Двоичная система счисления пример: Двоичная система счисления — Википедия – Основы систем счисления / Habr

Содержание

Урок по информатике на тему: "Двоичная система счисления"

Тема: «Двоичная система счисления».

Цел урока:

  • обобщить и закрепить знания об основных понятиях позиционных систем счисления на примере двоичной системы счисления;
  • активизировать познавательную деятельность учащихся;
  • показать применение игровых ситуаций на уроке;

Ход урока.

1. Повторение и обобщение предыдущих знаний.

Повторение учащимися основных понятий позиционных систем счисления <Приложение1> может быть организовано в виде игры по принципу «домино» (карточка делится пополам на вопрос-ответ, разрезаются и раздаются, дети ищут ответ на вопрос, образуя при этом пару для дальнейшей работы). Можно предложить следующие определения для контроля.

Определение № 1:

Система счисления – это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Определение № 2:

Количество цифр, используемых в системе счисления для записи чисел, называется ее основанием.

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

Определение № 3:

Непозиционной системой счисления называется система, в которой вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа.

Определение № 4:

Позиционной системой счисления называется система, в которой вес каждой цифры измеряется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Поскольку за основание системы счисления можно принять любое натуральное число, то существует бесчисленное множество позиционных систем счисления. Рассмотрим традиционные из них.

2. Мотивация рассмотрения двоичной системы счисления

Учитель. Люди предпочитают десятичную систему счисления вероятно потому, что с древних времен они считали по пальцам, а пальцев у людей по 10 на руках и ногах.

Десятичная система счисления пришла к нам из Индии.

Но не всегда и везде используют десятичную систему счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления.

Для общения с ЭВМ используют, кроме десятичной, двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

  • Какие же цифры используют в двоичной системе счисления (восьмеричной, шестнадцатеричной) системе счисления?
  • Как формируется натуральный ряд?
  • Как записываются и читаются числа, и какие разряды чисел существуют в двоичной системе счисления?

Все это мы узнаем с вами на уроке, а помощницей нам будет известная десятичная система счисления.

Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в ЭВМ двоичная система счисления. <Приложение 2>

В ЭВМ используют двоичную систему, потому что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

  • для ее реализации нужны технические элементы с двумя возможными состояниями (есть ток, нет тока; включено, выключено и т.д. Одному из состояний ставится в соответствие 1, другому – 0), а не десять, как в десятичной системе,
  • представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво,
  • упрощается выполнение арифметических действий,
  • возможность использовать аппарат булевой алгебры для выполнения логической преобразований информации

Используя знания предыдущего урока заполним следующую таблицу «Сведения о двоичной системе» <Приложение 3>.

При заполнении таблицы учащиеся ориентируются на знания десятичной системы счисления и знания предыдущего урока. Каждый этап таблицы дополняется и разъясняется учителем, делаются выводы.

3. Попробуем составить таблицу первых 10 двоичных чисел.

Учитель: Сколько потребуется разрядов для записи цифры десятичного числа?

Ученики вычисляют: 23 = 8, 24 = 16. Значит для записи цифры десятичного числа достаточно 4 разрядов.

Учитель: составим таблицу первых десятичных чисел <Приложение 4>

При наличии времени (и более сильным учащимся) можно предложить продолжить данную таблицу, формируя натуральный ряд чисел двоичной системы счисления.

Вывод: недостаток двоичной системы – это быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Учитель: оказывается, что мы с вами повторили открытие одного немецкого ученого математика Вильгельм Готфрид Лейбниц (1646-1716) <Рисунок 1>

Историческая справка:

Медаль, нарисованная В.Г Лейбницем, поясняет соотношение между двоичной и десятичной системами счисления. <Рисунок 2>

Начиная со студенческих лет и до конца жизни великий европеец, немецкий ученый Вильгельм Готфрид Лейбниц (1646-1716), занимался исследованием свойств двоичной системы счисления, ставшей в дальнейшем основной при создании компьютеров. Он придавал ей некий мистический смысл и считал, что на ее базе можно создать универсальный язык для объяснения явлений мира и использования во всех науках, в том числе в философии. Сохранилось изображение медали, нарисованное В. Лейбницем в 1697 г., поясняющее соотношение между двоичной и десятичной системами исчисления:

На ней была изображена табличка из двух столбцов, в одном числа от 0 до 17 в десятичной системе, а в другом – те же числа в двоичной системе счисления. Вверху была надпись: «2,3,4,5 и т.д. Для получения их всех из нуля достаточно единицы». Внизу же гласила надпись: «Картина создания. Изобрёл ГГЛ. МDС XCYII».

4. Физкультминутка.

Учитель: постарались вы на славу, предлагаю отдохнуть. Выполним зарядку для рук. Будем показывать числа, которые мы только что перевели в двоичную систему счисления.

Если 0- загибаем палец, если 1 – оттопыриваем. Учитель сначала последовательно, затем в разбивку говорит числа в десятичной системе счисления, а учащиеся показывают их в двоичной системе на пальцах, и наоборот. Данное упражнение вносит эмоциональный характер, но требует внимания от учащихся.

5. Демонстрация решения задачи, связанной с переводом десятичного числа в двоичную систему счисления пальцевым методом.

Смысл перевода прост: нумеруем на одной руке (левой, ладонь к себе)от мизинца до большого пальца разряды от 0 до 4, что соответствует числам в десятичной системе 1,2, 4, 8,16. Считая, что 0- это согнутый палец, а 1 – оттопыренный, при решении задач, связанных с переводом целых чисел в двоичную из десятичной системы счисления требуется лишь сложить эти цифры, соответствующие загнутым пальцам. Данное упражнение, основанное на самом древнем способе- счете на пальцах, подразумевает развёрнутую форму записи числа в двоичной системе счисления. (Две руки можно использовать для перевода целых чисел до 512, так и для перевода дробных конечных чисел, где левая рука – целая часть числа, а правая – дробная). Учитель говорит число в десятичной системе (до 31 или 62), а школьники устно переводят число на пальцах в двоичную систему и записывают ответ. Для больших чисел приводится сам развёрнутый способ перевода числа из двоичной системы счисления в десятичную с примером.

6. Затем учитель говорит, что существует и обратный способ перевода, предлагая алгоритм перевода десятичного целого числа в двоичную систему счисления.

Приводятся примеры. Сложность перевода для детей в том, что правило деления отличается от математического тем, что при делении чисел требуется определить частное сразу, а не поразрядно. Каждый этап комментируется учителем

Например.

Перевести 2310 в двоичную систему.

Решение. <Рисунок 3>

Ответ: 101112

7. Решение упражнений

Затем предлагается самостоятельно перевести числа из десятичной системы в двоичную .

Например, перевести числа 18; 36; 47; 235 и др. из десятичной системы счисления в двоичную систему с помощью алгоритма (с записью в тетрадях).

8. Подведение итогов и задание на дом.

Для общения с компьютером нужна двоичная (восьмеричная, шестнадцатеричная) система счисления. В каких (кроме компьютера) приборах (и не только) применяется двоичная система счисления? Оправдано ли это применение (приведите аргументы в защиту).

Возможный ответ: http://www.compulenta.ru

Время в двоичной системе.

В Японии поступили в продажу необычные электронные часы, отображающие время в двоичной системе счисления. <Рисунок 4> Выглядят часы также довольно необычно. Они заключены в круглый металлический корпус, однако вместо циферблата со стрелками или индикатора с цифрами под стеклом находится печатная плата зеленого цвета с резисторами, конденсаторами и расположенными в два ряда десятью светодиодами. Именно они и показывают время. <Рисунок 5> Каждый из светодиодов соответствует двоичному разряду.В верхнем ряду имеются четыре диода, соответствующих числам от одного (20) до восьми (23) и показывающих часы. Нижний ряд из шести светодиодов (разряды от 1 до 32) показывает минуты. Чтобы получить нужное значение нужно сложить числа, соответствующие горящим светодиодам. Для удобства владельца рядом со светодиодами указаны числа, которым те соответствуют. Цена часов составляет 8900 иен или около 80 долларов США.

Двоичная система счисления — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Системы счисления в культуре
Индо-арабская
Арабская
Тамильская
Бирманская
Кхмерская
Лаосская
Монгольская
Тайская
Восточноазиатские
Китайская
Японская
Сучжоу
Корейская
Вьетнамская
Счётные палочки
Алфавитные
Абджадия
Армянская
Ариабхата
Кириллическая
Греческая
Грузинская
Эфиопская
Еврейская
Акшара-санкхья
Другие
Вавилонская
Египетская
Этрусская
Римская
Дунайская
Аттическая
Кипу
Майяская
Эгейская
Символы КППУ
Позиционные
2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 60
Нега-позиционная
Симметричная
Смешанные системы
Фибоначчиева
Непозиционные
Единичная (унарная)

Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2. Благодаря непосредственной реализации в цифровых электронных схемах на логических вентилях, двоичная система используется практически во всех современных компьютерах и прочих вычислительных электронных устройствах.

Двоичная запись чисел

В двоичной системе счисления числа записываются с помощью двух символов (0 и 1). Чтобы не путать, в какой системе счисления записано число, его снабжают указателем справа внизу. Например, число в десятичной системе 510, в двоичной 1012. Иногда двоичное число обозначают префиксом 0b или символом & (амперсанд)[1], например 0b101 или соответственно &101.

В двоичной системе счисления (как и в других системах счисления, кроме десятичной) знаки читаются по одному. Например, число 1012 произносится «один ноль один».

Натуральные числа

Натуральное число, записываемое в двоичной системе счисления как (an−1an−2…a1a0)2{\displaystyle (a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{2}}, имеет значение:

(an−1an−2…a1a0)2=∑k=0n−1ak2k,{\displaystyle (a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{2}=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}2^{k},}

где:

  • n{\displaystyle n} — количество цифр (знаков) в числе,
  • ak{\displaystyle a_{k}} — цифры из множества {0,1},
  • k{\displaystyle k} — порядковый номер цифры.

Отрицательные числа

Отрицательные двоичные числа обозначаются так же как и десятичные: знаком «−» перед числом. А именно, отрицательное целое число, записываемое в двоичной системе счисления (−an−1an−2…a1a0)2{\displaystyle (-a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{2}}, имеет величину:

(−

Предложения со словосочетанием ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Так вот, за счёт того, что почти четверть одной из палуб подвижной крепости заполняла, помешанная на двоичной системе счисления, машина, бортовая разведка успевала дешифровать основные коды противника с запаздыванием всего лишь сутки.

Неточные совпадения

Да, было время, когда учёные разных стран ломали голову над новой системой счисления дней, месяцев и лет, от души желая сделать её и простой, и универсальной. Такой IP-адрес можно записать с помощью нескольких чисел в десятичной системе счисления — например, 192. 168. 35. 101 или 10. 10. 101. 123. Поэтому я не стану дальше вдаваться в подробности систем счисления и фундаментальных для IP стандартов RFC, а плавно перейду к связи чисел и имён. Он стоит точно в середине системы счисления, уравновешенный между позитивным и негативным. В настоящее время существует много разных систем счисления времени. Знание основ десятичной системы счисления должно помочь учащимся овладеть счётом различными разрядными единицами. Усвоение десятичных дробей зависит от знания учащимися основ десятичной системы счисления и соотношений единиц стоимости, длины, массы. Мы уже говорили, что италийцы знали десятичную систему счисления ещё до разделения с греками. Число, которое может быть представлено конечным или бесконечным количеством цифр в системе счисления с фиксированным основанием. Самое популярное из используемых ныне оснований систем счисления — это числа от 1 до 10. Отражение пятеричного основания системы счисления до сих пор можно видеть в некоторых языках, где «пять» обозначается словом «рука» 2. Основания систем счисления раскрывают фундаментальные аспекты человеческой психологии, то есть общепринятую реальность данной группы. Числовые основания связаны с нашими телами и культурами, так как конкретный размер основания системы счисления определяется культурой. Сделаем здесь небольшое отступление и рассмотрим используемые в информационных технологиях системы счисления. В компьютерной литературе широко используется двоичная и шестнадцатеричная системы счисления. Для удобства запоминания связи между разными системами счисления рассмотрите табл. Обозначают, в какой системе счисления записано число, несколькими способами. ENIAC использовал десятичную систему счисления, но не сохранял программы, и не использовал условные переходы. Календарь основан на 16-тиричной системе счисления, в котором ещё прослеживается наибольшее простое число 9. Заметная любовь всех людей к пятёркам и десяткам находится, без сомнения, в прямой связи с десятичным основанием нашей системы счисления, т. Под системой счисления подразумевается набор правил наименования и записи чисел. Различают позиционные и непозиционные системы счисления. Система счисления называется позиционной, если значение цифры числа зависит от местоположения цифры в числе. В некоторых традициях существует (или существовала в древности) семеричная система счисления. Есть определённое мерило, чтобы решить, какой плуг лучше для обработки земли, какая система счисления удобнее, даже какая форма правления предпочтительнее. Система счисления была десятеричной. Так, девятка, лежащая в основе древнеегипетской системы счисления, была числом девяти богов в космологии египтян. Вся система счисления у авринов связана с числом 12: это объясняется тем, что именно двенадцати кратно количество пальцев на руках у большинства авринов. Это пятиричная система счисления, основанная на символах, которые можно показать пальцами рук.

Двоичная система счисления - это... Что такое Двоичная система счисления?

Системы счисления в культуре
Индо-арабская система счисления
Арабская
Индийские
Тамильская
Бирманская
Кхмерская
Лаоская
Монгольская
Тайская
Восточноазиатские системы счисления
Китайская
Японская
Сучжоу
Корейская
Вьетнамская
Счётные палочки
Алфавитные системы счисления
Абджадия
Армянская
Ариабхата
Кириллическая
Греческая
Эфиопская
Еврейская
Катапаяди
Другие системы
Вавилонская
Египетская
Этрусская
Римская
Аттическая
Кипу
Майская
Позиционные системы счисления
Десятичная система счисления (10)
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 16, 20, 60
Нега-позиционная система счисления
Симметричная система счисления
Смешанные системы счисления
Фибоначчиева система счисления
Непозиционные системы счисления
Единичная (унарная) система счисления
Список систем счисления

Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2.

Двоичные цифры

В этой системе счисления числа записываются с помощью двух символов (0 и 1).

История

  • В 1605 году Френсис Бэкон описал систему, буквы алфавита которой могут быть сведены к последовательностям двоичных цифр, которые в свою очередь могут быть закодированы как едва заметные изменения шрифта в любых случайных текстах. Важным шагом в становлении общей теории двоичного кодирования является замечание о том, что указанный метод может быть использован применительно к любым объектам.[7] (См. Шифр Бэкона)
  • Современная двоичная система была полностью описана Лейбницем в XVII веке в работе Explication de l’Arithmétique Binaire[8]. В системе счисления Лейбница были использованы цифры 0 и 1, как и в современной двоичной системе. Как человек, увлекающийся китайской культурой, Лейбниц знал о книге Перемен и заметил, что гексаграммы соответствуют двоичным числам от 0 до 111111. Он восхищался тем, что это отображение является свидетельством крупных китайских достижений в философской математике того времени.[9]
  • В 1937 году Клод Шеннон представил к защите кандидатскую диссертацию Символический анализ релейных и переключательных схем в MIT, в которой булева алгебра и двоичная арифметика были использованы применительно к электронным реле и переключателям. На диссертации Шеннона по существу основана вся современная цифровая техника.
  • В ноябре 1937 года Джордж Штибиц, впоследствии работавший в Bell Labs, создал на базе реле компьютер «Model K» (от англ. «Kitchen», кухня, где производилась сборка), который выполнял двоичное сложение. В конце 1938 года Bell Labs развернула исследовательскую программу во главе со Штибицом. Созданный под его руководством компьютер, завершённый 8 января 1940 года, умел выполнять операции с комплексными числами. Во время демонстрации на конференции American Mathematical Society в Дартмутском колледже 11 сентября 1940 года Штибиц продемонстрировал возможность посылки команд удалённому калькулятору комплексных чисел по телефонной линии с использованием телетайпа. Это была первая попытка использования удалённой вычислительной машины посредством телефонной линии. Среди участников конференции, бывших свидетелями демонстрации, были Джон фон Нейман, Джон Мокли и Норберт Винер, впоследствии писавшие об этом в своих мемуарах.

Запись двоичных чисел

Двоичная система счисления является комбинацией двоичной системы кодирования и показательной весовой функции с основанием равным 2. Положительные целые числа (без знака) записываются в виде:

где:

  •  — представляемое число, первый индекс — основание системы кодирования (размерность множества цифр a={0,1}), второй индекс — основание весовой показательной функции b (в двоично-десятичном кодировании b=10),
  •  — запись числа, строка цифровых знаков,
  •  — обозначение основания системы кодирования и основания системы счисления,
  •  — количество цифр (знаков) в числе x2,2,
  •  — порядковый номер цифры,
  •  — цифры числа x2,2 из множества a={0,1}, в двоичной системе счисления основание системы кодирования равно 2,
  •  — основание показательной весовой функции, основание системы счисления,
  •  — весовая показательная функция, создающая весовые коэффициенты.

Количество записываемых кодов (чисел) зависит от основания системы кодирования — c, определяется в комбинаторике и равно числу размещений с повторениями:

где:

Количество записываемых кодов (чисел) от основания показательной функции — b не зависит.
Основание показательной функции — b определяет диапазон представляемых числами x2,b величин и разреженность представляемых чисел на числовой оси.

Целые числа являются частными суммами степенного ряда:

в котором коэффициенты an берутся из множества R=a{0,1}, X=2, n=k, а верхний предел в частных суммах ограничен с до — n-1.

Целые числа со знаком записываются в виде:

где:

  •  — знак числа из множества z={+,-}, у положительных целых чисел знак зачастую опускается.

Дробные числа записываются в виде:

где:

  •  — число цифр дробной части числа,
  •  — весовые коэффициенты из множества ,
  • основание системы кодирования равно 2,
  •  — основание показательной весовой функции, основание системы счисления.

Следует отметить, что число может быть записано в двоичном коде, а система счисления при этом может быть не двоичной, а с другим основанием. Пример: двоично-десятичное кодирование, в котором десятичные цифры записываются в двоичном виде, а система счисления — десятичная.

Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел

Таблица сложения


Пример сложения «столбиком» (14 + 5 = 19):

1
+ 1 1 1 0
1 0 1
1 0 0 1 1


Таблица вычитания

- 0 1
0 0 1
1 (заём из старшего разряда) 1 0


Таблица умножения


Пример умножения «столбиком» (14 × 5 = 70):

× 1 1 1 0
1 0 1
+ 1 1 1 0
1 1 1 0
1 0 0 0 1 1 0

Преобразование чисел

Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая стоит после 1, называется двоичной точкой.

Преобразование двоичных чисел в десятичные

Допустим, вам дано двоичное число 110001. Для перевода в десятичное просто запишите его справа налево как сумму по разрядам следующим образом:

.

Можно записать это в виде таблицы следующим образом:

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 0 0 0 1
+32 +16 +1

Точно так же, начиная с двоичной точки, двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа.
Таким образом, двоичное число 110001 равнозначно десятичному 49.

Преобразование методом Горнера

Для того, чтобы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2). Например, двоичное число 1011011 переводится в десятичную систему так: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+0=22 >> 22*2+1=45 >> 45*2+1=91 То есть в десятичной системе это число будет записано как 91. Или число 101111 переводится в десятичную систему так: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+1=23 >> 23*2+1=47 То есть в десятичной системе это число будет записано как 47. Перевод дробных чисел методом Горнера 1) 0,11012=0,X10 (рассматриваем цифры в обратном порядке)
1:2=0,5
0,5+0=0,5
0,5:2=0,25
0,25+1=1,25
1,25:2=0,625
0,625+1=1,625
1,625:2=0,8125
Ответ: 0,11012= 0,812510
2) 0,3568=0,X10 (рассматриваем цифры в обратном порядке)
6:8=0,75
0,75+5=5,75
5,75:8=0,71875
0,71875+3=3,71875
3,71875:8=0,46484375
Ответ: 0,3568=0,4648437510
3) 0,A6E16=0,X10 (рассматриваем цифры в обратном порядке)
14:16=0,875
0,875+6=6,875
6,875:16=0,4296875
0,4296875+10=10,4296875
10,4296875:16=0,65185546875
Ответ: 0,A6E16=0,6518554687510

Преобразование десятичных чисел в двоичные

Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой :

19 /2 = 9  с остатком 1
9  /2 = 4  c остатком 1
4  /2 = 2  без остатка 0
2  /2 = 1  без остатка 0
1  /2 = 0  с остатком 1

Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в конец двоичной записи. Продолжаем деление до тех пор, пока в частном не будет 0. Результат записываем справа налево. То есть нижнее число будет самым левым и.т.д. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011.

Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные

Нужно перевести число 1011010,101 в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:

Или по таблице:

64 32 16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125
1 0 1 1 0 1 0. .1 0 1
+64 +16 +8 +2 +0.5 +0.125

Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные

Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:

  • Вначале переводится целая часть десятичной дроби в двоичную систему счисления;
  • Затем дробная часть десятичной дроби умножается на основание двоичной системы счисления;
  • В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве значения первого после запятой разряда числа в двоичной системе счисления;
  • Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются с предыдущего шага.

Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.

Перевод целой части дает 20610=110011102 по ранее описанным алгоритмам; дробную часть умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:
0,116 • 2 = 0,232
0,232 • 2 = 0,464
0,464 • 2 = 0,928
0,928 • 2 = 1,856
0,856 • 2 = 1,712
0,712 • 2 = 1,424
0,424 • 2 = 0,848
0,848 • 2 = 1,696
0,696 • 2 = 1,392
0,392 • 2 = 0,784
и т. д.
Получим: 206,11610=11001110,00011101102

Применения

В цифровых устройствах

Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:

  • Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. В частности, две цифры двоичной системы счисления могут быть легко представлены многими физическими явлениями: есть ток (ток больше пороговой величины) — нет тока (ток меньше пороговой величины), индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет (индукция магнитного поля меньше пороговой величины) и т. д.
  • Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Например, чтобы закодировать три состояния через величину напряжения, тока или индукции магнитного поля, потребуется ввести два пороговых значения и два компаратора, что не будет способствовать помехоустойчивости и надёжности хранения информации.[источник не указан 770 дней]
  • Двоичная арифметика является довольно простой. Простыми являются таблицы сложения и умножения — основных действий над числами.

В цифровой электронике одному двоичному разряду в двоичной системе счисления соответствует (очевидно) один двоичный разряд двоичного регистра, то есть двоичный триггер с двумя состояниями (0,1).

В английской системе мер

При указании линейных размеров в дюймах по традиции используют двоичные дроби, а не десятичные, например: 5¾″, 715/16″, 311/32″ и т. д.

Интересные факты

См. также

Примеры чисел-степеней двойки

Степень Значение
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16
5 32
6 64
7 128
8 256
9 512
10 1024
11 2048
12 4096
13 8192
14 16384
15 32768
16 65536
17 131072
18 262144
19 524288
20 1048576
21 2097152
22 4194304
23 8388608
24 16777216
25 33554432
26 67108864
27 134217728
28 268435456
29 536870912
30 1073741824
31 2147483648
32 4294967296
33 8589934592
34 17179869184
35 34359738368
36 68719476736
37 137438953472
38 274877906944
39 549755813888
40 1099511627776
41 2199023255552
42 4398046511104
43 8796093022208
44 17592186044416
45 35184372088832
46 70368744177664
47 140737488355328
48 281474976710656
49 562949953421312
50 1125899906842624
51 2251799813685248

Примечания

  1. Sanchez, Julio & Canton, Maria P. (2007), «Microcontroller programming: the microchip PIC», Boca Raton, Florida: CRC Press, с. 37, ISBN 0-8493-7189-9 
  2. W. S. Anglin and J. Lambek, The Heritage of Thales, Springer, 1995, ISBN 0-387-94544-X
  3. Ordish George, Hyams, Edward. The last of the Incas: the rise and fall of an American empire. — New York: Barnes & Noble, 1996. — С. 80. — ISBN 0-88029-595-3
  4. Experts 'decipher' Inca strings. Архивировано из первоисточника 18 августа 2011.
  5. Carlos Radicati di Primeglio, Gary Urton Estudios sobre los quipus. — P. 49.
  6. Dale Buckmaster (1974). «The Incan Quipu and the Jacobsen Hypothesis». Journal of Accounting Research 12 (1): 178-181. Проверено 2009-12-24.
  7. Bacon, Francis, «The Advancement of Learning», vol. 6, London, сс. Chapter 1, <http://home.hiwaay.net/~paul/bacon/advancement/book6ch2.html> 
  8. http://www.leibniz-translations.com/binary.htm Leibniz Translation.com EXPLANATION OF BINARY ARITHMETIC
  9. Aiton, Eric J. (1985), «Leibniz: A Biography», Taylor & Francis, сс. 245–8, ISBN 0-85274-470-6 

Ссылки

Двоичная система счисления - это... Что такое Двоичная система счисления?

Системы счисления в культуре
Индо-арабская система счисления
Арабская
Индийские
Тамильская
Бирманская
Кхмерская
Лаоская
Монгольская
Тайская
Восточноазиатские системы счисления
Китайская
Японская
Сучжоу
Корейская
Вьетнамская
Счётные палочки
Алфавитные системы счисления
Абджадия
Армянская
Ариабхата
Кириллическая
Греческая
Эфиопская
Еврейская
Катапаяди
Другие системы
Вавилонская
Египетская
Этрусская
Римская
Аттическая
Кипу
Майская
Позиционные системы счисления
Десятичная система счисления (10)
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 16, 20, 60
Нега-позиционная система счисления
Симметричная система счисления
Смешанные системы счисления
Фибоначчиева система счисления
Непозиционные системы счисления
Единичная (унарная) система счисления
Список систем счисления

Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2.

Двоичные цифры

В этой системе счисления числа записываются с помощью двух символов (0 и 1).

История

  • В 1605 году Френсис Бэкон описал систему, буквы алфавита которой могут быть сведены к последовательностям двоичных цифр, которые в свою очередь могут быть закодированы как едва заметные изменения шрифта в любых случайных текстах. Важным шагом в становлении общей теории двоичного кодирования является замечание о том, что указанный метод может быть использован применительно к любым объектам.[7] (См. Шифр Бэкона)
  • Современная двоичная система была полностью описана Лейбницем в XVII веке в работе Explication de l’Arithmétique Binaire[8]. В системе счисления Лейбница были использованы цифры 0 и 1, как и в современной двоичной системе. Как человек, увлекающийся китайской культурой, Лейбниц знал о книге Перемен и заметил, что гексаграммы соответствуют двоичным числам от 0 до 111111. Он восхищался тем, что это отображение является свидетельством крупных китайских достижений в философской математике того времени.[9]
  • В 1937 году Клод Шеннон представил к защите кандидатскую диссертацию Символический анализ релейных и переключательных схем в MIT, в которой булева алгебра и двоичная арифметика были использованы применительно к электронным реле и переключателям. На диссертации Шеннона по существу основана вся современная цифровая техника.
  • В ноябре 1937 года Джордж Штибиц, впоследствии работавший в Bell Labs, создал на базе реле компьютер «Model K» (от англ. «Kitchen», кухня, где производилась сборка), который выполнял двоичное сложение. В конце 1938 года Bell Labs развернула исследовательскую программу во главе со Штибицом. Созданный под его руководством компьютер, завершённый 8 января 1940 года, умел выполнять операции с комплексными числами. Во время демонстрации на конференции American Mathematical Society в Дартмутском колледже 11 сентября 1940 года Штибиц продемонстрировал возможность посылки команд удалённому калькулятору комплексных чисел по телефонной линии с использованием телетайпа. Это была первая попытка использования удалённой вычислительной машины посредством телефонной линии. Среди участников конференции, бывших свидетелями демонстрации, были Джон фон Нейман, Джон Мокли и Норберт Винер, впоследствии писавшие об этом в своих мемуарах.

Запись двоичных чисел

Двоичная система счисления является комбинацией двоичной системы кодирования и показательной весовой функции с основанием равным 2. Положительные целые числа (без знака) записываются в виде:

где:

  •  — представляемое число, первый индекс — основание системы кодирования (размерность множества цифр a={0,1}), второй индекс — основание весовой показательной функции b (в двоично-десятичном кодировании b=10),
  •  — запись числа, строка цифровых знаков,
  •  — обозначение основания системы кодирования и основания системы счисления,
  •  — количество цифр (знаков) в числе x2,2,
  •  — порядковый номер цифры,
  •  — цифры числа x2,2 из множества a={0,1}, в двоичной системе счисления основание системы кодирования равно 2,
  •  — основание показательной весовой функции, основание системы счисления,
  •  — весовая показательная функция, создающая весовые коэффициенты.

Количество записываемых кодов (чисел) зависит от основания системы кодирования — c, определяется в комбинаторике и равно числу размещений с повторениями:

где:

Количество записываемых кодов (чисел) от основания показательной функции — b не зависит.
Основание показательной функции — b определяет диапазон представляемых числами x2,b величин и разреженность представляемых чисел на числовой оси.

Целые числа являются частными суммами степенного ряда:

в котором коэффициенты an берутся из множества R=a{0,1}, X=2, n=k, а верхний предел в частных суммах ограничен с до — n-1.

Целые числа со знаком записываются в виде:

где:

  •  — знак числа из множества z={+,-}, у положительных целых чисел знак зачастую опускается.

Дробные числа записываются в виде:

где:

  •  — число цифр дробной части числа,
  •  — весовые коэффициенты из множества ,
  • основание системы кодирования равно 2,
  •  — основание показательной весовой функции, основание системы счисления.

Следует отметить, что число может быть записано в двоичном коде, а система счисления при этом может быть не двоичной, а с другим основанием. Пример: двоично-десятичное кодирование, в котором десятичные цифры записываются в двоичном виде, а система счисления — десятичная.

Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел

Таблица сложения


Пример сложения «столбиком» (14 + 5 = 19):

1
+ 1 1 1 0
1 0 1
1 0 0 1 1


Таблица вычитания

- 0 1
0 0 1
1 (заём из старшего разряда) 1 0


Таблица умножения


Пример умножения «столбиком» (14 × 5 = 70):

× 1 1 1 0
1 0 1
+ 1 1 1 0
1 1 1 0
1 0 0 0 1 1 0

Преобразование чисел

Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая стоит после 1, называется двоичной точкой.

Преобразование двоичных чисел в десятичные

Допустим, вам дано двоичное число 110001. Для перевода в десятичное просто запишите его справа налево как сумму по разрядам следующим образом:

.

Можно записать это в виде таблицы следующим образом:

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 0 0 0 1
+32 +16 +1

Точно так же, начиная с двоичной точки, двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа.
Таким образом, двоичное число 110001 равнозначно десятичному 49.

Преобразование методом Горнера

Для того, чтобы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2). Например, двоичное число 1011011 переводится в десятичную систему так: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+0=22 >> 22*2+1=45 >> 45*2+1=91 То есть в десятичной системе это число будет записано как 91. Или число 101111 переводится в десятичную систему так: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+1=23 >> 23*2+1=47 То есть в десятичной системе это число будет записано как 47. Перевод дробных чисел методом Горнера 1) 0,11012=0,X10 (рассматриваем цифры в обратном порядке)
1:2=0,5
0,5+0=0,5
0,5:2=0,25
0,25+1=1,25
1,25:2=0,625
0,625+1=1,625
1,625:2=0,8125
Ответ: 0,11012= 0,812510
2) 0,3568=0,X10 (рассматриваем цифры в обратном порядке)
6:8=0,75
0,75+5=5,75
5,75:8=0,71875
0,71875+3=3,71875
3,71875:8=0,46484375
Ответ: 0,3568=0,4648437510
3) 0,A6E16=0,X10 (рассматриваем цифры в обратном порядке)
14:16=0,875
0,875+6=6,875
6,875:16=0,4296875
0,4296875+10=10,4296875
10,4296875:16=0,65185546875
Ответ: 0,A6E16=0,6518554687510

Преобразование десятичных чисел в двоичные

Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой :

19 /2 = 9  с остатком 1
9  /2 = 4  c остатком 1
4  /2 = 2  без остатка 0
2  /2 = 1  без остатка 0
1  /2 = 0  с остатком 1

Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в конец двоичной записи. Продолжаем деление до тех пор, пока в частном не будет 0. Результат записываем справа налево. То есть нижнее число будет самым левым и.т.д. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011.

Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные

Нужно перевести число 1011010,101 в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:

Или по таблице:

64 32 16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125
1 0 1 1 0 1 0. .1 0 1
+64 +16 +8 +2 +0.5 +0.125

Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные

Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:

  • Вначале переводится целая часть десятичной дроби в двоичную систему счисления;
  • Затем дробная часть десятичной дроби умножается на основание двоичной системы счисления;
  • В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве значения первого после запятой разряда числа в двоичной системе счисления;
  • Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются с предыдущего шага.

Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.

Перевод целой части дает 20610=110011102 по ранее описанным алгоритмам; дробную часть умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:
0,116 • 2 = 0,232
0,232 • 2 = 0,464
0,464 • 2 = 0,928
0,928 • 2 = 1,856
0,856 • 2 = 1,712
0,712 • 2 = 1,424
0,424 • 2 = 0,848
0,848 • 2 = 1,696
0,696 • 2 = 1,392
0,392 • 2 = 0,784
и т. д.
Получим: 206,11610=11001110,00011101102

Применения

В цифровых устройствах

Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:

  • Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. В частности, две цифры двоичной системы счисления могут быть легко представлены многими физическими явлениями: есть ток (ток больше пороговой величины) — нет тока (ток меньше пороговой величины), индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет (индукция магнитного поля меньше пороговой величины) и т. д.
  • Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Например, чтобы закодировать три состояния через величину напряжения, тока или индукции магнитного поля, потребуется ввести два пороговых значения и два компаратора, что не будет способствовать помехоустойчивости и надёжности хранения информации.[источник не указан 770 дней]
  • Двоичная арифметика является довольно простой. Простыми являются таблицы сложения и умножения — основных действий над числами.

В цифровой электронике одному двоичному разряду в двоичной системе счисления соответствует (очевидно) один двоичный разряд двоичного регистра, то есть двоичный триггер с двумя состояниями (0,1).

В английской системе мер

При указании линейных размеров в дюймах по традиции используют двоичные дроби, а не десятичные, например: 5¾″, 715/16″, 311/32″ и т. д.

Интересные факты

См. также

Примеры чисел-степеней двойки

Степень Значение
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16
5 32
6 64
7 128
8 256
9 512
10 1024
11 2048
12 4096
13 8192
14 16384
15 32768
16 65536
17 131072
18 262144
19 524288
20 1048576
21 2097152
22 4194304
23 8388608
24 16777216
25 33554432
26 67108864
27 134217728
28 268435456
29 536870912
30 1073741824
31 2147483648
32 4294967296
33 8589934592
34 17179869184
35 34359738368
36 68719476736
37 137438953472
38 274877906944
39 549755813888
40 1099511627776
41 2199023255552
42 4398046511104
43 8796093022208
44 17592186044416
45 35184372088832
46 70368744177664
47 140737488355328
48 281474976710656
49 562949953421312
50 1125899906842624
51 2251799813685248

Примечания

  1. Sanchez, Julio & Canton, Maria P. (2007), «Microcontroller programming: the microchip PIC», Boca Raton, Florida: CRC Press, с. 37, ISBN 0-8493-7189-9 
  2. W. S. Anglin and J. Lambek, The Heritage of Thales, Springer, 1995, ISBN 0-387-94544-X
  3. Ordish George, Hyams, Edward. The last of the Incas: the rise and fall of an American empire. — New York: Barnes & Noble, 1996. — С. 80. — ISBN 0-88029-595-3
  4. Experts 'decipher' Inca strings. Архивировано из первоисточника 18 августа 2011.
  5. Carlos Radicati di Primeglio, Gary Urton Estudios sobre los quipus. — P. 49.
  6. Dale Buckmaster (1974). «The Incan Quipu and the Jacobsen Hypothesis». Journal of Accounting Research 12 (1): 178-181. Проверено 2009-12-24.
  7. Bacon, Francis, «The Advancement of Learning», vol. 6, London, сс. Chapter 1, <http://home.hiwaay.net/~paul/bacon/advancement/book6ch2.html> 
  8. http://www.leibniz-translations.com/binary.htm Leibniz Translation.com EXPLANATION OF BINARY ARITHMETIC
  9. Aiton, Eric J. (1985), «Leibniz: A Biography», Taylor & Francis, сс. 245–8, ISBN 0-85274-470-6 

Ссылки

Двоично-десятичная система счисления

Понятие смешанной системы счисления

Среди систем счисления выделяют класс так называемых смешанных систем счисления.

Определение 1

Смешанной называется такая система счисления, в которой числа, заданные в некоторой системе счисления с основанием $P$ изображаются с помощью цифр другой системы счисления с основанием $Q$, где $Q

При этом в такой системе счисления во избежание разночтения для изображения каждой цифры системы с основанием $P$ отводится одинаковое количество разрядов системы с основанием $Q$, достаточное для представления любой цифры системы с основанием $P$.

Примером смешанной системы счисления является двоично-десятичная система.

Практическое обоснование использования двоично-десятичной системы счисления

Поскольку человек в своей практике широко использует десятичную систему счисления, а для компьютера свойственно оперирование двоичными числами и двоичной арифметикой, был введен в практику компромиссный вариант - система двоично-десятичной записи чисел, которая, как правило, используется там, где присутствует необходимость частого использования процедуры десятичного ввода-вывода (например, электронные часы, калькуляторы и т.д.). В подобных устройствах не всегда целесообразно применять универсальный микрокод перевода двоичных чисел в десятичные и обратно по причине малого объема программной памяти.

Замечание 1

В некоторых типах ЭВМ в арифметико-логических устройствах (АЛУ) имеются специальные блоки десятичной арифметики, которые выполняют операции над числами, представленными в двоично-десятичном коде. Это позволяет в некоторых случаях существенно повысить производительность ЭВМ.

К примеру, в автоматизированной системе обработки данных используется большое количество чисел, а вычислений при этом немного. В подобном случае операции перевода чисел из одной системы в другую существенно превысили бы время выполнения операций по обработке информации. Микропроцессоры же используют чистые двоичные числа, однако при этом понимают и команды преобразования в двоично-десятичную запись. АЛУ AVR-микроконтроллера (как и других микропроцессоров) выполняет элементарные арифметические и логические операции над числами, представленными в двоичном коде, а именно:

  • считывает результаты преобразования АЦП;

  • в формате целых чисел или чисел с плавающей точкой выполняет обработку результатов измерения.

Однако окончательный результат при этом выводится на индикатор в десятичном формате, удобном для восприятия человеком.

Принципы построения двоично-десятичной системы счисления

При построении двоично-десятичной системы счисления для изображения каждой десятичной цифры в ней отводится $4$ двоичных разряда, поскольку максимальная десятичная цифра $9$ кодируется как $10012$.

Например: $925_{10} = 1001 0010 0101_{2-10}$.

Рисунок 1.

В данной записи последовательные четверки двоичных разрядов изображают цифры $9$, $2$ и $5$ десятичной записи соответственно.

Для записи числа в двоично-десятичной системе счисления его необходимо сначала представить в десятичной системе, а затем каждую, входящую в состав числа, десятичную цифру представить в двоичной системе. При этом для написания различных десятичных цифр в двоичной системе счисления требуется разное количество двоичных разрядов. Чтобы обойтись без применения каких-либо разделительных знаков, при двоичном изображении десятичной цифры всегда записывается 4 двоичных разряда. Группа из этих четырех разрядов называется тетрадой.

Хотя в двоично-десятичной записи используются только цифры $0$ и $1$, она отличается от двоичного изображения данного числа, так как десятичный эквивалент двоичного числа в несколько раз больше десятичного эквивалента двоично-десятичного числа.

Например:

$1001 0010 0101_{(2)} = 2341_{(10)}$,

$1001 0010 0101_{(2)} = 925_{(2-10)}$.

Такая запись довольно часто используется как промежуточный этап при переводе числа из десятичной системы в двоичную и обратно. Так как число $10$ не является точной степенью числа $2$, то используются не все $16$ тетрад (тетрады, изображающие числа от $A$ до $F$ отбрасываются, так как эти числа считаются запрещенными), алгоритмы же арифметических операций над многозначными числами в этом случае более сложные, чем в основных системах счисления. И, тем не менее, двоично-десятичная система счисления используется даже на этом уровне во многих микрокалькуляторах и некоторых компьютерах.

Чтобы откорректировать результаты арифметических операций над числами, представленными в двоично-десятичном коде, в микропроцессорной технике используются команды, которые преобразуют результаты операций в двоично-десятичную систему счисления. При этом используется следующее правило: при получении в результате операции (сложения или вычитания) в тетраде числа, большего, чем $9$, к этой тетраде прибавляют число $6$.

Например: $75+18=93$.

$+00011000$

$10001101 \ (8D)$

В младшей тетраде появилась запрещенная цифра $D$. Прибавим к младшей тетраде $6$ и получим:

$+00000110$

$10010011 \ (93)$

Как видим, несмотря на то, что сложение осуществлялось в двоичной системе счисления результат операции получился в двоично-десятичной.

Замечание 2

Поразрядное уравновешивание часто осуществляют на основе двоично-десятичной системы счисления. Применение двоичной и двоично-десятичной системы счисления наиболее целесообразно, поскольку в этом случае число тактов уравновешивания оказывается наименьшим среди прочих систем счисления. Заметим, что применение двоичного кода позволяет примерно на $20\%$ уменьшить время обработки компенсирующего напряжения по сравнению с двоично-десятичным.

Преимущества использования двоично-десятичной системы счисления

Преобразование чисел из десятичной системы в двоично-десятичную систему счисления не связано с вычислениями и его легко реализовать, используя при этом простейшие электронные схемы, так как преобразовывается небольшое количество (4) двоичных цифр. Обратное же преобразование происходит в ЭВМ автоматически с помощью особой программы перевода.

Применение двоично-десятичной системы счисления совместно с одной из основных систем счисления (двоичной) позволяет разрабатывать и создавать высокопроизводительные ЭВМ, так как использование блока десятичной арифметики в АЛУ исключает при решении задач необходимость программированного перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Поскольку две двоично-десятичные цифры составляют $1$ байт, с помощью которого можно представить значения чисел от $0$ до $99$, а не от $0$ до $255$, как при использовании $8$-разрядного двоичного числа, то используя $1$ байт для преставления каждых двух десятичных цифр, можно формировать двоично-десятичные числа с любым требуемым числом десятичных разрядов.

Двоичная система счисления - это... Что такое Двоичная система счисления?

Системы счисления в культуре
Индо-арабская система счисления
Арабская
Индийские
Тамильская
Бирманская
Кхмерская
Лаоская
Монгольская
Тайская
Восточноазиатские системы счисления
Китайская
Японская
Сучжоу
Корейская
Вьетнамская
Счётные палочки
Алфавитные системы счисления
Абджадия
Армянская
Ариабхата
Кириллическая
Греческая
Эфиопская
Еврейская
Катапаяди
Другие системы
Вавилонская
Египетская
Этрусская
Римская
Аттическая
Кипу
Майская
Позиционные системы счисления
Десятичная система счисления (10)
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 16, 20, 60
Нега-позиционная система счисления
Симметричная система счисления
Смешанные системы счисления
Фибоначчиева система счисления
Непозиционные системы счисления
Единичная (унарная) система счисления
Список систем счисления

Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2.

Двоичные цифры

В этой системе счисления числа записываются с помощью двух символов (0 и 1).

История

  • В 1605 году Френсис Бэкон описал систему, буквы алфавита которой могут быть сведены к последовательностям двоичных цифр, которые в свою очередь могут быть закодированы как едва заметные изменения шрифта в любых случайных текстах. Важным шагом в становлении общей теории двоичного кодирования является замечание о том, что указанный метод может быть использован применительно к любым объектам.[7] (См. Шифр Бэкона)
  • Современная двоичная система была полностью описана Лейбницем в XVII веке в работе Explication de l’Arithmétique Binaire[8]. В системе счисления Лейбница были использованы цифры 0 и 1, как и в современной двоичной системе. Как человек, увлекающийся китайской культурой, Лейбниц знал о книге Перемен и заметил, что гексаграммы соответствуют двоичным числам от 0 до 111111. Он восхищался тем, что это отображение является свидетельством крупных китайских достижений в философской математике того времени.[9]
  • В 1937 году Клод Шеннон представил к защите кандидатскую диссертацию Символический анализ релейных и переключательных схем в MIT, в которой булева алгебра и двоичная арифметика были использованы применительно к электронным реле и переключателям. На диссертации Шеннона по существу основана вся современная цифровая техника.
  • В ноябре 1937 года Джордж Штибиц, впоследствии работавший в Bell Labs, создал на базе реле компьютер «Model K» (от англ. «Kitchen», кухня, где производилась сборка), который выполнял двоичное сложение. В конце 1938 года Bell Labs развернула исследовательскую программу во главе со Штибицом. Созданный под его руководством компьютер, завершённый 8 января 1940 года, умел выполнять операции с комплексными числами. Во время демонстрации на конференции American Mathematical Society в Дартмутском колледже 11 сентября 1940 года Штибиц продемонстрировал возможность посылки команд удалённому калькулятору комплексных чисел по телефонной линии с использованием телетайпа. Это была первая попытка использования удалённой вычислительной машины посредством телефонной линии. Среди участников конференции, бывших свидетелями демонстрации, были Джон фон Нейман, Джон Мокли и Норберт Винер, впоследствии писавшие об этом в своих мемуарах.

Запись двоичных чисел

Двоичная система счисления является комбинацией двоичной системы кодирования и показательной весовой функции с основанием равным 2. Положительные целые числа (без знака) записываются в виде:

где:

  •  — представляемое число, первый индекс — основание системы кодирования (размерность множества цифр a={0,1}), второй индекс — основание весовой показательной функции b (в двоично-десятичном кодировании b=10),
  •  — запись числа, строка цифровых знаков,
  •  — обозначение основания системы кодирования и основания системы счисления,
  •  — количество цифр (знаков) в числе x2,2,
  •  — порядковый номер цифры,
  •  — цифры числа x2,2 из множества a={0,1}, в двоичной системе счисления основание системы кодирования равно 2,
  •  — основание показательной весовой функции, основание системы счисления,
  •  — весовая показательная функция, создающая весовые коэффициенты.

Количество записываемых кодов (чисел) зависит от основания системы кодирования — c, определяется в комбинаторике и равно числу размещений с повторениями:

где:

Количество записываемых кодов (чисел) от основания показательной функции — b не зависит.
Основание показательной функции — b определяет диапазон представляемых числами x2,b величин и разреженность представляемых чисел на числовой оси.

Целые числа являются частными суммами степенного ряда:

в котором коэффициенты an берутся из множества R=a{0,1}, X=2, n=k, а верхний предел в частных суммах ограничен с до — n-1.

Целые числа со знаком записываются в виде:

где:

  •  — знак числа из множества z={+,-}, у положительных целых чисел знак зачастую опускается.

Дробные числа записываются в виде:

где:

  •  — число цифр дробной части числа,
  •  — весовые коэффициенты из множества ,
  • основание системы кодирования равно 2,
  •  — основание показательной весовой функции, основание системы счисления.

Следует отметить, что число может быть записано в двоичном коде, а система счисления при этом может быть не двоичной, а с другим основанием. Пример: двоично-десятичное кодирование, в котором десятичные цифры записываются в двоичном виде, а система счисления — десятичная.

Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел

Таблица сложения


Пример сложения «столбиком» (14 + 5 = 19):

1
+ 1 1 1 0
1 0 1
1 0 0 1 1


Таблица вычитания

- 0 1
0 0 1
1 (заём из старшего разряда) 1 0


Таблица умножения


Пример умножения «столбиком» (14 × 5 = 70):

× 1 1 1 0
1 0 1
+ 1 1 1 0
1 1 1 0
1 0 0 0 1 1 0

Преобразование чисел

Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая стоит после 1, называется двоичной точкой.

Преобразование двоичных чисел в десятичные

Допустим, вам дано двоичное число 110001. Для перевода в десятичное просто запишите его справа налево как сумму по разрядам следующим образом:

.

Можно записать это в виде таблицы следующим образом:

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 0 0 0 1
+32 +16 +1

Точно так же, начиная с двоичной точки, двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа.
Таким образом, двоичное число 110001 равнозначно десятичному 49.

Преобразование методом Горнера

Для того, чтобы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2). Например, двоичное число 1011011 переводится в десятичную систему так: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+0=22 >> 22*2+1=45 >> 45*2+1=91 То есть в десятичной системе это число будет записано как 91. Или число 101111 переводится в десятичную систему так: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+1=23 >> 23*2+1=47 То есть в десятичной системе это число будет записано как 47. Перевод дробных чисел методом Горнера 1) 0,11012=0,X10 (рассматриваем цифры в обратном порядке)
1:2=0,5
0,5+0=0,5
0,5:2=0,25
0,25+1=1,25
1,25:2=0,625
0,625+1=1,625
1,625:2=0,8125
Ответ: 0,11012= 0,812510
2) 0,3568=0,X10 (рассматриваем цифры в обратном порядке)
6:8=0,75
0,75+5=5,75
5,75:8=0,71875
0,71875+3=3,71875
3,71875:8=0,46484375
Ответ: 0,3568=0,4648437510
3) 0,A6E16=0,X10 (рассматриваем цифры в обратном порядке)
14:16=0,875
0,875+6=6,875
6,875:16=0,4296875
0,4296875+10=10,4296875
10,4296875:16=0,65185546875
Ответ: 0,A6E16=0,6518554687510

Преобразование десятичных чисел в двоичные

Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой :

19 /2 = 9  с остатком 1
9  /2 = 4  c остатком 1
4  /2 = 2  без остатка 0
2  /2 = 1  без остатка 0
1  /2 = 0  с остатком 1

Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в конец двоичной записи. Продолжаем деление до тех пор, пока в частном не будет 0. Результат записываем справа налево. То есть нижнее число будет самым левым и.т.д. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011.

Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные

Нужно перевести число 1011010,101 в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:

Или по таблице:

64 32 16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125
1 0 1 1 0 1 0. .1 0 1
+64 +16 +8 +2 +0.5 +0.125

Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные

Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:

  • Вначале переводится целая часть десятичной дроби в двоичную систему счисления;
  • Затем дробная часть десятичной дроби умножается на основание двоичной системы счисления;
  • В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве значения первого после запятой разряда числа в двоичной системе счисления;
  • Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются с предыдущего шага.

Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.

Перевод целой части дает 20610=110011102 по ранее описанным алгоритмам; дробную часть умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:
0,116 • 2 = 0,232
0,232 • 2 = 0,464
0,464 • 2 = 0,928
0,928 • 2 = 1,856
0,856 • 2 = 1,712
0,712 • 2 = 1,424
0,424 • 2 = 0,848
0,848 • 2 = 1,696
0,696 • 2 = 1,392
0,392 • 2 = 0,784
и т. д.
Получим: 206,11610=11001110,00011101102

Применения

В цифровых устройствах

Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:

  • Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. В частности, две цифры двоичной системы счисления могут быть легко представлены многими физическими явлениями: есть ток (ток больше пороговой величины) — нет тока (ток меньше пороговой величины), индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет (индукция магнитного поля меньше пороговой величины) и т. д.
  • Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Например, чтобы закодировать три состояния через величину напряжения, тока или индукции магнитного поля, потребуется ввести два пороговых значения и два компаратора, что не будет способствовать помехоустойчивости и надёжности хранения информации.[источник не указан 770 дней]
  • Двоичная арифметика является довольно простой. Простыми являются таблицы сложения и умножения — основных действий над числами.

В цифровой электронике одному двоичному разряду в двоичной системе счисления соответствует (очевидно) один двоичный разряд двоичного регистра, то есть двоичный триггер с двумя состояниями (0,1).

В английской системе мер

При указании линейных размеров в дюймах по традиции используют двоичные дроби, а не десятичные, например: 5¾″, 715/16″, 311/32″ и т. д.

Интересные факты

См. также

Примеры чисел-степеней двойки

Степень Значение
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16
5 32
6 64
7 128
8 256
9 512
10 1024
11 2048
12 4096
13 8192
14 16384
15 32768
16 65536
17 131072
18 262144
19 524288
20 1048576
21 2097152
22 4194304
23 8388608
24 16777216
25 33554432
26 67108864
27 134217728
28 268435456
29 536870912
30 1073741824
31 2147483648
32 4294967296
33 8589934592
34 17179869184
35 34359738368
36 68719476736
37 137438953472
38 274877906944
39 549755813888
40 1099511627776
41 2199023255552
42 4398046511104
43 8796093022208
44 17592186044416
45 35184372088832
46 70368744177664
47 140737488355328
48 281474976710656
49 562949953421312
50 1125899906842624
51 2251799813685248

Примечания

  1. Sanchez, Julio & Canton, Maria P. (2007), «Microcontroller programming: the microchip PIC», Boca Raton, Florida: CRC Press, с. 37, ISBN 0-8493-7189-9 
  2. W. S. Anglin and J. Lambek, The Heritage of Thales, Springer, 1995, ISBN 0-387-94544-X
  3. Ordish George, Hyams, Edward. The last of the Incas: the rise and fall of an American empire. — New York: Barnes & Noble, 1996. — С. 80. — ISBN 0-88029-595-3
  4. Experts 'decipher' Inca strings. Архивировано из первоисточника 18 августа 2011.
  5. Carlos Radicati di Primeglio, Gary Urton Estudios sobre los quipus. — P. 49.
  6. Dale Buckmaster (1974). «The Incan Quipu and the Jacobsen Hypothesis». Journal of Accounting Research 12 (1): 178-181. Проверено 2009-12-24.
  7. Bacon, Francis, «The Advancement of Learning», vol. 6, London, сс. Chapter 1, <http://home.hiwaay.net/~paul/bacon/advancement/book6ch2.html> 
  8. http://www.leibniz-translations.com/binary.htm Leibniz Translation.com EXPLANATION OF BINARY ARITHMETIC
  9. Aiton, Eric J. (1985), «Leibniz: A Biography», Taylor & Francis, сс. 245–8, ISBN 0-85274-470-6 

Ссылки

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *