 = 18210

Учебный курс «Информатика»

  • Кодирование информации без компьютеров
  • Системы кодирования числовой информации
  • Двоичная система счисления
  • Перевод чисел из одной системы счисления в другую
  • Кодирование информации на компьютере
  • Вопросы и упражнения
  •     Вопреки распространённому заблуждению, двоичная система счисления была придумана не инженерами-конструкторами ЭВМ, а математиками и философами задолго до появления компьютеров, ещё в 17 веке. Великий немецкий учёный Лейбниц считал:
        «Вычисление с помощью двоек… является для науки основным и порождает новые открытия… При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок».
        Впервые двоичная система появилась в 1605 году в работах Томаса Хэрриота (он изобрёл знаки

    > и ). Позже двоичная система была забыта, и только в 1936-1938 гг. американский инженер и математик Клод Шеннон нашёл замечательные применения двоичной системы при конструировании электронных схем.
        Двоичная система удобна для компьютера, но неудобна для человека — числа получаются очень длинными и их трудно записывать и запоминать. Она используется, как правило, для «внутренних нужд» компьютера. Двоичная система счисления позволяет достаточно просто организовать числа, и для того, чтобы представить число в ЭВМ, достаточно иметь устройство, которое обладает только двумя устойчивыми состояниями, одно из которых соответствует логической «1», а другое — «0». Таких элементов достаточно много: намагниченный или не намагниченный сердечник, открытый или закрытый транзистор и др. Для десятичной системы счисления понадобилось бы, к примеру, устройство с 10 устойчивыми состояниями. Это значительно усложнило бы схему ЭВМ.
        Другим важным достоинством двоичной системы является простота вычислений. Рассмотрим, как выполняются арифметические действия в двоичной системе. Для этого проведём анализ таблиц сложения и умножения в двоичной системе.

    Примеры сложения двоичных чисел:

    Примеры умножения двоичных чисел:

        Следует обратить внимание на аналогию в правилах выполнения арифметических действий в двоичной и десятичной системах счисления: например, если при сложении двух двоичных чисел сумма цифр окажется больше единицы, то возникает перенос в старший разряд.
        Вычитание двоичных чисел осуществляется следующим образом: Вычитаемое число преобразуется в дополнительный код. Например, если надо вычесть из числа 10110 число 01000, то вычитаемое 01000 преобразуется в дополнительный код так: в числе вместо 0 пишется 1, а вместо 1 пишется 0, следовательно, получим из вычитаемого число 10111. Затем преобразованное число складывается с уменьшаемым:

        И вычитаемое, и уменьшаемое состоят из 5 разрядов, а результат суммы — число 6-разрядное. Старший разряд суммы отнимается от числа и складывается с результатом:


        Такой приём часто используется в практике вычислений. Например, в десятичной системе числа можно вычесть так. Допустим требуется найти разность 842-623. Представим число 623 в дополнительный вид, отняв его от 1000. Получим число 377. Затем найдём сумму: 842+377=1219. Отбросим перенос в старший разряд и получим число 219. Мы нашли решение этого примера.

         Деление двоичных чисел выполняется аналогично делению десятичных чисел. Вычитание и умножение в процессе деления необходимо выполнять рассмотренными ранее способами.

        Важнейшее преимущество двоичной арифметики заключается в том, что она позволяет все арифметические действия свести к одному — сложению, а это значительно упрощает устройство процессора ЭВМ. Отметим недостаток, характерный для двоичной системы счисления — значительный рост числа разрядов при увеличении числа. Но все достоинства этой системы делают такой недостаток не столь существенным.

    Курс Harvard CS50 — Лекция: Двоичная система счисления

    У нас 10 пальцев, и система — десятичная. То есть, любое, сколь угодно большое число мы можем представить с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. В зависимости от того, где в числе стоит цифра, она может означать разное: если эта цифра последняя, то она расположена в разряде единиц, предпоследняя — разряд десятков, еще левее — разряд сотен и так далее. По сути, любое число можно расписать в виде суммы цифр, каждая из которых умножена на десять в определенной степени. В случае единиц, эта степень — нулевая.

    Например,

    1573 = 3*100 + 7*101 + 5*102 + 1*103.

    Число, на степень которого умножаются цифры называется базой системы счисления. Для десятичной системы базой, логично, является десятка.

    У компьютера пальцев нет, но есть два состояния: условно «ток идет» и «ток не идет», нулик и единичка. Соответственно все числа (да и вообще информация) в памяти компьютера состоят только из двух цифр — 0 и 1. Их расположение, как и в случае десятичной системы счисления, указывает на разряд. Только теперь число можно разложить на сумму цифр, помноженных не на степени десятки, а степени двойки.

    0 в двоичной системе = 0
    1 в двоичной системе = 1 
    2 в двоичной системе = 10 
    710=1112
    

    Научитесь переводить из двоичной системы в десятичую. Вы, наверное, уже поняли, как это делается — просто берем цифру числа начиная с самой правой и умножаем её на базу системы счисления в степени, соответствующей её разряду, так с каждым разрядом. Затем складываем все получившиеся таким образом числа.

    Пример:

    Давайте найдем десятичный аналог двоичного числа 101101

    2

    • Самая правая единичка = 1*20
    • Следующий нулик = 0*21
    • Третья справа единичка = 1*22
    • Четвертая = 1*23
    • … и так далее
    1011012 = 1*20 + 0*21 + 1*22 + 1*23 + 0*24 + 1*25 = 1 + 0 + 4 + 8 + 0 + 32 = 4510

    Представьте восемь лампочек, выставленных в ряд. У каждой из них — свой собственный выключатель.

    Каждая из лампочек — это разряд. Да что представлять, вспомните самую первую лекцию (там есть такой агрегат) или вот вам виджет: cdn.cs50.net/2016/x/psets/0/pset0/bulbs.html

    Поиграйтесь с ним, «прочувствуйте» двоичную систему.

    Перевод из десятичной системы в двоичную

    Тут тоже всё просто, если понимать суть.

    Пример:

    У нас есть десятичное число 5710. Чтобы перевести его в двоичную систему, нужно определить, какая максимальная степень двойки не превосходит это число.

    
    26 = 64. 
    Это явно многовато. 
    А вот 25 = 32.
    

    Мы определили старший разряд. 3210 = 1000002. Теперь ищем следующий разряд. 57-32 = 25. Теперь для 25 ищем степень двойки, которая не превосходит 25. 24 = 16. Значит, следующий разряд у нас тоже равен 1. 32+16 = 4810 = 1100002. 57 – 48 = 9. 23 = 8, это меньше, чем 9. Значит следующий разряд тоже будет единичкой.

    
    32 + 16 + 8 = 5610 = 1110002.
    57 - 56 = 1, то есть осталась только одна степень 20.
    Таким образом, 5710 = 1110012.
    

    На этом все =) Переходите к следующей лекции!

    Двоичная система счисления — это… Что такое Двоичная система счисления?

    Системы счисления в культуре
    Индо-арабская система счисления
    Арабская
    Индийские
    Тамильская
    Бирманская
    Кхмерская
    Лаоская
    Монгольская
    Тайская
    Восточноазиатские системы счисления
    Китайская
    Японская
    Сучжоу
    Корейская
    Вьетнамская
    Счётные палочки
    Алфавитные системы счисления
    Абджадия
    Армянская
    Ариабхата
    Кириллическая
    Греческая
    Эфиопская
    Еврейская
    Катапаяди
    Другие системы
    Вавилонская
    Египетская
    Этрусская
    Римская
    Аттическая
    Кипу
    Майская
    Позиционные системы счисления
    Десятичная система счисления (10)
    2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 16, 20, 60
    Нега-позиционная система счисления
    Симметричная система счисления
    Смешанные системы счисления
    Фибоначчиева система счисления
    Непозиционные системы счисления
    Единичная (унарная) система счисления
    Список систем счисления

    Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2.

    Двоичные цифры

    В этой системе счисления числа записываются с помощью двух символов (0 и 1).

    История

    • В 1605 году Френсис Бэкон описал систему, буквы алфавита которой могут быть сведены к последовательностям двоичных цифр, которые в свою очередь могут быть закодированы как едва заметные изменения шрифта в любых случайных текстах. Важным шагом в становлении общей теории двоичного кодирования является замечание о том, что указанный метод может быть использован применительно к любым объектам.
      [7]
      (См. Шифр Бэкона)
    • Современная двоичная система была полностью описана Лейбницем в XVII веке в работе Explication de l’Arithmétique Binaire[8]. В системе счисления Лейбница были использованы цифры 0 и 1, как и в современной двоичной системе. Как человек, увлекающийся китайской культурой, Лейбниц знал о книге Перемен и заметил, что гексаграммы соответствуют двоичным числам от 0 до 111111. Он восхищался тем, что это отображение является свидетельством крупных китайских достижений в философской математике того времени.[9]
    • В 1937 году Клод Шеннон представил к защите кандидатскую диссертацию Символический анализ релейных и переключательных схем в MIT, в которой булева алгебра и двоичная арифметика были использованы применительно к электронным реле и переключателям. На диссертации Шеннона по существу основана вся современная цифровая техника.
    • В ноябре 1937 года Джордж Штибиц, впоследствии работавший в Bell Labs, создал на базе реле компьютер «Model K» (от англ. «
      K
      itchen», кухня, где производилась сборка), который выполнял двоичное сложение. В конце 1938 года Bell Labs развернула исследовательскую программу во главе со Штибицом. Созданный под его руководством компьютер, завершённый 8 января 1940 года, умел выполнять операции с комплексными числами. Во время демонстрации на конференции American Mathematical Society в Дартмутском колледже 11 сентября 1940 года Штибиц продемонстрировал возможность посылки команд удалённому калькулятору комплексных чисел по телефонной линии с использованием телетайпа. Это была первая попытка использования удалённой вычислительной машины посредством телефонной линии. Среди участников конференции, бывших свидетелями демонстрации, были Джон фон Нейман, Джон Мокли и Норберт Винер, впоследствии писавшие об этом в своих мемуарах.

    Запись двоичных чисел

    Двоичная система счисления является комбинацией двоичной системы кодирования и показательной весовой функции с основанием равным 2. Положительные целые числа (без знака) записываются в виде:

    где:

    •  — представляемое число, первый индекс — основание системы кодирования (размерность множества цифр a={0,1}), второй индекс — основание весовой показательной функции b (в двоично-десятичном кодировании b=10),
    •  — запись числа, строка цифровых знаков,
    •  — обозначение основания системы кодирования и основания системы счисления,
    •  — количество цифр (знаков) в числе x2,2,
    •  — порядковый номер цифры,
    •  — цифры числа x2,2 из множества a={0,1}, в двоичной системе счисления основание системы кодирования равно 2,
    •  — основание показательной весовой функции, основание системы счисления,
    •  — весовая показательная функция, создающая весовые коэффициенты.

    Количество записываемых кодов (чисел) зависит от основания системы кодирования — c, определяется в комбинаторике и равно числу размещений с повторениями:

    где:

    Количество записываемых кодов (чисел) от основания показательной функции — b не зависит.
    Основание показательной функции — b определяет диапазон представляемых числами x2,b величин и разреженность представляемых чисел на числовой оси.

    Целые числа являются частными суммами степенного ряда:

    в котором коэффициенты an берутся из множества R=a{0,1}, X=2, n=k, а верхний предел в частных суммах ограничен с до — n-1.

    Целые числа со знаком записываются в виде:

    где:

    •  — знак числа из множества z={+,-}, у положительных целых чисел знак зачастую опускается.

    Дробные числа записываются в виде:

    где:

    •  — число цифр дробной части числа,
    •  — весовые коэффициенты из множества ,
    • основание системы кодирования равно 2,
    •  — основание показательной весовой функции, основание системы счисления.

    Следует отметить, что число может быть записано в двоичном коде, а система счисления при этом может быть не двоичной, а с другим основанием. Пример: двоично-десятичное кодирование, в котором десятичные цифры записываются в двоичном виде, а система счисления — десятичная.

    Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел

    Таблица сложения


    Пример сложения «столбиком» (14 + 5 = 19):

    1
    + 1 1 1 0
    1 0 1
    1 0 0 1 1


    Таблица вычитания

    0 1
    0 0 1
    1 (заём из старшего разряда) 1 0


    Таблица умножения


    Пример умножения «столбиком» (14 × 5 = 70):

    × 1 1 1 0
    1 0 1
    + 1 1 1 0
    1 1 1 0
    1 0 0 0 1 1 0

    Преобразование чисел

    Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:

    512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

    Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая стоит после 1, называется двоичной точкой.

    Преобразование двоичных чисел в десятичные

    Допустим, вам дано двоичное число 110001. Для перевода в десятичное просто запишите его справа налево как сумму по разрядам следующим образом:

    .

    Можно записать это в виде таблицы следующим образом:

    512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
    1 1 0 0 0 1
    +32 +16 +1

    Точно так же, начиная с двоичной точки, двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа.
    Таким образом, двоичное число 110001 равнозначно десятичному 49.

    Преобразование методом Горнера

    Для того, чтобы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2). Например, двоичное число 1011011 переводится в десятичную систему так: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+0=22 >> 22*2+1=45 >> 45*2+1=91 То есть в десятичной системе это число будет записано как 91. Или число 101111 переводится в десятичную систему так: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+1=23 >> 23*2+1=47 То есть в десятичной системе это число будет записано как 47. Перевод дробных чисел методом Горнера 1) 0,11012=0,X10 (рассматриваем цифры в обратном порядке)
    1:2=0,5
    0,5+0=0,5
    0,5:2=0,25
    0,25+1=1,25
    1,25:2=0,625
    0,625+1=1,625
    1,625:2=0,8125
    Ответ: 0,11012= 0,812510
    2) 0,3568=0,X10 (рассматриваем цифры в обратном порядке)
    6:8=0,75
    0,75+5=5,75
    5,75:8=0,71875
    0,71875+3=3,71875
    3,71875:8=0,46484375
    Ответ: 0,3568=0,4648437510
    3) 0,A6E16=0,X10 (рассматриваем цифры в обратном порядке)
    14:16=0,875
    0,875+6=6,875
    6,875:16=0,4296875
    0,4296875+10=10,4296875
    10,4296875:16=0,65185546875
    Ответ: 0,A6E16=0,6518554687510

    Преобразование десятичных чисел в двоичные

    Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой :

    19 /2 = 9  с остатком 1
    9  /2 = 4  c остатком 1
    4  /2 = 2  без остатка 0
    2  /2 = 1  без остатка 0
    1  /2 = 0  с остатком 1
    

    Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в конец двоичной записи. Продолжаем деление до тех пор, пока в частном не будет 0. Результат записываем справа налево. То есть нижнее число будет самым левым и.т.д. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011.

    Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные

    Нужно перевести число 1011010,101 в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:

    Или по таблице:

    64 32 16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125
    1 0 1 1 0 1 0. .1 0 1
    +64 +16 +8 +2 +0.5 +0.125

    Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные

    Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:

    • Вначале переводится целая часть десятичной дроби в двоичную систему счисления;
    • Затем дробная часть десятичной дроби умножается на основание двоичной системы счисления;
    • В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве значения первого после запятой разряда числа в двоичной системе счисления;
    • Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются с предыдущего шага.

    Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.

    Перевод целой части дает 20610=110011102 по ранее описанным алгоритмам; дробную часть умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:
    0,116 • 2 = 0,232
    0,232 • 2 = 0,464
    0,464 • 2 = 0,928
    0,928 • 2 = 1,856
    0,856 • 2 = 1,712
    0,712 • 2 = 1,424
    0,424 • 2 = 0,848
    0,848 • 2 = 1,696
    0,696 • 2 = 1,392
    0,392 • 2 = 0,784
    и т. д.
    Получим: 206,11610=11001110,00011101102

    Применения

    В цифровых устройствах

    Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:

    • Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. В частности, две цифры двоичной системы счисления могут быть легко представлены многими физическими явлениями: есть ток (ток больше пороговой величины) — нет тока (ток меньше пороговой величины), индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет (индукция магнитного поля меньше пороговой величины) и т. д.
    • Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Например, чтобы закодировать три состояния через величину напряжения, тока или индукции магнитного поля, потребуется ввести два пороговых значения и два компаратора, что не будет способствовать помехоустойчивости и надёжности хранения информации.[источник не указан 770 дней]
    • Двоичная арифметика является довольно простой. Простыми являются таблицы сложения и умножения — основных действий над числами.

    В цифровой электронике одному двоичному разряду в двоичной системе счисления соответствует (очевидно) один двоичный разряд двоичного регистра, то есть двоичный триггер с двумя состояниями (0,1).

    В английской системе мер

    При указании линейных размеров в дюймах по традиции используют двоичные дроби, а не десятичные, например: 5¾″, 715/16″, 311/32″ и т. д.

    Интересные факты

    См. также

    Примеры чисел-степеней двойки

    Степень Значение
    0 1
    1 2
    2 4
    3 8
    4 16
    5 32
    6 64
    7 128
    8 256
    9 512
    10 1024
    11 2048
    12 4096
    13 8192
    14 16384
    15 32768
    16 65536
    17 131072
    18 262144
    19 524288
    20 1048576
    21 2097152
    22 4194304
    23 8388608
    24 16777216
    25 33554432
    26 67108864
    27 134217728
    28 268435456
    29 536870912
    30 1073741824
    31 2147483648
    32 4294967296
    33 8589934592
    34 17179869184
    35 34359738368
    36 68719476736
    37 137438953472
    38 274877906944
    39 549755813888
    40 1099511627776
    41 2199023255552
    42 4398046511104
    43 8796093022208
    44 17592186044416
    45 35184372088832
    46 70368744177664
    47 140737488355328
    48 281474976710656
    49 562949953421312
    50 1125899906842624
    51 2251799813685248

    Примечания

    1. Sanchez, Julio & Canton, Maria P. (2007), «Microcontroller programming: the microchip PIC», Boca Raton, Florida: CRC Press, с. 37, ISBN 0-8493-7189-9 
    2. W. S. Anglin and J. Lambek, The Heritage of Thales, Springer, 1995, ISBN 0-387-94544-X
    3. Ordish George, Hyams, Edward. The last of the Incas: the rise and fall of an American empire. — New York: Barnes & Noble, 1996. — С. 80. — ISBN 0-88029-595-3
    4. Experts ‘decipher’ Inca strings. Архивировано из первоисточника 18 августа 2011.
    5. Carlos Radicati di Primeglio, Gary Urton Estudios sobre los quipus. — P. 49.
    6. Dale Buckmaster (1974). «The Incan Quipu and the Jacobsen Hypothesis». Journal of Accounting Research 12 (1): 178-181. Проверено 2009-12-24.
    7. Bacon, Francis, «The Advancement of Learning», vol. 6, London, сс. Chapter 1, <http://home.hiwaay.net/~paul/bacon/advancement/book6ch2.html> 
    8. http://www.leibniz-translations.com/binary.htm Leibniz Translation.com EXPLANATION OF BINARY ARITHMETIC
    9. Aiton, Eric J. (1985), «Leibniz: A Biography», Taylor & Francis, сс. 245–8, ISBN 0-85274-470-6 

    Ссылки

    Двоичное счисление: вычитание, сложение, умножение, деление

    Двоичное счисление это

    Двоичное счисление имеет в своей основе только две цифры: 0 и 1. Все числа записывают с помощью этих двух цифр. Основание двоичной системы счисления равно двум.

    Двоичная система счисления применяется в компьютерной технике. Бит — это наименьшая единица информации. Слово «бит», по-английски bit, происходит от «binary digit», что значит «двоичная цифра». Бит может быть единицей или нулём, ведь в двоичной системе счисления имеются только две цифры: 0 и 1.

    Двоичное счисление относится к позиционным системам счисления. Это значит, что значение двоичного числа связано с позициями цифр в нём. Пример: двоичные числа 1101 и 1011 составлены из одинакового количества единиц и нулей, но позиции их различны, значит и числа различны.

    Вот таблица позиций числа 1101:

    цифра 1 1 0 1
    позиция 3 2 1 0

    Теперь таблица позиций числа 1011:

    цифра 1 0 1 1
    позиция 3 2 1 0

    Номера позиций начинаются с нуля.

    Двоичные дроби

    Дроби в двоичной системе счисления записывают как и в десятичной:
    1101,1101

    Таблица позиций числа 1101,1101

    цифра 1 1 0 1 . 1 1 0 1
    позиция 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4

    Позиции дробной части начинаются с -1.

    Перевод дробного двоичного числа в десятичное

    Переведём двоичное дробное число 1101,1101 в десятичную дробь.
    Таблица позиций числа 1101,1101

    цифра 1 1 0 1 . 1 1 0 1
    позиция 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4

    1 * 23 + 1 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 + 1 * 2-1 + 1 * 2-2 + 0 * 2-3 + 1 * 2-4 = 8 + 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0 + 0.0625 = 13.8125

    Степени 2 равны номеру позиции.

    Итак, двоичное число 1101,1101 равно 13,8125 в десятичной системе счисления.

    Двоичная система счисления: как сравнить два числа?

    Двоичные числа сравнивают также, как и в десятичной системе счисления, примеры:

    100 > 10
    100 < 110
    111 < 1111
    111 < 1000

    Двоичная система счисления — Информатика, информационные технологии

    Двоичная система счисления была придумана математиками и философами ещё до появления компьютеров (XVII — XIX вв.). Выдающийся математик Лейбниц говорил: Вычисление с помощью двоек… является для науки основным и порождает новые открытия… При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок. Позже двоичная система была забыта, и только в 1936 — 1938 годах американский инженер и математик Клод Шеннон нашёл замечательные применения двоичной системы при конструировании электронных схем. Рассмотрим пример представления числа в двоичной системе счисления:

    Пример 2.1.1. Переведём число 2000 в двоичную систему.

    1. Делим 2000 на основание новой системы счисления — 2:

    2000:2=1000(0 — остаток),

    1000:2=500(0),

    500:2=250(0),

    250:2=125(0),

    125:2=62(1),

    62:2=31(0),

    31:2=15(1),

    15:2=7(1),

    7:2=3(1),

    3:2=1(1)

    2. Собираем последнее частное от деления (всегда равно 1) и остатки от деления и записываем их по порядку, начиная снизу :

    200010==111110100002

    Для проверки переведём полученное число в десятичную систему счисления, для этого:

    1. Выделим двоичные разряды числа, то есть, степени числа 2, начиная с 0-й:

    210 29 28 27 26 25 24 23 22 2′

    2. Запишем сумму произведений 0 и 1 на соответствующую степень числа 2 (см. представление числа в р-ричной системе счисления):

    0*20+0*21+0*22+0*23+l*24+0*25+l*26+l*27+l*28+l*29+l*210= 16+64+128+256+512+1024=2000

    Существуют системы счисления, родственные двоичной. При работе с компьютерами иногда приходится иметь дело с двоичными числами, так как двоичные числа заложены в конструкцию компьютера. Двоичная система удобна для компьютера, но неудобна для человека — слишком длинные числа неудобно записывать и запоминать. На помощь приходят системы счисления, родственные двоичной — восьмеричная и шестнадцатеричная.

    Например, в шестнадцатеричной системе для записи чисел предназначены 10 арабских цифр и буквы латинского алфавита {А, В, С, D, Е, F}. Чтобы записать число в этой системе счисления, удобно воспользоваться двоичным представлением числа. Возьмём для примера то же число — 2000 или 11111010000 в двоичной системе. Разобьём его на четвёрки знаков, двигаясь справа налево, в последней четвёрке слева припишем незначащий 0, чтобы количество знаков в триадах было по четыре: 0111 1101 0000. Начнём перевод — числу 0111 в двоичной системе соответствует число 7 в десятичной (710=1*20+1*21+1*22), в шестнадцатеричной системе счисления цифра 7 есть; числу 1101 в двоичной системе соответствует число 13 в десятичной (13=1*20 + 0*21 + 1*22 + 1*23), в шестнадцатеричной системе этому числу соответствует цифра D, и, наконец, число 0000 — в любой системе счисления 0. Запишем теперь результат: 111110100002 = 7D016.

    Кодирование координат

    Закодировать можно не только числа, но и другую информацию. Например, информацию о том, где находится некоторый объект. Величины, определяющие положение объекта в пространстве, называются координатами. В любойсистеме координат есть начало отсчёта, единица измерения, масштаб, направление отсчёта, или оси координат. Примеры систем координат — декартовы координаты, полярная система координат, шахматы, географические координаты.

    Кодирование музыки

    Как всякий звук, музыка является не чем иным, как звуковыми колебаниями, зарегистрировав которые достаточно точно, можно этот звук безошибочно воспроизвести. Нужно только непрерывный сигнал, которым является звук, преобразовать в последовательность нулей и единиц. С помощью микрофона звук можно превратить в электрические колебания, измерить амплитуду колебаний через равные промежутки времени (несколько десятков тысяч раз в секунду). Каждое измерение записывается в двоичном коде. Этот процесс называетсядискретизацией. Устройство для выполнения дискретизации — АЦП (аналогово-цифровой преобразователь). Воспроизведение такого звука ведётся при помощи ЦАП (цифро-аналогового преобразователя). Полученный ступенчатый сигнал сглаживается и преобразуется в звук при помощи усилителя и динамика. На качество воспроизведения влияютчастота дискретизации и разрешение(размер ячейки, отведённой под запись значения амплитуды). Например, при записи музыки на компакт-диски используются 16-разрядные значения и частота дискретизации 44 032 Гц. Понятно, что музыкальное произведение содержит в себе множество разных звуков, поэтому для того, чтобы хранить такой объём информации, нужно много места, такую запись трудно обрабатывать, так как в музыке ещё очень много оттенков. По этим причинам удобнее использовать для кодирования музыки нотную запись — своего рода алгоритм музыканту. В 1983 году ведущие производители электронных музыкальных инструментов и композиторов договорились о системе команд универсального синтезатора. Это соглашение — стандарт MIDI (Musical Instrument Digital Interface). При таком кодировании запись компактна, легко меняется инструмент исполнителя, тональность звучания, одна и та же запись воспроизводится как на синтезаторе, так и на компьютере.

    Кодирование текста

    Текст закодировать довольно просто. Для этого достаточно как-нибудь перенумеровать все буквы, цифры, знаки препинания и другие используемые при письме символы. Для хранения одного символа чаще всего используется восьмиразрядная ячейка — один байт, иногда два байта (иероглифы, например). В байт можно записать 256 различных чисел, значит, это позволит закодировать 256 различных символов. Соответствие символов и их кодов задаётся в специальной таблице. Коды записываются в шестнадцатеричной системе, так как для записи числа из восьми разрядов нужно всего две шестнадцатеричных цифры.

    Кодирование изображений

    Цифровые персональные компьютеры хорошо работают с числами, но не умеют обрабатывать непрерывные величины. Но человеческий глаз можно обмануть: изображение, составленное из большого числа отдельных мелких деталей, воспринимается как непрерывное. Если разбить картинку вертикальными и горизонтальными линиями на маленькие мозаичные квадратики, получим так называемыйрастр — двумерный массив квадратиков. Сами квадратики —элементы растра или пиксели (picture’s element) — элементы картинки. Цвет каждого пикселя кодируется числом, тогда, задав по порядку номера цветов (слева направо или сверху вниз), можно описать любую картинку. Часть информации неизбежно потеряется, но чем больше растр (мельче пиксели), тем точнее воспроизводится картинка.

    Для описания черно-белых изображений используются оттенки серого цвета, то есть при кодировании учитывается только яркость. Она описывается одним числом, поэтому для кодирования одного пикселя требуется от 1 до 8 бит: чёрный цвет — 0, белый цвет — N=2k-l, где k — число разрядов, которые отводятся для кодирования цвета. Например, при длине ячейки в 8 бит это 256-1=255. Человеческий глаз в состоянии различить от 100 до 200 оттенков серого цвета, поэтому восьми разрядов вполне хватает.

    Цветные изображения воспринимаются нами как сумма трёх основных цветов — красного, зелёного и синего. Например, сиреневый = красный + синий; жёлтый = красный + зелёный; оранжевый = красный + зелёный, но в другой пропорции. Поэтому достаточно закодировать цвет тремя числами — яркостью его красной, зелёной и синей составляющих. Этот способ кодирования называетсяRGB (Red—Green—Blue). Его используют в устройствах, способных излучать свет (мониторы). При рисовании на бумаге действуют другие правила, так как краски сами по себе не испускают свет, а только поглощают некоторые цвета спектра. Если смешать красную и зелёную краски, то получится коричневый, а не жёлтый цвет. Поэтому при печати цветных изображений используют метод CMY (Cyan—Magenta—Yellow) —голубой, сиреневый, жёлтый цвета. При таком кодировании красный = сиреневый + жёлтый; зелёный = голубой + жёлтый.

    Кодирование фильмов

    Фильм представляет собой последовательность быстро сменяющих друг друга кадров, на которых изображены последовательные фазы движения. Поскольку известны принципы кодирования отдельных кадров, то закодировать фильм как последовательность таких кадров ничего не стоит. Звук записывают независимо от изображения. При демонстрации фильма важно только добиться синхронизации звука и изображения (в кино для этого используют хлопушку — по щелчку хлопушки совмещаются звук и изображение).

    Закодированный фильм несёт в себе информацию о размере кадра в пикселях и количество используемых цветов; частоте и разрешении для звука; способе записи звука (покадровый или непрерывный для всего фильма). После этого следует последовательность закодированных картинок и звуковых фрагментов.

    Статьи к прочтению:

    Просто о сложном: Двоичная система счисления


    Похожие статьи:

    Двоичное кодирование — урок. Информатика, 7 класс.

    Известно множество способов записи чисел.

    Мы пользуемся десятичной позиционной системой счисления. Десятичной она называется потому, что в этой системе счисления десять единиц одного разряда составляют одну единицу следующего старшего разряда.

     

    Число \(10\) называется основанием десятичной системы счисления. Для записи чисел в десятичной системе счисления используются десять цифр: \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\) и \(9\).


    Позиционной эта система счисления называется потому, что одна и та же цифра получает различные количественные значения в зависимости от места или позиции, которую она занимает в записи числа.

    Пример:

    в записи числа \(555\) цифра \(5\), стоящая на первом месте справа, обозначает \(5\) единиц, на втором — \(5\) десятков, на третьем — \(5\) сотен.

    Рассмотрим два числовых ряда:
    \(1\), \(10\), \(100\), \(1000\), \(10 000\), \(100 000\)…
    \(1\), \(2\), \(4\), \(8\), \(16\), \(32\), \(64\), \(128\), \(256\), \(512\), \(1024\), \(2048\)…
    Оба этих ряда начинаются с единицы.

    Каждое следующее число первого ряда получается путём умножения предыдущего числа на \(10\).

    Каждое следующее число второго ряда получается путём умножения предыдущего числа на \(2\).
    Любое целое число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых — единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее, записанных в первом ряду. При этом каждый член этого ряда может либо не входить в сумму, либо входить в неё от \(1\) до \(9\) раз.

    Пример:

    1409=1⋅1000+4⋅100+0⋅10+9⋅1.

     

    Числа \(1\), \(4\), \(0\), \(9\), на которые умножаются члены первого ряда, составляют исходное число \(1409\).

    Перевод целых десятичных чисел в двоичный код

    Способ 1

    Попробуем представить число \(1409\) в виде суммы членов второго ряда.


    Воспользуемся методом разностей. Возьмём ближайший к исходному числу, но не превосходящий его член второго ряда и составим разность:

    \(1409 — 1024 = 385\).

     

    Возьмём ближайший к полученной разности, но не превосходящий её член второго ряда и составим разность:

    \(385 — 256 = 129\).

     

    Аналогично составим разность:

    \(129 — 128 = 1\).

     

    В итоге получим:

    1409=1024+256+128+1=1⋅1024+0⋅512+1⋅256+1⋅128+ 0⋅64+0⋅32+0⋅16+0⋅8+0⋅4+0⋅2+1⋅1

     

    Мы видим, что каждый член второго ряда может либо не входить в сумму, либо входить в неё только один раз.

    Числа \(1\) и \(0\), на которые умножаются члены второго ряда, также составляют исходное число \(1409\), но в его другой, двоичной записи: \(10110000001\).

     

    Результат записывают так:

    140910=101100000012.

     

    Исходное число мы записали с помощью \(0\) и \(1\), другими словами, получили двоичный код этого числа или представили число в двоичной системе счисления.

     

    Способ 2

    Этот способ получения двоичного кода десятичного числа основан на записи остатков от деления исходного числа и получаемых частных на \(2\), продолжаемого до тех пор, пока очередное частное не окажется равным \(0\).

    Пример:

    В первую ячейку верхней строки записано исходное число, а в каждую следующую — результат целочисленного деления предыдущего числа на \(2\).
    В ячейках нижней строки записаны остатки от деления стоящих в верхней строке чисел на \(2\).
    Последняя ячейка нижней строки остается пустой. Двоичный код исходного десятичного числа получается при последовательной записи всех остатков, начиная с последнего: 140910=101100000012.


    Первые \(20\) членов натурального ряда в двоичной системе счисления записываются так: \(1\), \(10\), \(11\), \(100\), \(101\), \(110\), \(111\), \(1000\), \(1001\), \(1010\), \(1011\), \(1100\), \(1101\), \(1110\), \(1111\), \(10000\), \(10001\), \(10010\), \(10011\), \(10100\).

    Перевод целых чисел из двоичной системы счисления в десятичную

    Способ 1

    Пусть имеется число 1111012. Его можно представить так:

      

    Способ 2

    Возьмем то же число 1111012. Переведём единицу \(6\)-го разряда (первая слева в записи числа) в единицы \(5\)-го разряда, для чего \(1\) умножим на \(2\), так как единица \(6\)-го разряда в двоичной системе содержит \(2\) единицы \(5\)-го разряда.
    К полученным \(2\) единицам \(5\)-го разряда прибавим имеющуюся единицу \(5\)-го разряда. Переведём эти \(3\) единицы \(5\)-го разряда в \(4\)-й разряд и прибавим имеющуюся единицу \(4\)-го разряда:

    3⋅2+1=7.

     

    Переведём \(7\) единиц \(4\)-го разряда в \(3\)-й разряд и прибавим имеющуюся единицу \(3\)-го разряда:

    \(7 · 2 + 1 = 15\).


    Переведём \(15\) единиц \(3\)-го разряда во \(2\)-й разряд:

    \(15 · 2 = 30\).

     

    В исходном числе во \(2\)-м разряде единиц нет.


    Переведем \(30\) единиц \(2\)-го разряда в \(1\)-й разряд и прибавим имеющуюся там единицу:

    \(30 · 2 + 1 = 61\).

     

    Мы получили, что исходное число содержит \(61\) единицу \(1\)-го разряда. Письменные вычисления удобно располагать так:

    \(((((1 · 2 + 1) · 2 + 1) · 2 + 1) · 2 + 0) · 2 + 1 = 61\).

     

    Переводить целые числа из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления и обратно можно с помощью приложения Калькулятор.

     

     

    Источники:

    Босова, Л. Л. Информатика и ИКТ. Учебник для 6 класса / Л. Л. Босова. — 4-е изд. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. — 217 с.

    Что такое двоичная система счисления? Определение, подсчет, пример, использование и преимущества двоичной системы счисления

    Определение : Система счисления, которая соответствует только двум цифровым цифрам, то есть 0 и 1, известна как двоичная система счисления. Поскольку это двухзначная система, известная как система с основанием 2, . Работа компьютерной системы зависит исключительно от двоичной системы счисления. Поскольку он понимает только двоичные значения, то есть 0 и 1.

    Теперь возникает вопрос, почему компьютерная система понимает только двоичные значения?

    Ответ на поставленный выше вопрос таков: компьютер — это электронное устройство, а все электрические и электронные устройства воспринимают только электрические сигналы.Таким образом, двоичные цифры 0 и 1 просто соответствуют на и на состоянии устройства соответственно.

    Цифры 0 и 1 имеют то же значение, что и в десятичной системе счисления. Однако изменение положения двоичных чисел зависит от представляемого значения.

    Как и при увеличении положения справа налево, вес показывает последовательное увеличение в степени 2.

    Давайте посмотрим, как мы можем записать число двоичной цифрой в степени 2:

    Две двоичные цифры 0 и 1 известны как биты .Бит считается первичной единицей информации. Слово BIT происходит от комбинации BI nary и digi T . Однако комбинация 8 бит дает начало другому блоку, известному как « байт» . Кроме того, когда объединяются 4 бита , формируется единица «полубайт» .

    Здесь стоит отметить, что основные логические функции основаны на двоичной системе счисления. Можно изменить двоичное представленное значение в десятичной, восьмеричной или шестнадцатеричной системе.Кроме того, мы можем преобразовать любую систему счисления в двоичную, выполнив соответствующую операцию.

    Подсчет двоичных чисел

    Как мы знаем, существует 10 цифр в десятичной системе счисления, то есть от 0 до 9. Однако, используя комбинацию этих слов при изменении их положения, можно представить несколько величин.

    Давайте сначала разберемся, как выполняется счет в двоичной системе счисления, а затем перейдем к пониманию его десятичного представления.

    Здесь всего 2 цифры, так как счет начинается с 0 и заканчивается 1.Однако из-за наличия только 2 цифр при последовательном подсчете цифра 1 сдвигается влево, а цифра справа становится 0, что дает 10 в двоичной системе счисления, которая представляет собой не что иное, как 2 в десятичной системе счисления.

    Приведенная ниже таблица даст вам лучшее представление о представлении десятичного числа в двоичном формате и его формате подсчета:

    Из табличного представления, показанного выше, ясно, что двоичное число превосходит в степени 2, начиная с 0, что мы уже обсуждали ранее.

    Как представить десятичные числа в двоичном формате

    Чтобы получить двоичный эквивалент десятичного числа, мы последовательно выполняем деление члена частного, пока оно не станет 0. Кроме того, мы последовательно отмечаем остаток, полученный после каждого деления. Эти напоминания затем записываются в порядке, обратном их появлению. Таким образом мы просто получаем двоичный эквивалент любого десятичного значения.

    Перейдем теперь к математической реализации рассмотренного выше метода:

    Например, пусть число будет 15 :

    Метод известен как метод двойного прикосновения .

    Иногда в реальной жизни мы встречаем десятичные числа в дробном формате. Итак, давайте рассмотрим пример дробного десятичного числа, которое нужно преобразовать в дробное двоичное число.

    Например, пусть число будет 0,65 :

    Чтобы преобразовать 0,65 в дробное двоичное число, число сначала умножается на 2. Результат, полученный после умножения, затем последовательно умножается на 2. Кроме того, после умножения полученный результат представляет собой десятичное значение, поэтому цифра перед десятичной дробью служит в качестве бит для переноски.

    Дробное десятичное преобразование в двоичное в виде математической реализации показано ниже:

    Здесь в данном случае перенос отмечается в нисходящем направлении. Примечательно, что двоичное умножение обычно продолжается до восьми двоичных разрядов. Следовательно, можно сказать, что полученный результат не совсем эквивалентен, но считается приблизительной величиной.

    Характеристики двоичной системы счисления

    1. Это двухзначная система счисления.
    2. Это обычно называют системой счисления с основанием 2.
    3. Различные позиции двоичной системы счисления показывают эквивалентное значение в степени 2.
    4. В крайнем левом положении двоичного представления показано 2 в степени x. Здесь x представляет крайнее положение слева.

    Преимущества двоичной системы счисления

    С развитием двоичной системы счисления работа с различными задачами упростилась. Используя двоичные значения, можно легко решить различные логические задачи, основанные на булевой алгебре.

    Использование двоичной системы счисления

    • В электронных устройствах : Электронные устройства, такие как компьютер, диод, BJT, MOSFET и т. Д., Работают только с низким и высоким значением, то есть 0 и 1 в двоичной системе счисления.
    • В перфокартах : Они широко используются в перфокартах, которые показывают 0 для состояния без перфорации и 1 для состояния с перфорацией.
    • В цифровых компьютерах : цифровая система основана на двоичных значениях 0 и 1. Цифровые компьютеры оперируют двоичными значениями для выполнения логических операций.
    • На магнитной ленте : Магнитная лента может использоваться как устройство, имеющее 2 состояния. Поскольку в этом случае некоторые точки намагничиваются, показывая двоичную 1, а остальные не намагничиваются, представляя двоичный 0. Таким образом, катушка магнитной ленты может использоваться для хранения информации в двоичной форме.

    Двоичная система счисления выполняет различные логические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление. Однако среди них наиболее важным является сложение.

    Система двоичных чисел

    : применение и преимущества — видео и стенограмма урока

    Приложения

    Наиболее распространенное применение двоичной системы счисления можно найти в компьютерных технологиях. Весь компьютерный язык и программирование основаны на 2-значной системе счисления, используемой в цифровом кодировании. Цифровое кодирование — это процесс получения данных и их представления с помощью дискретных битов информации. Эти дискретные биты состоят из нулей и единиц двоичной системы.16 представляет 65 536 различных цветов!

    Мы также находим двоичную систему счисления в области математики, известной как булева алгебра. Эта область математики занимается логикой и ценностями истины. Здесь истинным или ложным утверждениям затем присваивается 0 или 1.

    Преимущества

    Самым большим преимуществом двоичной системы счисления является ее простота. Любое устройство с переключателем включения / выключения может быть преобразовано в вычислительное устройство с использованием двоичной системы счисления, где 0 означает «выключено», а 1 — «включено».«Поскольку переключатели, используемые в компьютерном языке, либо включены, либо выключены, их можно легко прочитать с небольшой вероятностью ошибки.

    В вычислениях двоичную систему счисления проще использовать, чем десятичную или десятичную, с меньшим количеством вычислений. Например, дополнительно используются только три вычисления:

    1. 0 + 0 = 0
    2. 0 + 1 = 1
    3. 1 + 1 = 10

    Умножение в двоичной системе счисления также предполагает использование трех вычислений:

    1. 0 x 0 = 0
    2. 0 х 1 = 0
    3. 1 х 1 = 1

    Напротив, десятичная или десятичная система счисления требует знания 100 вычислений.

    Краткое содержание урока

    Хотя наиболее часто используется система счисления с десятичным основанием , двоичная система счисления также важна. Это система счета, состоящая только из двух цифр. Этими цифрами обычно являются 0 и 1. Каждое значение разряда представляет собой степень 2.

    В компьютерном языке используется двоичная система счисления, в которой ноль представляет положение «выключено», а один — положение «включено». Преимущества включают простоту использования при кодировании, меньшее количество вычислений и меньшее количество ошибок в вычислениях.Двоичная система счисления может также использоваться в булевой алгебре .

    Теперь, когда вы закончили этот урок, взгляните на наклейку на бампере:

    «Есть 10 типов людей: те, кто понимает двоичное, и те, кто нет».

    «10» — это двоичное число, которое на самом деле означает 2.

    Двоичная система счисления

    : что это такое? (Определение и примеры)

    Что такое двоичная система счисления?

    В цифровой электронике Двоичные числа являются наиболее важным инструментом для ввода цифровых данных.Теперь, прежде чем понимать двоичную систему счисления , мы должны понять десятичную систему счисления, которую мы используем в нашей повседневной жизни. Система счисления впервые была введена в истории человечества для целей подсчета.

    Разные числа для подсчета обозначаются разными символами. Например, одна вещь считается символом 1, если есть две вещи, символ будет 2, для подсчета трех вещей символ будет 3. Для четырех, пяти, шести, семи, восьми, девяти символов, используемых в десятичные системы: 4, 5, 6, 7, 8 и 9 соответственно.Символ 0 (ноль) означает, что считать нечего. Итак, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — это десять основных символов, используемых для счета от нуля до девяти. Вот почему она называется десятичной системой счисления или системой счисления с основанием 10.

    Но если нужно подсчитать более девяти вещей, то мы не выбираем другой новый символ, а объединяем два или более символов от 0 до 9 и представляем числа, которые больше девяти. Для представления девять + один, то есть десять, мы используем 10, для девяти + два мы используем 11 и так далее. Таким образом мы установили десятичную систему счисления.

    Теперь перейдем к двоичной системе счисления — это имя так потому, что оно имеет две основы (0 и 1), которые используются для представления всей системы счисления. Посмотрите анимацию ниже, чтобы получить представление о преобразовании двоичных чисел в десятичные.

    История двоичной системы счисления

    Инарная система счисления b была введена индийским ученым Пингалой примерно в 5–2 веках до нашей эры. Длинные и короткие слоги использовались им для иллюстрации двух типов чисел, это больше похоже на азбуку Морзе.

    Готфрид Лейбниц в 1679 году ввел современный тип двоичной системы счисления, который мы используем до сих пор.
    Любые числа (десятичные) могут быть представлены в двоичной системе счисления. Использование этой системы популярно в цифровой электронике, потому что с ее помощью можно довольно легко понять, какой режим включен и выключен.

    902 902 902 здесь в каждое число представлено комбинацией любых двух основных символов (от 0 до 9).Эти базовые символы называются цифрами, а соответствующее положение этих цифр в представленном числе называется битом. Таким образом, все десятичные числа, представленные выше, состоят из двух цифр, двойных битов. Самый левый бит числа называется старшим значащим битом (MSB), а самый правый бит называется младшим значащим битом (LSB).

    Если мы рассмотрим приведенные выше числа, мы обнаружим, что первые десять последовательных чисел, то есть от 00 до 09, представлены изменением десяти десятичных цифр в младшем разряде.Затем MSB изменяется на следующую последовательную цифру, и путем изменения цифр в LSB представляются другие десять последовательных чисел (от 10 до 19). В третьей строке таблицы MSB заменяется на следующую последовательную цифру, а путем изменения цифр в LSB отображаются другие десять последовательных чисел (от 20 до 29).

    Всего 100, то есть от 00 до 99 чисел, представленных двумя битами в десятичной системе. 100 означает 10 2 , что означает (количество основных цифр) количество битов . Следовательно, по 3 битам 10 3 или 1000 чисел (т.e от 000 до 999). Точно так же n битами могут быть представлены 10 n чисел.

    Теперь подумайте о ситуации, когда система счисления имеет только две цифры 0 и 1. Эта система также может быть представлена ​​в той же логике, что и десятичная система. Система счисления, состоящая только из двух цифр 0 и 1, известна как двоичная система счисления.

    Здесь ноль представлен символом «0», а единица — как «1», но если число больше единицы, то MSB изменяется на 1, и путем изменения LSB могут быть представлены два других последовательных числа.Так же, как и в десятичной системе, общие числа, подсчитываемые в двоичной системе, зависят от ее битов.

    Для двухбитового двоичного кода могут быть представлены 2 2 чисел, т.е. от нуля до трех. Формула здесь такая же, общее количество чисел представлено в двоичной системе счисления = (количество основных цифр) количество битов . Количество основных цифр в двоичной системе равно двум (0 и 1), но количество битов может быть выбрано от 1 до бесконечности, поэтому весь диапазон чисел может быть легко представлен в двоичной системе, как и все другие системы счисления.

    Определение двоичной системы счисления

    Двоичная система счисления определяется как система счисления с основанием (или основанием) 2. Это означает, что числа в этой системе состоят из двух цифр — 1 и 0.

    Теперь подумайте о десятичное число, такое как 625. Из самой базовой концепции мы можем понять

    Здесь 625 — трехбитное десятичное число, у которого самая правая цифра или цифра в LSB равна 5, и если мы посчитаем биты справа, самый правый бит будет 0. Следующий справа бит нумеруется как 1, и здесь размещается цифра 2, аналогично крайний левый бит — 2, а цифра — 6.Таким образом, из этого примера ясно, что любое десятичное число может быть представлено как:
    ∑цифра × 10 соответствующая позиция или бит
    Здесь в приведенном выше выражении 10 — общее количество цифр, используемых в десятичной системе, то есть от 0 до 9
    Как десятичная система. Любая система счисления может быть представлена ​​одним и тем же выражением, только 10 в выражении следует заменить на общее количество цифр, используемых в этой системе. Следовательно, любое число в любой системе может быть представлено как:
    ∑цифра × (количество цифр, используемых в этой системе) соответствующая позиция или бит
    Количество цифр, используемых в двоичной системе счисления, равно 2.Следовательно, любое число может быть представлено в этой системе с помощью:
    ∑цифра × (2) соответствующая позиция или бит

    00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
    11 12 15 16 17 18 19
    20 21 22 23 24 25 26 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
    40 41 902 902 46 47 48 49
    50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
    60 61 62 63 64 65 66 67 68 72 73 74 75 76 77 78 79
    80 81 82 84 902 902 902 902 88 89
    90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
    5 4 3 2 1 0 → Позиция или бит
    1 0 1 0 1 0 → Двоичные цифры

    Здесь двоичное число число 101010. Таким образом, согласно приведенному выше выражению число может быть выражено как:

    Для лучшего понимания, пожалуйста, обратите внимание на таблицу ниже:

    Двоичное число Десятичный эквивалент
    Позиция
    или бит
    7 6 5 3 2 1 0
    Двоичные
    цифр
    0 0 0 0 0 9048 0 0 0 0 0 × 2 7 + 0 × 2 6 + 0 × 2 5 + 0 × 2 4 + 0 × 2 3 + 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 0 × 2 0 = 0
    0 0 0 0 0 0 0 1 2 7 + 0 × 2 6 + 0 × 2 5 + 0 × 2 4 + 0 × 2 3 + 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 1
    0 0 0 0 0 0 1 0 0 × 2 4 2 + 6 + + 0 × 2 5 + 0 × 2 4 + 0 × 2 3 + 0 × 2 2 + 1 × 2 1 + 0 × 2 0 = 2
    0 0 0 0 0 0 1 1 0 × 2 7 + 0 × 2 6 + 0 × 2 5 + 0 × 2 4 + 0 × 2 3 + 0 × 2 2 + 1 × 2 1 + 1 × 2 0 = 3
    0 0 0 0 0 0 0 0 × 2 7 + 0 × 2 6 + 0 × 2 5 + 0 × 2 4 + 0 × 2 3 + 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 0 × 2 0 = 4
    0 0 0 0 0 1 0 1 1 2 7 + 0 × 2 6 + 0 × 2 5 + 0 × 2 4 + 0 × 2 3 + 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 5
    0 0 0 0 0 1 1 0 0 × 2 7 + 0 × 2 2 5 + 0 × 2 4 + 0 × 2 3 + 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 0 × 2 0 = 6
    0 0 0 0 0 1 1 1 0 × 2 7 + 0 × 2 6 + 0 0 × 2 4 + 0 × 2 3 + 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 1 × 2 0 = 7
    0 0 0 0 1 0 0 0 0 × 2 7 + 0 × 2 6 + 0 × 2 5 + 0 × 2 4 + 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 0 × 2 0 = 8

    См. Анимацию удар, чтобы получить идея, как подсчитываются разные двоичные числа.

    Как работают двоичные и шестнадцатеричные числа: введение в недесятичные системы счисления

    Компьютеры на очень низком уровне построены на двоичных (единицах и нулях).Подумайте об этом — весь текст, который вы читаете на экране, начал свое существование как с единицы или нуля в той или иной форме. Это невероятно! Как можно превратить такую ​​простую вещь в растягивающийся лист символов, который вы можете прочитать на своем устройстве? Давайте узнаем вместе!

    Десятичное

    Когда вы или я считаем, мы обычно используем 10 чисел в некоторой вариации комбинации для этого: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 и 9 .

    Когда вы считаете до 10 , вы действительно используете комбинацию 1 и 0 , чтобы построить большее число, которое мы осознаем. Число 10 сохраняется в нашем сознании, даже когда оно записано; десять .

    Знание того, что мы можем отделить число от наших мыслей, позволяет нам дополнительно классифицировать число, мысленно разбивая его на более мелкие группы. Например, число 34 можно разбить на три группы: единиц , десятков и сотен .

    Для числа 34 мы разбиваем его на: 0 сотен , 3 десятков и 4 единиц . Затем мы можем умножить большее число на меньшее число (столбец, в котором они находятся), чтобы получить числа 30 ( 3 десятков ) и 4 ( 4 единиц ). . Наконец, мы складываем их все вместе, чтобы получилось число, которое мы все знаем и любим: 34 .

    Эта разбивка демонстрирует ограничение с наличием 10 символов для представления чисел; имея только один столбец, наибольшее число, которое мы можем представить, будет 9 . Помните, что число 10 представляет собой комбинацию 1 и 0 ? Это связано с этим ограничением. Точно так же — с двумя столбцами — максимальное число, которое мы можем представить, — это 99 .

    двоичный

    Это может показаться довольно упрощенным, но это важное различие, которое необходимо сделать для понимания двоичного кода.Наша типичная десятичная система счисления известна как система счисления с основанием 10 . Он называется так, потому что для построения всех остальных чисел используются 10 символов (еще раз: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 и 9 ). Двоичный, с другой стороны, равен по основанию два . Это означает, что в этой системе счисления существует только два символа.

    Для энтузиастов латинского языка двоичное происходит от слова «binarius», означающего «два вместе». Дека , то есть 10, отсюда происходит десятичная дробь. Кроме того, термин «основание» иногда используется вместо «основания» при описании систем счисления, особенно в программировании.

    Вместо использования чисел, которые могут очень быстро запутаться при обучении в первый раз, давайте использовать ** X ** s и ** O ** s в качестве двух символов для наших первых нескольких примеров. X показывает, присутствует ли число и что мы должны добавить его к окончательной сумме; O означает, что номер отсутствует и что мы не должны добавлять его . Возьмем следующий пример:

    В этом примере присутствуют и 1 , и 2 , поэтому мы складываем их вместе, чтобы получить 3 . Вы увидите, что, поскольку у нас может быть только присутствующее или отсутствующее значение — потому что у нас есть только два символа в двоичном формате, — это преобразование имеет меньше шагов, чем при использовании десятичного.Например, если вам нужен только номер два, вы можете просто пометить 1 как «отсутствует», используя O :

    Вы даже можете заменить два символа на 1 и 0 , чтобы получить фактическое двоичное число 10 для представления 2 :

    Итак, как это происходит при попытке представить число 50 в двоичном формате?

    Как видите, мы создаем столбцы, которые являются степенями 2 по тем же причинам, что и при использовании степеней 10 в десятичном виде; вы не можете представить 4 , 8 , 16 или 32 без создания нового столбца в противном случае.

    Помните, что в этой системе число может только присутствовать или нет; нет 2 . Это означает, что присутствуют только символы 1 и 0 . Имея это в виду, это означает, что у нас может быть только 11 как наибольшее представленное число без другого столбца. 11 в двоичном формате — это 3 в десятичном. Это показывает, что только с двумя двоичными цифрами могут быть представлены только десятичные числа: 0 , 1 , 2 и 3 .В результате нам нужно добавить столбец 4 , чтобы представить это число в двоичном формате.

    Продолжая этот шаблон: без столбца 8 у вас может быть только 4 , 2 и 1 , что даст максимальное значение 7 . Важно отметить, что эти значения всегда на единицу меньше степени 2.

    После того, как каждая из этих степеней выложена, мы можем начать добавлять 1 с, где у нас есть минимальное количество каждого значения.Например:

    • 64 меньше или равно 50 ? Нет. Это 0 .
    • Является ли 32 <= 50 ? Да, поэтому это 1 .
    • При перемещении вниз по списку будет 16 <= 18 ? Да, это 1 . - 18 - 16 = 2
    • Является ли 8 <= 2 ? Нет, это 0 .
    • 4 <= 2 ? Нет, это тоже 0 .
    • 2 <= 2 ? Да, это 1 .
    • Теперь, когда у нас осталось 0 , мы знаем, что остальные цифры будут 0 .

    Сложите все эти числа:

    Колонна Значение
    64 0
    32 1
    16 1
    8 0
    4 0
    2 1
    1 0

    И вуаля, у вас есть двоичное представление 50 : 0110010 .

    Примечание автора:

    Хотя существует множество способов найти двоичное представление десятичного числа, в этом примере используется «жадный» алгоритм. Я считаю, что этот алгоритм лучше всего подходит для изучения двоичной системы счисления, но это не единственный способ (или даже лучший способ, зачастую).

    Шестнадцатеричный

    Двоичная система - не единственная недесятичная система. Вы можете использовать любое число в качестве основы, если у вас достаточно символов для представления цифр.Давайте посмотрим на другой пример недесятичной системы: в шестнадцатеричной системе счисления .

    - это шестнадцатеричная система счисления.

    Hexa означает «шесть» на латыни, а deca означает «десять», поэтому они объединяются в «шестнадцать».

    Теперь вы можете задаться вопросом, как можно сосчитать до 16 в одном столбце, когда мы используем только 10 символов для представления чисел. Для многих разработчиков ответ состоит в том, чтобы заполнить оставшиеся 6 последних символов другими символами: буквами алфавита.

    0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , A , B C , D , E , F

    Это символы, которые составляют шестнадцатеричную систему счисления для многих разработчиков. A в данном случае представляет собой номер 10 ; F представляет собой номер 15 .В этой системе счисления есть шестнадцать , двести пятьдесят шестерок (полученное умножением 16 на себя - 16 2 ) и другие степени 16.

    Учитывая эту информацию, как бы мы представили число 50 ?

    Предполагая, что у нас есть столбец единиц , столбец sixteens и столбец двести пятьдесят шестерок , мы можем вычислить число аналогично предыдущему двоичному примеру:

    • 256 меньше или равно 50 ? Нет.Это 0
    • Является ли 16 <= 50 ? да. Итак, мы знаем, что это , по крайней мере, 1 .
      • Теперь, сколько раз вы можете вставить 16 в 50 ?
        • 16 * 2 = 32 и 32 <= 50 , поэтому это как минимум 2 .
        • 16 * 3 = 48 и 48 <= 50 , поэтому это как минимум 3 .
        • 16 * 4 = 64 .Однако, 64> 50 , поэтому шестнадцатое место не может быть 4 , поэтому оно должно быть 3 .
      • Теперь, когда мы знаем максимум, который мы можем иметь в шестнадцатом месте , мы можем вычесть сумму ( 48 ) из нашего результата ( 50 ).
    • Теперь перейдем к : сколько может поместиться в 2 ?
      • 1 * 1 = 1 и 1 <= 2 , поэтому это как минимум 1 .
      • 1 * 2 = 2 и 2 <= 2 и поскольку эти числа равны, мы знаем, что должно быть 2 двоек .

    Теперь, если сложить эти числа:

    Колонна Значение
    256 0
    16 3
    1 2

    Почему

    256 ?

    Читая это, вы можете задаться вопросом: «Откуда взялся 256 ?».Сделаем шаг назад, чтобы проанализировать этот вопрос.

    Если вы помните, мы используем эти 15 символов для представления цифр в шестнадцатеричном формате:

    0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , A , B C , D , E , F

    Используя только одну цифру (или, иначе говоря: один числовой столбец), наибольшее число, которое мы можем представить, будет F или 15 в десятичной форме.

    Это похоже на то, как наибольшее число, которое мы можем представить одной десятичной цифрой, - это 9 .

    Чтобы добавить число больше 15 в шестнадцатеричной системе, нам нужно добавить еще одну цифру / столбец. Этот столбец будет представлять sixteens место. Имея F в этом столбце и в столбце , наибольшее число, которое мы можем представить, будет FF или 255 в десятичной форме. В результате нам нужно добавить столбец двести пятьдесят шесть для представления любых чисел выше.

    Те, у кого есть опыт в алгебре, могут заметить, что все это степени 16.

    Так же, как 100 равно 10 2 для десятичной системы, 256 равно 16 2 . Мы можем следовать этому шаблону до следующего числа в шестнадцатеричном столбце: 4096 , что составляет 16 3 . Вы даже можете применить его к 1 , что составляет 16 0 .

    Двоичный код работает точно так же. Первые 5 столбцов / цифр двоичного числа: 1 , 2 , 4 , 8 , 16 .Эти числа соответствуют своим двоичным показателям соответственно: 2 0 , 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 .

    Также стоит отметить, что десятичные числа можно записывать точно так же.

    732 , например, в базе 10 можно записать как (7 × 10 2 ) + (3 × 10 1 ) + (2 × 10 0 ).

    в двоичный

    Помните, что, в конце концов, шестнадцатеричное число - это просто еще один способ представления значения с помощью определенного набора символов.Так же, как мы можем преобразовывать из двоичного в десятичное, мы можем преобразовывать из шестнадцатеричного в двоичный и наоборот. В двоичном формате набор символов намного меньше, чем в шестнадцатеричном, и в результате символьное представление длиннее.

    В конце концов, это просто отражение чисел, которые мы представляем с помощью определенного набора символов. В двоичном формате эти символы более строгие, чем в шестнадцатеричном, и поэтому символьное представление длиннее.

    Приложения

    цветов CSS

    Как ни странно, если вы использовали «шестнадцатеричное» значение в HTML и CSS, вы, возможно, уже хорошо знакомы с сценарием, аналогичным тому, который мы прошли с шестнадцатеричным разделом.

    Например, возьмите цвет # F33BC6 (розоватый цвет). Этот цвет представляет собой комбинацию двухколоночных шестнадцатеричных чисел 3 , расположенных подряд. Это номера:

    F3 , 3B , C6

    Они отражают количество красного, зеленого и синего (соответственно) в этом цвете. Поскольку эти числа являются двузначными шестнадцатеричными числами, максимальное число, которое может быть для отражения одного из этих цветов, - это 255 (что составляет FF в шестнадцатеричном формате).

    Если вы не знакомы с тем, как красный, зеленый и синий могут сочетаться, чтобы получить знакомые нам цвета (например, желтый, оранжевый, фиолетовый и многие другие), возможно, стоит взглянуть на некоторые из теория цвета, лежащая в основе этого. Вы можете найти ресурсы по этой теме в Википедии и в других местах.

    Эти десятичные числа следующие:

    шестигранник Десятичное
    F3 243
    3B 59
    C6 196

    И построить количество красных , зеленых и синих , используемых для создания этого цвета

    Представляет шестигранник Десятичное число
    Красный F3 243
    Зеленый 3B 59
    Синий C6 196

    Даже не видя визуального представления, вы можете сказать, что этот цвет, вероятно, имеет пурпурный оттенок, поскольку в нем высокий процент красного и синего.

    Кодировка текста

    Хотя шестнадцатеричный формат имеет гораздо более заметное приложение с цветами, мы начали этот пост с вопроса: "Как ваш компьютер узнает, какие буквы отображать на экране только из двоичного кода?"

    Ответ на этот вопрос довольно сложен, но давайте ответим на него очень просто (несмотря на то, что упущено много частей головоломки в стиле «нарисуйте сову»).

    Давайте рассмотрим реальный способ, которым компьютеры раньше (и до некоторой степени продолжают) представлять буквы внутри: ASCII.ASCII - это старый стандарт для представления каждого текстового символа как отдельного числа внутри вашего компьютера. Возьмем следующий (упрощенный) график:

    Когда пользователь вводит «Этот» , компьютер интерпретирует (используя ASCII) следующее: 84 , 104 , 105 и 115 для T , h , i и s соответственно.

    Вы можете спросить: «Почему много пропущенных номеров»?

    Я удалил их, чтобы примеры были простыми, но многие из них предназначены для символов (например, # , / и др.), А некоторые из них предназначены для внутренних команд клавиш, которые долгое время использовались для терминальных вычислений. назад, что ваш компьютер теперь делает незаметно для вас.

    Также стоит упомянуть, что ASCII (который имеет больше символов, чем представлено здесь) в конечном итоге был заменен в различных приложениях на Unicode и другие форматы кодирования текста, поскольку ему не хватает различных функциональных возможностей, которые мы ожидаем от наших сегодняшних машин, таких как эмодзи и нелатинский язык. символы (например, кандзи). Тем не менее, ASCII все еще остается в некоторой степени, поскольку первые 255 символов в Unicode такие же, как они изначально были в ASCII.

    Хотя я использовал приведенную выше диаграмму, чтобы отразить A как 65 , было бы правильнее сказать, что ваш компьютер внутренне интерпретирует символ как 01000001 .Это снова связано с тем, что ваш компьютер должен интерпретировать каждое число и букву как двоичные.

    Заключение

    Хотя это был только общий обзор того, как ваш компьютер интерпретирует эти недесятичные числа (и некоторые из их приложений), он может дать некоторые базовые представления о том, что ваш компьютер делает каждый раз, когда вы нажимаете клавишу или видите цвет на экране. Под капотом все двоичное, и теперь вы понимаете введение в то, как преобразовать двоичное в числа, возможно, вы и я лучше понимаем: в десятичное!

    Двоичная, шестнадцатеричная и восьмеричная система счисления

    Двоичная, шестнадцатеричная и восьмеричная системы относятся к разным системам счисления.Тот, который мы обычно используем, называется десятичным. Эти системы счисления относятся к количеству символов, используемых для представления чисел. В десятичной системе мы используем десять различных символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. С помощью этих десяти символов мы можем представить любую величину. Например, если мы видим 2, значит, мы знаем, что есть два чего-то. Например, в конце этого предложения 2 точки.

    Когда у нас заканчиваются символы, мы переходим к размещению следующей цифры. Чтобы представить единицу больше 9, мы используем 10, что означает одну единицу из десяти и ноль единиц.Это может показаться элементарным, но очень важно понимать нашу систему счисления по умолчанию, если вы хотите понимать другие системы счисления.

    Например, когда мы рассматриваем двоичную систему, в которой используются только два символа, 0 и 1, когда у нас заканчиваются символы, нам нужно перейти к размещению следующей цифры. Итак, мы будем считать в двоичном формате 0, 1, 10, 11, 100, 101 и так далее.

    В этой статье более подробно обсуждаются двоичная, шестнадцатеричная и восьмеричная системы счисления и объясняется их использование.

    Системы счисления используются для описания количества чего-либо или представления определенной информации.В связи с этим могу сказать, что слово «калькулятор» состоит из десяти букв. Наша система счисления, десятичная система, использует десять символов. Следовательно, десятичным считается Base Ten . Описывая системы с помощью оснований, мы можем понять, как работает эта конкретная система.

    Когда мы считаем по системе Base Ten, мы считаем, начиная с нуля и заканчивая девятью по порядку.

    0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…

    Как только мы дойдем до последнего символа, мы создадим новое размещение перед первым и посчитаем его.

    8, 9, 1 0, 11, 12,…, 19, 2 0,…


    Это продолжается, когда у нас заканчиваются символы для этого места размещения. Итак, после 99 мы переходим к 100.

    Размещение символа указывает, сколько он стоит. Каждое дополнительное размещение дает дополнительную степень 10. Рассмотрим число 2853. Мы знаем, что это число довольно велико, например, если оно относится к количеству яблок в корзине. Это много яблок. Как мы узнаем, что он большой? Смотрим количество цифр.

    Каждое дополнительное размещение - это дополнительная степень 10, как указано выше. Рассмотрим эту диаграмму.
    10 3 10 2 10 1 10 0
    цифра цифра цифра цифра
    * 1000 * 100 * 10 * 1

    Каждая дополнительная цифра представляет все большее и большее количество.Это применимо как для Base 10, так и для других баз. Знание этого поможет вам лучше понять другие основы.

    двоичный

    Binary - это еще один способ сказать Base Two. Итак, в двоичной системе счисления для представления чисел используются только два символа: 0 и 1. Когда мы считаем с нуля в двоичной системе счисления, символы заканчиваются гораздо чаще.

    Отсюда символов больше нет. Мы не переходим к 2, потому что в двоичном формате 2 не существует. Вместо этого мы используем 10.В двоичной системе 10 равно 2 в десятичной системе счисления.

    Мы можем считать дальше.

    Двоичный 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010
    Десятичное число 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    Как и в десятичной системе счисления, мы знаем, что чем больше цифр, тем больше число.Однако в двоичном формате мы используем степени двойки. В двоичном числе 1001101 мы можем создать диаграмму, чтобы узнать, что это на самом деле означает.
    2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0
    1 0 0 1 1 0 1
    64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1
    77

    Однако, поскольку это основание два, числа не становятся такими большими, как в десятичном.Тем не менее, двоичное число из 10 цифр будет больше 1000 в десятичном.


    Двоичная система используется в информатике и электротехнике. Транзисторы работают от двоичной системы, и транзисторы можно найти практически во всех электронных устройствах. 0 означает отсутствие тока, а 1 означает пропускание тока. При включении и выключении различных транзисторов сигналы и электричество отправляются для выполнения различных действий, например, для совершения звонка или вывода этих букв на экран.

    Компьютеры и электроника работают с байтами или восьмизначными двоичными числами. Каждый байт содержит закодированную информацию, которую компьютер способен понять. Многие байты объединяются в цепочки для формирования цифровых данных, которые можно сохранить для дальнейшего использования.

    восьмеричный

    Восьмеричная система счисления - это еще одна система счисления, в которой используется меньше символов, чем в нашей традиционной системе счисления. Восьмеричный формат является модным для Base Eight, что означает, что восемь символов используются для представления всех величин. Это 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.Когда мы считаем единицу из 7, нам нужно новое размещение, чтобы представить то, что мы называем 8, поскольку 8 не существует в Octal. Итак, после 7 будет 10.

    восьмеричный 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12… 17 20… 30… 77 100
    Десятичное число 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10… 15 16… 24… 63 64

    Точно так же, как мы использовали степень десяти в десятичной системе и степень двойки в двоичной системе, для определения значения числа мы будем использовать степень восьмерки, поскольку это основание восемь.Рассмотрим число 3623 по основанию восемь.

    8 3 8 2 8 1 8 0
    3 6 2 3
    1536 + 384 + 16 + 3
    1939

    Каждое дополнительное размещение слева имеет большую ценность, чем в двоичном формате. Третья цифра справа в двоичном формате представляет только 2 3-1 , то есть 4.В восьмеричном формате это 8 3-1 , что равно 64.

    Шестнадцатеричный

    Шестнадцатеричная система счисления - основание шестнадцати. Как следует из ее основания, эта система счисления использует шестнадцать символов для представления чисел. В отличие от двоичного и восьмеричного, шестнадцатеричный имеет шесть дополнительных символов, которые он использует помимо обычных, найденных в десятичном. Но что будет после 9? 10 - это не одна цифра, а две ... К счастью, по соглашению, когда необходимы дополнительные символы помимо обычных десяти, должны использоваться буквы.Итак, в шестнадцатеричном формате общий список используемых символов составляет 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E и F. На цифровом дисплее. , числа B и D строчные.

    При шестнадцатеричном счете вы считаете 0, 1, 2 и так далее. Однако, когда вы достигнете 9, вы перейдете прямо к A. Затем вы считаете B, C, D, E и F. Но что дальше? У нас закончились символы! Когда у нас заканчиваются символы, мы создаем новое расположение цифр и идем дальше. Таким образом, после F будет 10. Вы продолжаете считать, пока не дойдете до 19. После 19 следующее число - 1A.Это продолжается вечно.

    Шестнадцатеричный 9 А B С D E F 10 11… 19 1С… 9F A0
    Десятичное число 9 10 11 12 13 14 15 16 17 25 26 27 28 159 160

    Цифры объясняются как степень 16.Рассмотрим шестнадцатеричное число 2DB7.

    16 3 16 2 16 1 16 0
    2 D B 7
    8192 + 3328 + 176 + 7
    11703

    Как видите, размещение в шестнадцатеричной системе счисления намного дороже, чем в любой из трех других систем счисления.

    Важно знать, что 364 в восьмеричной системе счисления - это , а не , равное обычному 364.Это похоже на то, как 10 в двоичном формате определенно не является 10 в десятичном. 10 в двоичном формате (с этого момента будет записываться как 10 2 ) равно 2. 10 8 равно 8. Откуда мы это знаем? Что такое 20C.38F 16 и как нам узнать?

    Вот почему важно понимать, как работают системы счисления. Используя нашу степень основного числа, становится возможным преобразовать любое число в десятичное, а из десятичного - в любое.

    Основание в десятичной системе

    Итак, мы знаем, что 364 8 не равно десятичному числу 364.{p-1} + ... + v_1B + v_0 \ end {формула}

    Где V 10 - десятичное значение, v - цифра в расположении, p - это размещение справа от числа, предполагая, что крайнее правое расположение равно 0, а B - начальная база. Не пугайтесь формулы! Мы собираемся пройти через это шаг за шагом.

    Итак, допустим, у нас есть простое шестнадцатеричное число 2B. Мы хотим знать, что это за число в десятичной системе, чтобы лучше понять его. как нам это сделать?

    Воспользуемся формулой выше.Сначала определите каждую переменную. Мы хотим найти V 10 , так что это неизвестно. Число 2B 16 имеет две позиции, так как оно состоит из двух цифр. Следовательно, p на единицу меньше этого значения, поэтому p равно 1. Число в базе 16, поэтому B равно 16. Наконец, мы хотим знать, что такое v, но существует несколько v. У вас v 1 и v 0 . Это относится к значению цифры в позиции индекса. v 1 относится к цифре в первой позиции (вторая цифра справа).0) \\ V_ {10} = 2 (16) +11 (1) \\ V_ {10} = 32 + 11 \\ V_ {10} = 43 \\ \ end {align}

    Следовательно, 2B 16 равно 43.

    Теперь позвольте мне объяснить, как это работает. Помните, как расположение цифр влияет на фактическое значение? Например, в десятичном числе 123 «1» представляет 100, что составляет 1 * 10 2 . «2» - это 20 или 2 * 10 1 . Аналогично, в числе 2B 16 цифра «2» - это 2 * 16 1 , а буква B - 11 * 16 0 .

    Таким образом мы можем определить значение чисел.Для числа 364 8 мы создадим диаграмму, которая показывает десятичное значение каждой отдельной цифры. Затем мы можем сложить их, чтобы получить целое. Число состоит из трех цифр, поэтому, начиная справа, у нас есть позиция 0, позиция 1 и позиция 2. Поскольку это основание восемь, мы будем использовать степень 8.

    Теперь 8 2 равно 64. 8 1 равно 8. 8 0 равно 1. Что дальше?

    Помните, что мы сделали с десятичным числом 123? Мы взяли значение цифры , умноженное на соответствующей степени.Итак, учитывая это дальше…

    Теперь сложим значения, чтобы получить 244. Следовательно, 364 8 равно 244 10 .

    Точно так же, как для 123, мы говорим, что есть одна группа по 100, две группы по 10 и три группы по 1, для восьмеричной системы и числа 364 существуют три группы по 64, шесть групп по 8 и четыре группы по 1.

    от десятичной дроби к основанию

    Так же, как мы можем преобразовать из любого основания в десятичное, можно преобразовать десятичное в любое основание.p \\ (4) \ hspace {6pt} Повторяйте шаги \ hspace {4pt} с \ hspace {4pt} 1 \ hspace {4pt} через \ hspace {4pt} 3 \ hspace {4pt}, пока \ hspace {4pt} p = 0 \\ \ end {align}

    Сначала этот алгоритм может показаться запутанным, но давайте рассмотрим пример, чтобы увидеть, как его можно использовать. Мы хотим представить 236 в двоичном, восьмеричном и шестнадцатеричном формате. Итак, давайте сначала попробуем преобразовать его в двоичный код.

    Первый шаг - сделать p равным $ \ operatorname {int} (\ sqrt [B] {V}) $. B - это база, в которую мы хотим преобразовать 2.V - это число, которое мы хотим преобразовать, 236. По сути, мы извлекаем квадратный корень из 236 и игнорируем десятичную часть. В результате p становится равным 7.

    Шаг второй говорит, что пусть v равно нашему числу V, деленному на B p . B p равно 2 7 , или 128, а целая часть 236, деленная на 128, равна 1. Следовательно, наша первая цифра слева равна 1. Теперь мы фактически меняем V, чтобы стать V минус цифра, умноженная на В стр . Итак, V теперь будет 236-128 или 108.

    Мы просто повторяем процесс до тех пор, пока p не станет равным нулю. Когда p становится равным нулю, мы завершаем шаги в последний раз, а затем заканчиваем.

    Итак, поскольку V теперь равно 108, p становится 6. P \ end {уравнение}

    На человеческом языке: значение шифра в числе равно значению самого шифра, умноженному на основание системы счисления в степень позиции шифра слева направо в числе, начиная с при 0.Прочтите это несколько раз и попытайтесь понять.

    Таким образом, значение цифры в двоичном формате удваивается каждый раз, когда мы перемещаемся влево. (см. таблицу ниже)

    Из этого следует, что каждый шестнадцатеричный шифр можно разбить на 4 двоичных разряда. На компьютерном языке: кусочек. Теперь взгляните на следующую таблицу:

    Двоичные числа
    8 4 2 1 Шестнадцатеричное значение Десятичное значение
    0 0 0 0 0 0
    0 0 0 1 1 1
    0 0 1 0 2 2
    0 0 1 1 3 3
    0 1 0 0 4 4
    0 1 0 1 5 5
    0 1 1 0 6 6
    0 1 1 1 7 7
    1 0 0 0 8 8
    1 0 0 1 9 9
    1 0 1 0 А 10
    1 0 1 1 B 11
    1 1 0 0 С 12
    1 1 0 1 D 13
    1 1 1 0 E 14
    1 1 1 1 F 15

    Еще один интересный момент: посмотрите на значение в верхней части столбца.Тогда посмотрите на значения. Вы понимаете, о чем я? Да, ты прав! Биты включаются и выключаются в зависимости от своего значения. Значение первой цифры (начиная справа) выглядит следующим образом: 0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,… Вторая цифра: 0,0,1,1,0 , 0,1,1,0,0,1,1,0,0… Третья цифра (значение = 4): 0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0 , 1,1,1,1,… И так далее…

    А как насчет больших чисел? Поэтому нам понадобится дополнительная цифра. (но я думаю, вы догадались сами). Для значений начиная с 16 наша таблица выглядит так:

    Двоичные числа
    16 8 4 2 1 Шестнадцатеричное значение Десятичное значение
    1 0 0 0 0 10 16
    1 0 0 0 1 11 17
    1 0 0 1 0 12 18
    1 0 0 1 1 13 19
    1 0 1 0 0 14 20
    1 0 1 0 1 15 21
    1 0 1 1 0 16 22
    1 0 1 1 1 17 23
    1 1 0 0 0 18 24
    1 1 0 0 1 19 25
    1 1 0 1 0 26
    1 1 0 1 1 27
    1 1 1 0 0 28
    1 1 1 0 1 1D 29
    1 1 1 1 0 1E 30
    1 1 1 1 1 1 этаж 31
    Для восьмеричных чисел это аналогично, с той лишь разницей, что нам нужно всего 3 цифры для выражения значений 1-> 7.Наша таблица выглядит так:
    Двоичные числа
    4 2 1 Восьмеричное значение Десятичное значение
    0 0 0 0 0
    0 0 1 1 1
    0 1 0 2 2
    0 1 1 3 3
    1 0 0 4 4
    1 0 1 5 5
    1 1 0 6 6
    1 1 1 7 7

    В последней теме я объяснил логику двоичной, шестнадцатеричной и восьмеричной систем счисления.Теперь я объясню кое-что более практичное. Если вы полностью поняли предыдущее, можете пропустить эту тему.

    Из десятичного числа в двоичное

    • Шаг 1. Проверьте, четное или нечетное у вас число.
    • Шаг 2: Если четный, напишите 0 (двигаясь в обратном направлении, добавляя двоичные цифры слева от результата).
    • Шаг 3: В противном случае, если он нечетный, напишите 1 (таким же образом).
    • Шаг 4: Разделите ваше число на 2 (отбрасывая любую дробь) и вернитесь к шагу 1. Повторяйте, пока ваше исходное число не станет 0.

    Пример:
    Преобразование 68 в двоичное:

    • 68 четное, поэтому пишем 0.
    • Разделив 68 на 2, получим 34.
    • 34 тоже четное, поэтому пишем 0 (пока результат - 00)
    • Разделив 34 на 2, получим 17.
    • 17 нечетно, поэтому пишем 1 (результат пока - 100 - не забудьте добавить слева)
    • Разделив 17 на 2, мы получим 8,5, или всего 8.
    • 8 четное, поэтому пишем 0 (пока результат - 0100)
    • Разделив 8 на 2, получим 4.
    • 4 четное, поэтому пишем 0 (пока результат - 00100)
    • Разделив 4 на 2, получим 2.
    • 2 чётно, поэтому пишем 0 (результат пока - 000100)
    • Разделив 2 на 2, получим 1.
    • 1 нечетное, поэтому пишем 1 (пока результат - 1000100)
    • Разделив на 2, мы получим 0,5 или просто 0, так что все готово.
    • Конечный результат: 1000100

    Из двоичного в десятичный

    • Запишите значения в таблицу, как показано выше. (или сделайте это мысленно)
    • Добавьте значение в заголовке столбца к вашему номеру, если цифра включена (1).
    • Пропустите, если значение в заголовке столбца выключено (0).
    • Переходите к следующей цифре, пока не закончите все.

    Пример:
    Преобразование 101100 в десятичное:

    • Старшая цифра значения: 32. Текущий номер: 32
    • Пропустите цифру «16», ее значение равно 0. Текущий номер: 32
    • Добавить 8. Текущий номер: 40
    • Добавить 4. Текущий номер: 44
    • Пропустите цифры «2» и «1», так как их значение равно 0.
    • Окончательный ответ: 44

    Из десятичного в шестнадцатеричный.

    ЭТО ТОЛЬКО ОДИН ИЗ МНОГИХ СПОСОБОВ!

    • Преобразуйте десятичное число в двоичное
    • Разделить на 4 полубайта, начиная с конца
    • Посмотрите на первую таблицу на этой странице и напишите правильный номер вместо полубайта

    (вы можете добавить нули в начале, если количество битов не делится на 4, потому что, как и в десятичном, это не имеет значения)

    Пример:
    Преобразование 39 в шестнадцатеричное:

    • Сначала преобразуем в двоичный (см. Выше).Результат: 100111
    • Затем мы разбиваем его на полубайты: 0010/0111 (Примечание: я добавил два нуля, чтобы прояснить тот факт, что это полубайты)
    • После этого преобразуем полубайты отдельно.
    • Окончательный результат: 27

    Из шестнадцатеричного в десятичный

    * Проверьте формулу в первом абзаце и используйте ее для шифров в шестнадцатеричном числе. (это действительно работает для любого преобразования в десятичную систему счисления)

    Пример:
    Преобразование 1AB в десятичное:

    • Значение B = 16 0 × 11.Это дает 11, очевидно,
    • Значение A = 16 1 × 10. Это дает 160. Наш текущий результат - 171.
    • Значение 1 = 16 2 × 1. Это дает 256.
    • Конечный результат: 427

    От десятичной к восьмеричной

    • Преобразовать в двоичный.
    • Разбивается на части по 3 цифры, начиная справа.
    • Преобразует каждую часть в восьмеричное значение от 0 до 7

    Пример: преобразование 25 в восьмеричное число

    • Сначала преобразуем в двоичный.Результат: 11001
    • Далее разделились: 011/001
    • Преобразование в восьмеричное: 31

    От восьмеричного к десятичному

    Снова применим формулу сверху

    Пример: преобразовать 42 в десятичное

    • Значение 2 = 8 0 × 2 = 2
    • Значение 4 = 8 1 × 4 = 32
    • Результат: 34

    Хорошо, это может быть не на 100% "забавным", но тем не менее интересно.

    • Вы склонны видеть числа, начинающиеся с 0x? Это обычная нотация для указания шестнадцатеричных чисел, поэтому вы можете увидеть что-то вроде:
      0x000000
    0x000002
    0x000004 
     

    Эта нотация чаще всего используется для перечисления адресов компьютеров, а это совсем другая история.
    • Это довольно очевидно, но вы можете «писать» слова, используя шестнадцатеричные числа. Например:
      • CAB = 3243 в десятичной системе счисления.

    Вы все поняли? Если вы так думаете, проверьте себя:

    Корзина декабрь шестигранник
    3A
    76
    101110
    88
    1011110
    47

    Сделайте несколько упражнений самостоятельно, если хотите еще.

    Двоичные числа и работа компьютеров

    Хотя для изучения компьютерного программирования необязательно обладать обширными знаниями математики, это, безусловно, помогает иметь базовые знания в некоторых основах математики, которые делают вычисления возможными. А что может быть более фундаментальным для современных вычислений, чем двоичная математика?

    Термин «двоичный» означает что-то, что имеет только два возможных объекта или состояния. В двоичной системе счисления этими двумя объектами являются числа 0 и 1 .Эти два числа могут обозначать разные вещи.

    Например, в компьютерной логике 0 представляет «ложь», а 1 представляет «истину». Или они могут использоваться для представления обычных чисел в виде комбинаций единиц и нулей. Примером этого может быть представление чисел 0, 1, 2, 3 и 4 в виде трех двоичных цифр 000, 001, 010, 011 и 100 соответственно.

    Но что все это означает на фундаментальном уровне вычислений? Почему двоичная система счисления используется в качестве основы для всех наших вычислений?

    Возможно, будет легче понять все это, если мы сможем понять основы работы компьютеров на машинном уровне.


    Комбинации 0 и 1: Интерпретация работы компьютерных схем

    компьютеры работают с электрическими сигналами, генерируемыми этими схемами. Чтобы спроектировать компьютер, который работает эффективно, нам нужна система, которая может интерпретировать электрические сигналы упрощенным и эффективным способом.

    Хороший способ сделать это - интерпретировать электрические сигналы как двоичные значения: 0 для низкого значения напряжения и 1 для высокого значения напряжения. Более простой способ подумать об этом - представить лампочку.Если лампочка выключена , это состояние интерпретируется как имеющее значение 0 . Если это на , оно интерпретируется как имеющее значение 1.

    Интерпретация состояний лампочки в двоичном формате

    Это широкое обобщение сокращает диапазон интерпретации каждого электрического сигнала до двух различных значений вместо бесконечного диапазона непрерывных значения напряжения.

    Имея этот метод работы и интерпретации электронных схем, мы можем приступить к разработке кодированных систем на основе двоичных разрядов для помощи в наших вычислительных задачах.Эти системы могут быть двоичными (ограничены только истинными или ложными значениями), числовым представлением числовых значений с основанием 2 или другими системами, которые полагаются на серию двоичных чисел для представления текста, изображений или звуков.

    По сути, наши компьютеры используют серию электрических сигналов высокого и низкого напряжения (двоичные значения) для представления всего, от текста и чисел до изображений и звуков. Существуют специальные электронные схемы, такие как триггеры и другие схемы, которые могут «хранить» или сохранять эти конкретные шаблоны электрических сигналов для длительного использования.

    Например, один триггер может иметь несколько входов, которые в настоящее время имеют выход высокого напряжения (который мы интерпретируем как 1 ). Предположим, что следующие два триггера имеют низковольтные выходы 0 . Мы могли бы объединить эти три выхода, чтобы получить значение 100 , которое в двоичном формате совпадает с числом 4 .

    Понимание двоичных чисел, таким образом, может помочь нам понять некоторые основы компьютерных операций на достаточно абстрактном уровне , даже если наш слабый человеческий интеллект никогда не позволит нам понять всю сложность компьютерных операций.

    И это тоже хорошо, что для работы с упрощенными и абстрактными концепциями компьютерных операций нам, изучающим информатику, более чем достаточно. В следующих разделах мы кратко рассмотрим некоторые из различных способов, которыми компьютеры используют двоичные символы для выполнения некоторых из своих самых фундаментальных операций.

    Логическая логика: использование двоичных чисел для понимания компьютерной логики

    Компьютерные программы используют очень специфическую систему логики для выполнения своих инструкций.Это известно как булева логика, сформулированная английским математиком Джорджем Булем в XIX веке.

    Boole разработал систему арифметических и логических операций, использующих двоичную систему чисел. Логическая логика имеет дело только с двумя возможными значениями: true или false . Истинно представлено 1 , а ложно представлено 0 . Все логические операции приводят к получению только одного из этих двух двоичных значений.

    Современные компьютеры постоянно используют эту форму логики для принятия решений. Эти решения приводят к тому, что наши компьютеры принимают определенный образ действий вместо другого.

    Принятие решений на компьютерах

    Чтобы понять, насколько важна эта система для компьютеров, не нужно смотреть дальше существования логических операторов в большинстве языков программирования: операторов AND, OR и NOT.

    Эти операторы взяты непосредственно из операций И, ИЛИ и НЕ из логической логики.И любой, кто имеет поверхностные познания в программировании, знает, что эти операции являются центральными в программировании.

    Но на этом влияние работы Буля не заканчивается. Фактически, многие языки программирования имеют тип данных с именем boolean , который может хранить только «true» или «false», то есть 1 или 0.

    Эти логические переменные и логические операторы являются фундаментальными компонентами, используемыми при реализации условных операторов и управления операторы на языках программирования. В результате их важность невозможно переоценить, поскольку это 101 Программирование.

    Есть также много других, более творческих и сложных способов использования двоичных чисел в языках программирования. Однако это сообщение в блоге служит простым обзором некоторых вещей, для которых могут использоваться двоичные числа.

    Таким образом, мы не будем вдаваться в подробности технического программирования. Возможно, я рассмотрю эти темы в следующих статьях блога. А пока давайте просто рассмотрим более простую тему числовых представлений в компьютерах.


    Представление числовых значений в системе счисления с основанием 2

    Числовые значения представлены в наших компьютерных системах в некоторой форме системы счисления с основанием 2.2 = 100) . Чем больше цифр, тем больше последовательность степеней 10. Вот почему эта система счисления называется системой счисления с основанием 10.

    Система счисления с основанием 2 работает таким же образом, за исключением того, что мы умножаем каждый бит (двоичную «цифру») на последовательные степени 2. В качестве примера возьмем число с основанием 2 1011 и увидим какое число по основанию 10 он представляет.

    Значение двоичного разряда

    Как мы видим, двоичное число 1011 эквивалентно числу одиннадцать (11) в базе 10.

    Конечно, имеет значение и способ группировки двоичных чисел. Мы знаем, что 1011 представляет собой число 11 по основанию 10. Но что, если мы сгруппируем ту же последовательность битов, что и 10 11? Это два разных числа: 10 и 11? Или это единое число 1011?

    Это показывает нам важность того, как мы группируем наши числа. А в компьютерах числа сгруппированы по-разному. Например, целочисленный тип данных int в C ++ хранит одно число в серии из 32 двоичных чисел.Таким образом, число 0 с основанием 10 представлено серией из 32 нулей, а число 1 представлено единицей, перед которой слева находится 31 ноль.


    Текстовое и символьное представление

    Мы видели, что система счисления с основанием 2 формирует основу числового представления в наших электронных устройствах. И хотя это верно для систем текстового представления, их работа совершенно другая.

    Наиболее распространенными системами представления символов являются ASCII (американский стандартный код для обмена информацией) и Unicode (расширение ASCII).Эти системы присваивают символам уникальные числовые значения и хранят их в двоичном формате.

    Например, система ASCII изначально использовала 7 бит для представления символа. В настоящее время он расширен до 8 бит. Например, символ A представлен числовым значением 65 в ASCII. Двоичный код для 65 равен 1000001 . Обратите внимание, что двоичное представление состоит из 7 бит. В расширенном ASCII это будет сохранено как 01000001 , так что общее количество бит равно 8.

    Аналогично, код ASCII для символа a - 97 , и он представлен как 01100001 в расширенном ASCII. Есть также очень специальные символы, которые представлены 0 , 1 , 2 и так далее. И они представлены как 00000000 , 00000001 , 00000010 и так далее.

    Эта система хорошо подходит для представления английских и некоторых европейских символов и символов, но, к сожалению, не подходит для представления символов из языков всего мира.Для размещения дополнительных символов был разработан Unicode .

    Unicode изначально использовал 21 бит на символ, в отличие от 7 битов, изначально используемых в ASCII. Это значительно расширяет диапазон значений, которые можно использовать для представления символов. Исходные коды ASCII размещены в системе Unicode.

    В настоящее время система кодирования на основе Unicode, называемая UTF-8 , является наиболее часто используемой системой кодирования в веб-приложениях. UTF-8 может использовать до 32 бит на символ, что означает, что он может представлять еще большее количество символов.


    Пиксели и изображения

    Неудивительно, что изображения также часто представлены числами. В компьютерах изображения чаще всего создаются с помощью крошечных цветных квадратов, называемых пикселями. Подумайте о мозаике в реальной жизни: изображение или узор создается путем объединения множества маленьких цветных кусочков. Или пазл, в котором мы объединяем более мелкие части, чтобы создать более крупное и законченное изображение.

    Пиксели работают аналогично. Тысячи крошечных цветных квадратов составляют изображения, которые отображаются на наших экранах.Есть много способов кодирования цветов в пикселях, но наиболее часто используемый код - это код RGB (красный, зеленый, синий).

    Коды

    RGB работают путем комбинирования красного, зеленого и синего цветов для получения всех оттенков цветов, которые мы видим в наших современных устройствах. Каждый из трех компонентов цвета кодируется числом, значения которого находятся в диапазоне от 0 до 255. Таким образом, существует три набора чисел, которые описывают пиксель.

    В качестве примера рассмотрим цвет, представленный кодом RGB (142, 150, 123).Этот цветовой код состоит из 3 компонентов: Красный = 142 , Зеленый = 150 и Синий = 123 .

    Внутри наших компьютеров каждый из этих цветовых компонентов представлен своими двоичными эквивалентами с использованием 8 бит, а затем объединяется вместе. Например, двоичное значение для 142 (красный компонент) - 10001110, двоичное для 150 - 10010110, а двоичное для 123 - 1111011.

    Красный = 142 = 10001110

    Зеленый = 150 = 10010110

    Синий = 123 = 01111011

    Компьютер объединяет эти числа слева направо, чтобы сохранить код RGB в своей памяти.

    Полный код RGB = 100011101001011001111011

    Работа кода RGB

    Таким образом, мы видим, что даже изображения представлены в двоичном формате. Фактически, знание двоичных кодов пикселей изображения открывает дверь для забавных небольших приложений манипулирования изображениями, таких как сокрытие одного изображения внутри другого. Я уже писал о простом методе сокрытия изображений в моем предыдущем блоге «Стеганография: скрытие информации внутри изображений». Вы можете проверить это на предмет практического применения двоичных чисел в информатике.


    Заключительные мысли и выводы

    Двоичные числа составляют одну из основных основ современных вычислений. И хотя мы вкратце рассмотрели некоторые способы использования двоичных чисел в наших компьютерах, мы также упустили многое, поскольку исчерпывающий список приложений и пояснений выходит за рамки этого блога.

    При этом мы рассмотрели довольно много интересных тем, хотя они могут быть базовыми. Мы видели, что

    • физических действий компьютерных схем интерпретируются с использованием двоичной записи i.е. в одной цепи значения низкого напряжения интерпретируются как 0 , а значения высокого напряжения интерпретируются как 1 .
    • компьютеры используют логическую логику, интерпретируя 1 как true и 0 как false при выполнении логических операций.
    • числа представлены в формате base-2 в различных группах битов в зависимости от приложения (некоторые числа представлены 16 битами, другие 32 битами, а некоторые другие 64 битами).
    • символам и тексту присваиваются уникальные числовые значения, которые затем преобразуются в формат base-2 в группах по 7 или 8 битов (ASCII) или 32 бита (UTF-8) .
    • изображения представлены группами крошечных цветных квадратов, называемых пикселями, каждый из которых закодирован в числах, которые в конечном итоге преобразуются в двоичные

    И это завершает этот блог, и я надеюсь, что пролил свет на то, почему двоичные числа так важно для вычислений.

    Подпишитесь на блог Programiz!

    Подпишитесь на нашу подписку по электронной почте, чтобы первым получить новейшее руководство от Programiz.Также больше бонусов, таких как внутри, смотрит на последнюю функцию и многое другое.

    Вы успешно подписались на нашу рассылку новостей.

    двоичных чисел: введение

    Что такое двоичный?

    Binary - это система счисления с основанием 2, в которой используются только две цифры (0 и 1). Это система, используемая в основе каждого цифрового компьютера, позволяющая им кодировать информацию, выполнять арифметические операции и выполнять процессы логического управления.

    Использование двух цифр вместо, скажем, знакомых десяти цифр, используемых в десятичных системах (от 0 до 9), позволяет легко реализовать аппаратное обеспечение с помощью простых состояний схемы «включено» или «выключено» или логических вентилей. Это основа всех цифровых систем.

    Что такое двоичные числа

    Чтобы понять двоичные значения, представьте, что каждая цифра (или бит) двоичной записи представляет собой возрастающую степень двойки, причем крайняя правая цифра представляет 2 0 , следующая представляет 2 1 , затем 2 2 и скоро.

    Для каждого бита 1 или 0 означает, суммируется ли значение возрастающей степени двух сумм с общим числом.

    2 n 2 3 2 2 2 1 2 0
    Десятичное число 8 4 2 1
    Рисунок 1.Возрастающие степени двойки представлены с десятичным результатом.

    В качестве наглядного примера на рисунке 2 показано двоичное значение 1100, преобразованное в десятичное значение 12. Синие числа представляют двоичную запись, красные числа представляют возрастающую степень двойки, а зеленые числа представляют десятичные значения.

    Рис. 2. От двоичного числа к десятичному: представление числа 12.

    Двоичные значения часто представлены с разной длиной «бит» или размером «слова». В приведенном выше примере значение представлено в 4-битном формате, называемом «полубайтом».Это означает, что может быть представлено значение от 0 до 15. 8-битные значения, называемые «байтами», могут представлять значение от 0 до 255. На рисунке 3 показано 4-битное двоичное представление для каждого десятичного значения от 0 до 15.

    Десятичное число двоичный
    0 0000
    1 0001
    2 0010
    3 0011
    4 0100
    5 0101
    6 0110
    7 0111
    8 1000
    9 1001
    10 1010
    11 1011
    12 1100
    13 1101
    14 1110
    15 1111
    Рисунок 3.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *