Как решать двоичные системы: Двоичная система счисления

Содержание

Двоичное счисление на пальцах — Журнал «Код»: программирование без снобизма

Если у вас в школе была информатика, не исключено, что там было упражнение на перевод обычных чисел в двоичную систему и обратно. Маловероятно, что кто-то вам объяснял практический смысл этой процедуры и откуда вообще берётся двоичное счисление. Давайте закроем этот разрыв.

Эта статья не имеет практической ценности — читайте её просто ради интереса к окружающему миру. Если нужны практические статьи, заходите в наш раздел «Где-то баг», там каждая статья — это практически применимый проект.

Отличный план

Чтобы объяснить всё это, нам понадобится несколько тезисов:

Система записи числа — это шифр.
Мы привыкли шифровать десятью знаками.
Но система записи чисел может быть любой. Это условность.
Двоичная система — это тоже нормальная система.
Всё тлен и суета.

Система записи — это шифр

Если у нас есть девять коров, мы можем записать их как 🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄 или как 9 × 🐄.

Почему 9 означает «девять»? И почему вообще есть такое слово? Почему такое количество мы называем этим словом? Вопрос философский, и короткий ответ — нам нужно одинаково называть числа, чтобы друг друга понимать. Слово «девять», цифра 9, а также остальные слова — это шифр, который мы выучили в школе, чтобы друг с другом общаться.

Допустим, к нашему стаду прибиваются еще 🐄🐄🐄. Теперь у нас 🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄 — двенадцать коров, 12. Почему мы знаем, что 12 — это «двенадцать»? Потому что мы договорились так шифровать числа.

Нам очень легко расшифровывать записи типа 12, 1920, 100 500 и т. д. — мы к ним привыкли, мы учили это в школе. Но это шифр. 12 × 🐄 — это не то же самое, что 🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄. Это некая абстракция, которой мы пользуемся, чтобы упростить себе счёт.

Мы привыкли шифровать десятью знаками

У нас есть знаки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 — всего десять знаков. Этим числом знаков мы шифруем количество единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее.

Мы договорились, что нам важен порядок записи числа. Мы знаем, что самый правый знак в записи означает число единиц, следующий знак (влево) означает число десятков, потом сотен и далее.

Например, перед нами число 19 547. Мы знаем, что в нём есть:

1 × 10 000

9 × 1000

5 × 100

4 × 10

7 × 1

Если приглядеться, то каждый следующий разряд числа показывает следующую степень десятки:

1 × 10⁴

9 × 10³

5 × 10²

4 × 10¹

7 × 10⁰

Нам удобно считать степенями десятки, потому что у нас по десять пальцев и мы с раннего детства научились считать до десяти.

Система записи — это условность

Представим бредовую ситуацию: у нас не 10 пальцев, а 6. И в школе нас учили считать не десятками, а шестёрками. И вместо привычных цифр мы бы использовали знаки ØABCDE. Ø — это по-нашему ноль, A — 1, B — 2, E — 5.

Вот как выглядели бы привычные нам цифры в этой бредовой системе счисления:

0 — Ø
1 — A
2 — B
3 — C
4 — D
5 — E

6 — AØ
7 — AA
8 — AB
9 — AC
10 — AD
11 — AE

12 — BØ
13 — BA
14 — BB
15 — BC
16 — BD
17 — BE

18 — CØ
19 — CA
20 — CB
21 — CC
22 — CD
23 — CE

24 — DØ
25 — DA
26 — DB
27 — DC
28 — DD
29 — DE

30 — EØ
31 — EA
32 — EB
33 — EC
34 — ED
35 — EE

36 — AØØ
37 — AØA
38 — AØB
39 — AØC
40 — AØD
41 — AØE

В этой системе мы считаем степенями шестёрки. Число ABADØ можно было бы перевести в привычную нам десятичную запись вот так:

A × 6⁴ = 1 × 1296 = 1296

B × 6³ = 2 × 216 = 432

A × 6² = 1 × 36 = 36

D × 6¹ = 4 × 6 = 24

Ø × 6⁰ = 0 × 1 = 0

1296 + 432 + 36 + 24 + 0 = 1788. В нашей десятичной системе это 1788, а у людей из параллельной вселенной это ABADØ, и это равноценно.

Выглядит бредово, но попробуйте вообразить, что у нас в сумме всего шесть пальцев. Каждый столбик — как раз шесть чисел. Очень легко считать в уме. Если бы нас с детства учили считать шестёрками, мы бы спокойно выучили этот способ и без проблем всё считали. А счёт десятками вызывал бы у нас искреннее недоумение: «Что за бред, считать числом AD? Гораздо удобнее считать от Ø до E!»

То, как мы шифруем и записываем числа, — это следствие многовековой традиции и физиологии. Вселенной, космосу, природе и стадам коров глубоко безразлично, что мы считаем степенями десятки. Природа не укладывается в эту нашу систему счёта.

Например, свет распространяется в вакууме со скоростью 299 792 458 метров в секунду. Ему плевать, что нам для ровного счёта хотелось бы, чтобы он летел со скоростью 300 тысяч километров в секунду. А ускорение свободного падения тела возле поверхности Земли — 9,81 м/с². Так и хочется спросить: «Тело, а ты не могло бы иметь ускорение 10 м/с²?» — но телу плевать на наши системы счисления.

Двоичная система (тоже нормальная)

Внутри компьютера работают транзисторы. У них нет знаков 0, 1, 2, 3… 9. Транзисторы могут быть только включёнными и выключенными — обозначим их 💡 и ⚫.

Мы можем научить компьютер шифровать наши числа этими транзисторами так же, как шестипалые люди шифровали наши числа буквами. Только у нас будет не 6 букв, а всего две: 💡 и ⚫. И выходит, что в каждом разряде будет стоять не число десяток в разной степени, не число шестёрок в разной степени, а число… двоек в разной степени. И так как у нас всего два знака, то получается, что мы можем обозначить либо наличие двойки в какой-то степени, либо отсутствие:

0 — ⚫
1 — 💡

2 — 💡⚫
3 — 💡💡

4 — 💡⚫⚫
5 — 💡⚫💡
6 — 💡💡⚫
7 — 💡💡💡

8 — 💡⚫⚫⚫
9 — 💡⚫⚫💡
10 — 💡⚫💡⚫
11 — 💡⚫💡💡
12 — 💡💡⚫⚫
13 — 💡💡⚫💡
14 — 💡💡💡⚫
15 — 💡💡💡💡

16 — 💡⚫⚫⚫⚫
17 — 💡⚫⚫⚫💡
18 — 💡⚫⚫💡⚫
19 — 💡⚫⚫💡💡

20 — 💡⚫💡⚫⚫
21 — 💡⚫💡⚫💡
21 — 💡⚫💡💡⚫
23 — 💡⚫💡💡💡
24 — 💡💡⚫⚫⚫
25 — 💡💡⚫⚫💡
26 — 💡💡⚫💡⚫
27 — 💡💡⚫💡💡
28 — 💡💡💡⚫⚫
29 — 💡💡💡⚫💡
30 — 💡💡💡💡⚫
31 — 💡💡💡💡💡

32 — 💡⚫⚫⚫⚫⚫
33 — 💡⚫⚫⚫⚫💡
34 — 💡⚫⚫⚫💡⚫
35 — 💡⚫⚫⚫💡💡
36 — 💡⚫⚫💡⚫⚫
37 — 💡⚫⚫💡⚫💡
38 — 💡⚫⚫💡💡⚫
39 — 💡⚫⚫💡💡💡
40 — 💡⚫💡⚫⚫⚫
41 — 💡⚫💡⚫⚫💡
42 — 💡⚫💡⚫💡⚫
43 — 💡⚫💡⚫💡💡
44 — 💡⚫💡💡⚫⚫
45 — 💡⚫💡💡⚫💡
46 — 💡⚫💡💡💡⚫
47 — 💡⚫💡💡💡💡
48 — 💡💡⚫⚫⚫⚫
49 — 💡💡⚫⚫⚫💡
50 — 💡💡⚫⚫💡⚫
51 — 💡💡⚫⚫💡💡
52 — 💡💡⚫💡⚫⚫
53 — 💡💡⚫💡⚫💡
54 — 💡💡⚫💡💡⚫
55 — 💡💡⚫💡💡💡
56 — 💡💡💡⚫⚫⚫
57 — 💡💡💡⚫⚫💡
58 — 💡💡💡⚫💡⚫
59 — 💡💡💡⚫💡💡
60 — 💡💡💡💡⚫⚫
61 — 💡💡💡💡⚫💡
62 — 💡💡💡💡💡⚫
63 — 💡💡💡💡💡💡

Если перед нами число 💡 ⚫💡⚫⚫ 💡💡⚫⚫, мы можем разложить его на разряды, как в предыдущих примерах:

💡 = 1 × 2⁸ = 256

⚫ = 0 × 2⁷ = 0

💡 = 1 × 2⁶ = 64

⚫ = 0 × 2⁵ = 0

⚫ = 0 × 2⁴ = 0

💡 = 1 × 2

3 = 8

💡 = 1 × 2² = 4

⚫ = 0 × 2¹ = 0

⚫ = 0 × 2⁰ = 0

256 + 0 + 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 0 = 332

Получается, что десятипалые люди могут записать это число с помощью цифр 332, а компьютер с транзисторами — последовательностью транзисторов 💡⚫💡⚫⚫ 💡💡⚫⚫.

Если теперь заменить включённые транзисторы на единицы, а выключенные на нули, получится запись 1 0100 1100. Это и есть наша двоичная запись того же самого числа.

Почему говорят, что компьютер состоит из единиц и нулей (и всё тлен)

Инженеры научились шифровать привычные для нас числа в последовательность включённых и выключенных транзисторов.

Дальше эти транзисторы научились соединять таким образом, чтобы они умели складывать зашифрованные числа. Например, если сложить 💡⚫⚫ и ⚫⚫💡, получится 💡⚫💡. Мы писали об этом подробнее в статье о сложении через транзисторы.

Дальше эти суммы научились получать супербыстро. Потом научились получать разницу. Потом умножать. Потом делить. Потом всё это тоже научились делать супербыстро. Потом научились шифровать не только числа, но и буквы. Научились их хранить и считывать. Научились шифровать цвета и координаты. Научились хранить картинки. Последовательности картинок. Видео. Инструкции для компьютера. Программы. Операционные системы. Игры. Нейросети. Дипфейки.

И всё это основано на том, что компьютер умеет быстро-быстро складывать числа, зашифрованные как последовательности включённых и выключенных транзисторов.

При этом компьютер не понимает, что он делает. Он просто гоняет ток по транзисторам. Транзисторы не понимают, что они делают. По ним просто бежит ток. Лишь люди придают всему этому смысл.

Когда человека не станет, скорость света будет по-прежнему 299 792 458 метров в секунду. Но уже не будет тех, кто примется считать метры и секунды. Такие дела.

Информатика — Двоичная система счисления

В этом разделе всюду речь идет о двоичной записи чисел.

Главное: Двоичная запись числа N означает представление этого числа в виде суммы степеней двойки. Места, на которых стоит 1, показывают, какие степени двойки нужно брать. Номер места отсчитывается справа налево и начиная с 0.

Примеры.
1) 25 = 16+8+1 = 2⁴ + 2³ + 2⁰. Поэтому 25 = 11001₂ .
2) 66 = 64 + 2 = 2⁶ + 2¹ . Поэтому 66 = 1000010₂ .

Как переводить числа из десятичной системы в двоичную можно посмотреть, например, здесь. Хорошая книга лежит здесь. Непонятно — пишите.
Другие свойства следуют из этого свойства. Вот несколько примеров.

1. Четные числа оканчиваются на 0, нечетные – на 1.

2. Число 2^k в двоичной системе счисления записывается единицей и k нулями. Например, 32 = 2⁵ в двоичной системе счисления записывается так: 100000

3. Число N делится на 2^k <===> число N оканчивается на k нулей

4. Число 2^k – 1 в двоичной системе счисления записывается k единицами. Например, 31 = 2⁵ – 1 в двоичной системе счисления записывается так: 11111

5. Двоичная запись числа N содержит ровно k цифр

тогда и только тогда, когда

Число N принадлежит интервалу 2^k-1 ≤ N ≤ 2^k— 1

Действительно, пусть, например, k=5. Наименьшее число, которое записывается 5-ю цифрами – это число 10000₂ = 2⁴ = 16₁₀. А наибольшее число, которое записывается 5-ю цифрами – это число 11111₂ = 2⁴+ 2³+ 2²+ 2¹+ 2⁰

= 16₁₀+8₁₀+4₁₀+2₁₀+1₁₀= 31₁₀ = 32 – 1 = 2⁵ – 1.

Еще один пример. Для числа 67 имеем: 64 = 2⁶ ≤ 67 ≤ 2⁷— 1 = 127. Двоичная запись числа 67 содержит 7 цифр: 64₁₀ = 1000011₂ = 2⁶ + 2¹ + 2⁰

Что думаете?

Двоичная арифметика : сложение, вычитание, умножение, деление

Выполнение арифметических действий в любых позиционных системах счисления производится по тем же правилам, которые используются в десятичной системе счисления.

Так же, как и в десятичной системе счисления, для выполнения арифметических действий необходимо знать таблицы сложения (вычитания) и умножения.

Таблица сложения, вычитания и умножения для двоичной системы счисления

Сложение	Вычитание	Умножение
0 + 0 = 0	0 — 0 = 0	0 ∙ 0 = 0
0 + 1= 1	1 — 0 = 1	0 ∙ 1 = 0
1 + 0 = 1	1 — 1 = 0	1 ∙ 0 = 0
1 + 1 = 10	10 — 1 = 1	1 ∙ 1 = 1

Сложение двоичных чисел

Сложение в двоичной системе счисления выполняется по тем же правилам, что и в десятичной. Два числа записываются в столбик с выравниванием по разделителю целой и дробной части и при необходимости дополняются справа незначащими нулями. Сложение начинается с крайнего правого разряда. Две единицы младшего разряда объединяются в единицу старшего.

Пример: 1011,1₂ + 1010,11₂

Интересна также ситуация, когда складываются больше двух чисел. В этом случае возможен перенос через несколько разрядов.
Пример: 111,1₂ + 111₂ + 101,1₂

При сложении в разряде единиц (разряд 0) оказывается 4 единицы, которые, объединившись, дают 100₂. Поэтому из нулевого разряда в первый разряд переносится 0, а во второй — 1.
Аналогичная ситуация возникает во втором разряде, где с учетом двух перенесенных единиц получается число 5 = 101₂. 1 остается во втором разряде, 0 переносится в третий и 1 переносится в четвёртый.

Вычитание двоичных чисел

В случаях, когда занимается единица старшего разряда, она дает две единицы младшего разряда. Если занимается единица через несколько разрядов, то она дает по одной единице во всех промежуточных нулевых разрядах и две единицы в том разряде, для которого занималась.
Пример: 10110,01₂ — 1001,1₂

Умножение и деление двоичных чисел

Зная операции двоичной арифметики, можно переводить числа из двоичной системы счисления в любую другую.
Пример: Перевести число 101111011₂ в десятичную систему счисления.
Поскольку 10₁₀ = 1010₂, запишем

Полученные остатки, 1001₂ = 9₁₀, =111₂ = 7₁₀, 11₂ = 3₁₀. Искомое число 101111011₂ = 379₁₀.

Назад: Представление данных и архитектура ЭВМ

Быстро учимся считать в двоичной и шестнадцатеричной системе

Введение

Иногда возникает потребность быстро прочитать или записать числа в двоичной или шестнадцатеричной системе счисления, например, работая с различными байтовыми редакторами,при расчете формул с побитовыми операциями или работе с цветом. Часто в таких ситуациях нет возможности долго переводить числа с помощью формул или калькулятора. О быстрых способах перехода между системами счисления пойдет речь в данной статье.

Переход от десятичной системы к двоичной

Первый случай – считаем от десятичной системы к двоичной. Основное, что нужно помнить в данном случае – это ряд степеней двойки (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 и т.д.). Даже если его вы не знаете, то ничего не стоит каждое следующее число умножать на двойку. Так как младшие разряды идут справа, а старшие – слева, то будем их записывать в обратном порядке справа налево.

Для примера будем переводить число 115. Дальше смотрим, если значение разряда помещается в число, то вычитаем из него это значение и ставим в этом разряде 1, иначе ставим 0.

Обратный перевод еще проще – нужно просуммировать все значения разрядов, которые отмечены единичками: 64+32+16+2+1 = 115.

Переход к шестнадцатеричной системе

Теперь давайте разберемся с шестнадцатеричной системой. Имея ввиду то, что количество чисел, которые кодируются тетрадой (4 бита) и одним шестнадцатеричным символом совпадают, то соответственно каждый символ кодирует одну двоичную тетраду.

В результате получили число 0х73. Главное помнить, что А = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.

Если есть потребность перевести десятичное число в шестнадцатеричное или наоборот, то здесь проще всего будет сначала перевести число в двоичное представление, а затем только в шестнадцатеричное или десятеричное соответственно.

В итоге мы научились быстро переводить числа из одной системы счисления в другую. Главное, что нужно помнить — степени двойки и уметь хорошо складывать и вычитать. Детальнее о машинной математике вы можете узнать во втором уроке курса C# Стартовый.

Попрактикуйтесь самостоятельно и переведите несколько чисел из одной системы в другую, сверяясь с калькулятором. Немного практики — и вы всему научитесь.

Двоичная система счисления, 0 и 1, двоичные числа

Вспомним материал по системам счисления. В нём говорилось, что наиболее удобной системой счисления для компьютерных систем является двоичная система. Дадим определение этой системе:

Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления, у которой основанием является число 2.

Для записи любого числа в двоичной системе счисления используются всего лишь 2 цифры: 0 и 1.

Общая форма записи двоичных чисел

Для целых двоичных чисел можно записать:

a_n−1a_n−2…a₁a₀=a_n−1⋅2ⁿ⁻¹+a_n−2⋅2ⁿ⁻²+…+a₀⋅2⁰

Данная форма записи числа «подсказывает» правило перевода натуральных двоичных чисел в десятичную систему счисления: требуется вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа.

Правила сложения двоичных чисел

Основные правила сложения однобитовых чисел

0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10

Отсюда видно, что и, как и в десятичной системе счисления, числа, представленные в двоичной системе счисления, складывают поразрядно. Если разряд переполняется, единица переносится в следующий разряд.

Пример сложения двоичных чисел

Правила вычитания двоичных чисел

0-0=0
1-0=0
10-1=1

Но как быть с 0-1=? Вычитание двоичных чисел немного отличается от вычитания десятичных чисел. Для этого используется несколько способов.

Вычитание методом заимствования

Запишите двоичные числа друг под другом – меньшее число под большим. Если меньшее число имеет меньше цифр, выровняйте его по правому краю (так, как вы записываете десятичные числа при их вычитании).
Некоторые задачи на вычитание двоичных чисел ничем не отличаются от вычитания десятичных чисел. Запишите числа друг под другом и, начиная справа, найдите результат вычитания каждой пары чисел.

Вот несколько простых примеров:

1 — 0 = 1
11 — 10 = 1
1011 — 10 = 1001

Рассмотрим более сложную задачу. Вы должны запомнить только одно правило, чтобы решать задачи на вычитание двоичных чисел. Это правило описывает заимствование цифры слева, чтобы вы могли вычесть 1 из 0 (0 — 1).

110 — 101 = ?

В первом столбце справа вы получаете разность 0 — 1. Для ее вычисления необходимо позаимствовать цифру слева (из разряда десятков).

Во-первых, зачеркните 1 и замените ее на 0, чтобы получить такую задачу: 1010 — 101 = ?
Вы вычли («позаимствовали») 10 из первого числа, поэтому вы можете написать это число вместо цифры, стоящей справа (в разряд единиц). 101100 — 101 = ?
Вычтите цифры в правом столбце. В нашем примере:
101100 — 101 = ?
Правый столбец: 10 — 1 = 1.
102 = (1 x 2) + (0 x 1) = 210 (цифры нижнего регистра обозначают систему счисления, в которой записаны числа).
12 = (1×1) = 110.

Таким образом, в десятичной системе эта разность записывается в виде: 2 — 1 = 1.

Вычтите цифры в оставшихся столбцах. Теперь это легко сделать (работайте со столбцами, двигаясь, справа налево):

101100 — 101 = __1 = _01 = 001 = 1.

Вычитание методом дополнения

Запишите двоичные числа друг под другом так, как вы записываете десятичные числа при их вычитании. Этот метод используется компьютерами для вычитания двоичных чисел, так как он основан на более эффективном алгоритме.

Однако простому человеку, привыкшему вычитать десятичные числа, этот метод может показаться более сложным (если вы программист, обязательно познакомьтесь с этим методом вычитания двоичных чисел).

Рассмотрим пример: 101100₂— 11101₂= ?

Если значность чисел разная, к числу с меньшей значностью слева припишите соответствующее количество 0.

101100₂ — 011101₂= ?

В вычитаемом числе поменяйте цифры: каждую 1 поменяйте на 0, а каждый 0 на 1.

011101₂ → 100010₂.

На самом деле мы «забираем дополнение у единицы», то есть вычитаем каждую цифру из 1. Это работает в двоичной системе, так как у такой «замены» может быть только два возможных результата: 1 — 0 = 1 и 1 — 1 = 0.

К полученному вычитаемому прибавьте единицу.

100010₂+ 1₂ = 100011₂

Теперь вместо вычитания сложите два двоичных числа.

101100₂ +100011₂= ?

Проверьте ответ. Быстрый способ – откройте двоичный онлайн калькулятор и введите в него вашу задачу. Два других метода подразумевают проверку ответа вручную.

1) Переведем числа в двоичную систему счисления:
Допустим, что из числа 101101₂ нужно вычесть 11011₂

2) Обозначим как A число 101101₂ и как B число 11011₂.

3) Запишем числа A и B столбиком, одно под другим, начиная с младших разрядов (нумерация разрядов начинается с нуля).

Разр.	6	5	4	3	2	1	0
A		1	0	1	1	0	1
B			1	1	0	1	1

4) Вычтем разряд за разрядом из числа A число B записывая результат в C начиная с младших разрядов. Правила поразрядного вычитания, для двоичной системы счисления представлены в таблице ниже.

Заем из текущего разряда O_i-1	A_i	B_i	C_i	Заем из следующего разряда O_i+1
	0	0	0
	0	1	1	1
	1	0	1
	1	1	0
1	0	0	1	1
1	0	1	0	1
1	1	0	0
1	1	1	1	1

Весь процесс сложения наших чисел выглядит следующим образом:

(красным шрифтом показаны заёмы из соответствующего разряда)

Получилось 101101₂ — 11011₂ = 10010₂
или в десятичной системе счисления: 45₁₀ — 27₁₀ = 18₁₀

Правила умножения двоичных чисел.

В целом эти правила очень просты и понятны.

0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1

Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит точно также как и обычных. Каждое значащий разряд умножаем на верхнее число по приведенным правилам, соблюдая позиции. Умножать просто — так как умножение на единицу даёт одно и тоже число.

×				1	1	1	0
×					1	0	1

+				1	1	1	0
+		1	1	1	0

	1	0	0	0	1	1	0

Система счисления Методы перевода десятичного числа в двоичное

Задача №1. Перевод из одной системы в другую, сравнение чисел в различных системах.

Автор материалов — Лада Борисовна Есакова.

Системы счисления и их разновидности.

Система счисления – это способ представления, записи чисел с помощью письменных знаков. Количество этих самых знаков (цифр), используемых для записи чисел, называется основанием системы счисления.

Различных систем счисления у разных народов существовало великое множество. Но все их можно поделить на непозиционные и позиционные. Позиционные системы в свою очередь подразделяются на однородные и смешанные.

1. Непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления число, обозначаемое цифрой, не зависит от положения цифры в записи числа.

Самым простым примером непозиционной системы счисления является единичная (унарная) система счисления. Это запись числа с помощью повторения зарубок на дощечке или узелков на веревке. Все зарубки, узелки или другие «цифры» абсолютно одинаковы, а потому их порядок не имеет значения, число получается простым суммированием количества символов.

Унарной системой счисления до сих пор пользуются маленькие дети, показывая количество на пальцах.

Еще одной используемой до сих пор почти непозиционной системой счисления является Римская:

Она названа почти непозиционной, потому что в Римской системе, кроме обычного сложения цифр в числе, действует правило: если младшая цифра стоит слева от старшей, она вычитается из суммы.
Т.е. число , а число

Непозиционных систем счисления известно очень много, но мы завершим на этом их рассмотрение. Использование непозиционных систем неудобно, а для очень больших чисел практически невозможно, и к тому же нет возможности записать дроби.

2. Позиционные системы счисления.

В позиционных системах счисления число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа.
Самой популярной позиционной системой является, конечно же, десятичная.

Мы видим, что числа 15 и 51 имеют совсем разные значения, хотя состоят из одних и тех же цифр. Разница обусловлена положением цифры в числе.

Но десятичная система ничем не лучше и не хуже другой позиционной системы, она просто привычная. Число 10 выбрано основанием по количеству пальцев на двух руках (для удобства счета). Однако, в Китае популярной была пятиречная система счисления (по количеству пальцев на одной руке), а двадцатиричная система использовалась у Ацтеков, Майя и некоторых народов Африки (по количеству пальцев на ногах и руках).

Еще одной известной позиционной системой счисления является двенадцатиричная (считали фаланги пальцев (кроме большого) на руке. Элементы двенадцатиричной системы сохранились в Англии: 1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов.

Ну и, наконец, незаменимая в наш компьютерный век двоичная система. Почему именно двоичная? Да потому что у компьютера только 2 «пальца», точнее два состояния: «есть ток», «нет тока».

2.1. Однородные системы счисления.

В однородной системе в каждой позиции числа может находиться любая цифра. Примером может быть запись числа в любой позиционной системе счисления (десятичной, двоичной и пр.). Т.е. когда мы пишем число в десятичной системе, в любой позиции мы можем написать цифру от 0 до 9.

2.2. Смешанные системы счисления.

В смешанной системе счисления набор используемых цифр может отличаться в зависимости от позиции. В качестве примера удобно рассмотреть запись времени в формате ЧЧ.ММ.СС (часы.минуты.секунды). В качестве часов может быть использовано число от 00 до 23, в качестве минут и секунд – число от 00 до 59.

Системы счисления. Перевод из одной системы в другую.

1. Порядковый счет в различных системах счисления.

В современной жизни мы используем позиционные системы счисления, то есть системы, в которых число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о них, опуская термин «позиционные».

Для того чтобы научиться переводить числа из одной системы в другую, поймем, как происходит последовательная запись чисел на примере десятичной системы.

Поскольку у нас десятичная система счисления, мы имеем 10 символов (цифр) для построения чисел. Начинаем порядковый счет: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры закончились. Мы увеличиваем разрядность числа и обнуляем младший разряд: 10. Затем опять увеличиваем младший разряд, пока не закончатся все цифры: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Увеличиваем старший разряд на 1 и обнуляем младший: 20. Когда мы используем все цифры для обоих разрядов (получим число 99), опять увеличиваем разрядность числа и обнуляем имеющиеся разряды: 100. И так далее.

Попробуем сделать то же самое в 2-ной, 3-ной и 5-ной системах (введем обозначение для 2-ной системы, для 3-ной и т.д.):


0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	10	3
4	100	11	4
5	101	12	10
6	110	20	11
7	111	21	12
8	1000	22	13
9	1001	100	14
10	1010	101	20
11	1011	102	21
12	1100	110	22
13	1101	111	23
14	1110	112	24
15	1111	120	30

Если система счисления имеет основание больше 10, то нам придется вводить дополнительные символы, принято вводить буквы латинского алфавита. Например, для 12-ричной системы кроме десяти цифр нам понадобятся две буквы ( и ):


0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10
11
12	10
13	11
14	12
15	13

2.Перевод из десятичной системы счисления в любую другую.

Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно это число разделить на основание. Полученное частное снова разделить на основание, и дальше до тех пор, пока частное не окажется меньше основания. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.

Пример 1. Переведем десятичное число 46 в двоичную систему счисления.

Пример 2. Переведем десятичное число 672 в восьмеричную систему счисления.

Пример 3. Переведем десятичное число 934 в шестнадцатеричную систему счисления.

3. Перевод из любой системы счисления в десятичную.

Для того, чтобы научиться переводить числа из любой другой системы в десятичную, проанализируем привычную нам запись десятичного числа.
Например, десятичное число 325 – это 5 единиц, 2 десятка и 3 сотни, т.е.

Точно так же обстоит дело и в других системах счисления, только умножать будем не на 10, 100 и пр., а на степени основания системы счисления. Для примера возьмем число 1201 в троичной системе счисления. Пронумеруем разряды справа налево начиная с нуля и представим наше число как сумму произведений цифры на тройку в степени разряда числа:

Это и есть десятичная запись нашего числа, т.е.

Пример 4. Переведем в десятичную систему счисления восьмеричное число 511.

Пример 5. Переведем в десятичную систему счисления шестнадцатеричное число 1151.

4. Перевод из двоичной системы в систему с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.).

Для преобразования двоичного числа в число с основанием «степень двойки» необходимо двоичную последовательность разбить на группы по количеству цифр равному степени справа налево и каждую группу заменить соответствующей цифрой новой системы счисления.

Например, Переведем двоичное 1100001111010110 число в восьмеричную систему. Для этого разобьем его на группы по 3 символа начиная справа (т.к. ), а затем воспользуемся таблицей соответствия и заменим каждую группу на новую цифру:

Таблицу соответствия мы научились строить в п.1.


0	0
1	1
10	2
11	3
100	4
101	5
110	6
111	7

Т.е.

Пример 6. Переведем двоичное 1100001111010110 число в шестнадцатеричную систему.


0	0
1	1
10	2
11	3
100	4
101	5
110	6
111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

5.Перевод из системы с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.) в двоичную.

Этот перевод аналогичен предыдущему, выполненному в обратную сторону: каждую цифру мы заменяем группой цифр в двоичной системе из таблицы соответствия.

Пример 7. Переведем шестнадцатеричное число С3A6 в двоичную систему счисления.

Для этого каждую цифру числа заменим группой из 4 цифр (т.к. ) из таблицы соответствия, дополнив при необходимости группу нулями вначале:

Десятичные дроби и смешанные числа в разных системах счисления.

Автор — Лада Борисовна Есакова.

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую обычно не вызывает проблем. А вот необходимость перевести десятичную дробь или смешанное число (число с целой и дробной частью) из системы в систему часто ставит в тупик даже сильных учеников.

1. Перевод смешанного числа в десятичную систему счисления из любой другой.

Для перевода смешанного числа в десятичную систему из любой другой следует пронумеровать разряды числа, начиная с нуля, справа налево от младшего целого разряда. Разряды дробной части нумеруются слева направо от -1 в убывающем порядке. Теперь представим число в виде суммы произведений его цифр на основание системы в степени разряда числа и ответ готов.

Пример 1.

Переведите число 105,4 из восьмеричной системы в десятичную.

Решение:

Пронумеруем целые разряды числа справа налево от 0, дробные – слева направо от -1 :

Посчитаем сумму произведений цифр числа на 8 (основание системы) в степени разряда числа:

Ответ:

2. Перевод десятичных дробей из десятичной системы счисления в любую другую.

Для перевода десятичной дроби из десятичной системы в любую другую следует умножать дробь, а затем дробные части произведений, на основание новой системы пока дробная часть не станет равной 0 или до достижения указанной точности. Затем целые части выписать, начиная с первой.

Пример 2

Переведите десятичное число 0,816 в двоичную систему с точностью до сотых.

Решение:

Умножаем дробь 0,816, а затем дробную часть произведения (0,632) на 2 и выписываем целые части, начиная с первой:

Ответ:

Пример 3.

Переведите десятичное число 0,8125 в восьмеричную систему.

Решение:

Умножаем дробь 0,8125, а затем дробную часть произведения (0,5) на 8 и выписываем целые части, начиная с первой:

Ответ:

3. Перевод смешанных чисел из десятичной системы счисления в любую другую

Если необходимо перевести смешанное число из десятичной системы в любую другую, следует перевести целую и дробную части, а затем записать, разделив десятичной запятой.

Пример 4.

Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 14,125?

Решение:

Переведем целую часть числа в двоичную систему:

Переведем дробную часть числа в двоичную систему:

Соединим целую и дробную части:

14,12510 = 1110,0012

Количество единиц равно 4.

Ответ: 4

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Урок информатики «Арифметические действия в двоичной системе счисления»

Цели:

Познакомить с основными понятиями арифметических действий в двоичной системе счисления

Задачи:

Закрепить вышеуказанные понятия на примерах;

Путем использования нестандартных и игровых задач повысить усвоение материала учащимися

Описание необходимых технических ресурсов для урока: компьютер, интерактивная доска; проектор;

Описание необходимых программных ресурсов для урока: презентация, программа показа на интерактивной доске, включающая в себя 4 страницы,

Схема урока включает в себя следующие блоки:

Организационный этап – 1 минута

Повторение – 5 минут

Проверка домашнего задания – 2 минуты

Физкультминутка – 1 минута

Изучение новой темы – 12 минут

Закрепление новой темы – 15 минут

Самостоятельная работа – 5 минут

Взаимооценка – 2 минуты

Итоговый этап– 2 минуты

Ход урока:
1. Организационный момент:
Учитель. Здравствуйте, рада встретиться с вами снова. Тема нашего урока: «Арифметические действия в двоичной системе счисления». Но в начале мы повторим то, что изучили на прошлом уроке. А на прошлом уроке мы познакомились с кодированием числовой информации с помощью систем счисления. Так что же такое Система счисления?
2. Повторение пройденного:
Ученики: Это знаковая система, в которой число записывают по определённым правилам с помощью символов некоторого алфавита – называемого цифрами.
Учитель: Хорошо, а теперь давайте вспомним некоторые из них. Я вам называю систему счисления – вы мне цифры, которые входят в данную систему счисления и её основание. Итак,…Учитель показывает слайды презентации (Приложение 1), дети называют цифры и основание предложенных систем счисления.
Теперь вспомним, как перевести число из любой системы счисления в десятичную систему счисления?
Ученики: путём разложения числа по степеням.
Учитель показывает слайд (Приложение 1), подтверждающий правильность высказывания.
А теперь, вспомним, как из десятичной системы счисления перевести число в любую другую систему счисления?
Ученики: путём деления десятичного числа на основание системы счисления, в которую нужно перевести данное число. Делить будем до тех пор, пока результат и остатки от деления не будут входить в эту систему счисления.
Учитель показывает слайд, подтверждающий правильность высказывания.
3. Проверка домашнего задания:
Учитель: А теперь давайте проверим домашнее задание. Ученики говорят результаты, а учитель с помощью слайда показывает правильное решение.
4. Изучение новой темы:
Учитель: Теперь можно перейти к новой теме. Итак, тема нашего сегодняшнего урока «Арифметические действия в двоичной системе счисления». Арифметические действия выполняются по одним и тем же правилам в любой системе счисления. Мы рассмотрим их на примере двоичной системы счисления.
Рассмотрим СЛОЖЕНИЕ в двоичной системе счисления.
Познакомимся с таблицей на основе, которой происходит сложение в двоичной системе счисления. Учитель показывает слайд, где изображена таблица сложения. Мы видим, что 0+0=0, 1+0=1, 0+1=1. Эти равенства справедливы как для двоичной системы, так и для десятичной. Чему же равно 1+1. В десятичной системе это 2, но в двоичной системе нет такой цифры. Вспомним, что 5+5, 6+4, в десятичной системе приводит к переносу единицы в старший разряд так как в десятичной системе нет цифры старше 9. По аналогии в двоичной системе 1+1 приводит к переносу единицы в старший разряд, так как в двоичной системе нет числа старше 1. Значит 1+1=10, так как при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда происходит, когда значение числа становится равным или большим основания. Если дальше прибавлять единицы, то 10+1=11, 11+1=100 и так далее. А теперь попробуем сложить два числа в двоичной системе счисления. Учитель показывает слайд, где изображено сложение двух чисел и проверка. Попробуем выполнить сложение самостоятельно. Учитель показывает слайд, где приведены примеры на сложение. Ученики решают эти примеры, а учитель открывает ответ и сравнивает его с полученным результатом.
Рассмотрим ВЫЧИТАНИЕ в двоичной системе счисления.
Познакомимся с таблицей на основе, которой происходит вычитание в двоичной системе счисления. Учитель показывает слайд, где изображена таблица вычитания. Мы видим, что 0-0=0, 1-0=1, 1-1=0, Эти равенства справедливы как для двоичной системы, так и для десятичной. Чему же равно 0-1. Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит по тем же правилам с учётом возможности переноса из младших разрядов в старшие. Значит 0-1=1. Но не забудем, что мы заняли 1 из старшего разряда. А теперь попробуем вычесть из одного числа другое в двоичной системе счисления. Учитель показывает слайд, где изображено вычитание двух чисел и проверка. Попробуем выполнить вычитание самостоятельно. Учитель показывает слайд, где приведены примеры на вычитание. Ученики решают эти примеры, а учитель открывает ответ и сравнивает его с полученным результатом.
Рассмотрим УМНОЖЕНИЕ в двоичной системе счисления. Познакомимся с таблицей на основе, которой происходит умножение в двоичной системе счисления. Учитель показывает слайд, где изображена таблица умножения. Действия умножения чисел в двоичной системе счисления происходит по общепринятым для позиционных систем правилам, А теперь попробуем перемножить два числа в двоичной системе счисления. Учитель показывает слайд, где изображено умножение двух чисел и проверка. Попробуем сейчас выполнить умножение самостоятельно. Учитель показывает слайд, где приведены примеры на умножение. Ученики решают эти примеры, а учитель открывает ответ и сравнивает его с полученным результатом.
Рассмотрим ДЕЛЕНИЕ в двоичной системе счисления. Деление в двоичной системе счисления происходит по тем же правилам, что и в любой позиционной системе счисления. Учитель показывает слайд, где изображено деление чисел и проверка.
5. Физкультминутка:
Учитель: Итак, мы познакомились с арифметическими действиями в двоичной системе счисления. Теперь попробуем закрепить изученное, но вначале физкультминутка. Исходное положение: руки на пояс. Сейчас вы увидите числа, записанные в различных системах счисления. Есть числа, записанные с ошибкой. Ваша задача, если вы видите правильно записанное число, выполняем наклоны вправо или влево, если вы видите ошибку нужно хлопнуть руками над головой. Итак, начинаем. Учитель показывает слайд, где медленно появляются числа. Ученики выполняют или наклоны или хлопок над головой.
6. Закрепление новой темы:

Задание «Решите примеры»
Учитель открывает программу показа на интерактивной доске (Приложение 2) и выбирает страницу «Решите примеры». На ней предложены примеры в двоичной системе счисления. Ученики по очереди выходят к доске и решают эти примеры. Результат сравнивают с написанными ранее на доске ответами и если числа совпадают, передвигают ответ в решение.
Задание «Прочти фразу»
Учитель открывает программу показа на интерактивной доске (Приложение 2) и выбирает страницу «Прочти фразу». На ней предложены уравнения в двоичной системе счисления. Учитель сообщает, что пришла записка. Закодировано целое предложение. Одно неизвестное – одно слово. Нужно решить эти уравнения, найти Х. Таблица соответствия – подскажет фразу, которая закодирована.
Задание «Последовательности»
Учитель открывает программу показа (Приложение 2) на интерактивной доске и выбирает страницу «Последовательности». На ней предложены числа в двоичной системе счисления. Учитель просит найти закономерность, которая использовалась при написании этих чисел.
7. Самостоятельная работа:
Учитель открывает программу показа на интерактивной доске (Приложение 2) и выбирает страницу «Самостоятельная работа». На ней предложены два варианта по 5 примеров в двоичной системе счисления. Учитель даёт 5 минут на решение этих примеров. Затем ученики обмениваются тетрадями, и учитель показывает ответы. Происходит взаимооценка.
8. Итоговый этап:
Учитель подводит итоги урока, раздаёт домашнее задание.
Учитель: На этом урок закончен. Большое спасибо. До свидания.
Как работает двоичная система?
Как часто вы пользуетесь компьютером? Если вы подумаете обо всех гаджетах, которыми пользуетесь каждый день, вы, вероятно, поймете, что используете больше компьютеров, чем думаете. Помимо портативных или настольных компьютеров, которые вы используете в школе или дома, вы также можете использовать калькуляторы, смартфоны, планшеты, музыкальные плееры, электронные устройства для чтения, цифровые видеомагнитофоны, видеоигры и всевозможные другие устройства.
В сегодняшнем мире, наполненном технологиями, трудно избежать использования компьютеров.На самом деле, мы держим пари, что многие из наших Wonder Friends однажды будут работать на работе, требующей от вас постоянного использования компьютеров. Некоторые из вас могут даже создавать компьютеры или писать код для создания программного обеспечения, видеоигр и приложений для смартфонов!
Когда вы изучаете основы компьютерного программирования, вы рано понимаете, что в основном все, что входит (ввод) или выходит (вывод) компьютера, состоит из последовательности нулей и единиц. В этом суть цифровых данных, и они основаны на двоичной системе.
Когда вы изучаете математику в школе, вы используете десятичную систему счисления.Это означает, что ваша система счисления состоит из 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Когда вы прибавляете единицу к девяти, вы перемещаете 1 на одну позицию влево в десятки. поместите и поставьте 0 вместо единиц: 10.
С другой стороны, двоичная система счисления — это система счисления с основанием 2. Это означает, что он использует только два числа: 0 и 1. Когда вы добавляете единицу к единице, вы перемещаете 1 на одну позицию влево на место двоек и ставите 0 на место единиц: 10. Итак, в системе с основанием 10 система, 10 равно десяти. В системе с основанием 2 10 равно двум.
В системе base-10, с которой вы знакомы, значения разряда начинаются с единиц и переходят к десяткам, сотням и тысячам при движении влево. Это потому, что система основана на степени 10.
Точно так же в системе с основанием 2 значения разряда начинаются с единиц и переходят к двойкам, четверкам и восьмеркам при перемещении влево. Это потому, что система base-2 основана на степени двойки. Каждая двоичная цифра называется битом.
Не волнуйтесь, если двоичная система сейчас сбивает с толку.Это довольно легко понять, если вы немного поработаете с этим. Поначалу это просто сбивает с толку, потому что все числа состоят только из нулей и единиц. Знакомая система с основанием 10 так же проста, как 1-2-3, а двоичная система с основанием 2 так же проста, как 1-10-11.
Вы можете ЗАДАВАТЬСЯ, почему компьютеры используют двоичную систему. Компьютеры и другие электронные системы работают быстрее и эффективнее, используя двоичную систему, потому что система, использующая только два числа, легко дублируется системой включения / выключения.
Электричество либо включено, либо выключено, поэтому устройства могут использовать выключатель в электрических цепях для простой обработки двоичной информации.Например, off может быть равен 0, а on — 1.
.
Каждая буква, цифра и символ на клавиатуре представлены восьмибитным двоичным числом. Например, для вашего компьютера буква A на самом деле 01000001!
Чтобы помочь вам лучше понять двоичную систему и ее отношение к десятичной системе, с которой вы знакомы, вот как десятичные числа 1-10 выглядят в двоичной системе:
1 = 1
2 = 10
3 = 11
4 = 100
5 = 101
6 = 110
7 = 111
8 = 1000
9 = 1001
10 = 1010
Числовые основы: введение и двоичные числа
Purplemath
Преобразование между различными системами счисления на самом деле довольно просто, но идея, лежащая в основе этого, поначалу может показаться немного запутанной.И хотя тема различных основ может показаться вам несколько бессмысленной, рост компьютеров и компьютерной графики увеличил потребность в знаниях о том, как работать с различными (недесятичными) базовыми системами, особенно с двоичными системами (с единицами и нулями) и шестнадцатеричная система (числа от нуля до девяти, за которыми следуют буквы от A до F).
MathHelp.com
В нашей обычной десятичной системе у нас есть цифры для чисел от нуля до девяти. У нас нет однозначного числа для «десяти». (Римляне использовали иероглиф «X».) Да, мы пишем «10», но это означает «1 десять и 0 единиц». Это две цифры; у нас нет единственной цифры, обозначающей «десять».
Вместо этого, когда нам нужно считать на единицу больше девяти, мы обнуляем столбец единиц и добавляем единицу к столбцу десятков. Когда мы становимся слишком большими в столбце десятков — когда нам нужно на один больше, чем девять десятков и девяти единиц («99»), мы обнуляем столбцы десятков и единиц и добавляем единицу к десятикратным или сотням. , столбец. Следующий столбец — это столбец десять, десять, десять, или тысячи. И так далее, причем каждый столбец большего размера в десять раз больше предыдущего. Мы помещаем цифры в каждый столбец, сообщая нам, сколько копий этой степени десяти нам нужно.
Единственная причина, по которой математика с основанием десять кажется «естественной», а другие — нет, заключается в том, что вы использовали десятичный алгоритм с детства. И (почти) каждая цивилизация использовала математику по основанию десять, вероятно, по той простой причине, что у нас десять пальцев. Если бы вместо этого мы жили в мире мультфильмов, где у нас было бы только четыре пальца на каждой руке (сосчитайте их в следующий раз, когда вы смотрите телевизор или читаете комиксы), тогда «естественной» базовой системой, вероятно, была бы система с основанием восемь, или «восьмеричный».
двоичный
Давайте посмотрим на числа с основанием два или двоичные числа. Как бы вы записали, например, 12 ₁₀ («двенадцать, основание десять») в виде двоичного числа? Вам нужно будет преобразовать в столбцы с основанием два, аналог столбцов с основанием десять. В десятичной системе счисления у вас есть столбцы или «места» для 10 ⁰ = 1, 10 ¹ = 10, 10 ² = 100, 10 ³ = 1000 и так далее. Точно так же в основании два у вас есть столбцы или «места» для 2 ⁰ = 1, 2 ¹ = 2, 2 ² = 4, 2 ³ = 8, 2 ⁴ = 16 и т. Д. вперед.
Первый столбец в математике с основанием два — это столбец единиц. Но в столбце единиц может быть только «0» или «1». Когда вы дойдете до «два», вы обнаружите, что нет единственной цифры, которая обозначает «два» в математике с основанием два. Вместо этого вы помещаете «1» в столбец двоек и «0» в столбец единиц, указывая «1 два и 0 единиц». Двойка по основанию 10 (2 ₁₀) записывается в двоичном формате как 10 ₂.
«Тройка» в основании два на самом деле означает «1, два и 1, один», поэтому записывается как 11 ₂.«Четыре» на самом деле означает дважды два, поэтому мы обнуляем столбец двоек и столбец единиц и ставим «1» в столбец четверок; 4 ₁₀ записывается в двоичной форме как 100 ₂. Вот список первых чисел:
Преобразование между двоичными и десятичными числами довольно просто, если вы помните, что каждая цифра в двоичном числе представляет собой степень двойки.
Преобразует 101100101
₂ в соответствующее десятичное число.
Я перечислю цифры по порядку, так как они появляются в номере, который они мне дали. Затем в другом ряду я отсчитываю эти цифры от ПРАВА, начиная с нуля:
Первая строка выше (помеченная как «цифры») содержит цифры из двоичного числа; вторая строка (обозначенная как «нумерация») содержит степень двойки (основание), соответствующую каждой цифре. Я буду использовать этот список для преобразования каждой цифры в степень двойки, которую он представляет:
1 × 2 ⁸ + 0 × 2 ⁷ + 1 × 2 ⁶ + 1 × 2 ⁵ + 0 × 2 ⁴ + 0 × 2 ³ + 1 × 2 ² + 0 × 2 ¹ + 1 × 2 ⁰
= 1 × 256 + 0 × 128 + 1 × 64 + 1 × 32 + 0 × 16 + 0 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1
= 256 + 64 + 32 + 4 + 1
= 357
Затем 101100101 ₂ преобразуется в 357 ₁₀.
Преобразование десятичных чисел в двоичные почти так же просто: просто разделите на 2.
Преобразует 357
₁₀ в соответствующее двоичное число.
Чтобы выполнить это преобразование, мне нужно несколько раз делить на 2, отслеживая остатки по ходу дела. Смотрите ниже:
Приведенный выше рисунок анимирован на «живой» веб-странице.
Как видите, после многократного деления на 2 я получил следующие остатки:
Эти остатки говорят мне, что такое двоичное число. Я читаю числа с внешней стороны деления, начиная сверху с конечного значения и его остатка, и заканчиваю свой путь вокруг и вниз по правой части последовательного деления. Тогда:
357 ₁₀ преобразуется в 101100101 ₂.
Партнер
Этот метод преобразования работает для преобразования в любое недесятичное основание. Только не забудьте включить эту первую цифру вверху, перед списком остатков. Если вам интересно, объяснение того, почему этот метод работает, доступно здесь.
Вы можете преобразовать десятичную систему счисления в любую другую. Когда вы изучаете эту тему в классе, вы, вероятно, должны будете преобразовывать числа в различные другие основы, поэтому давайте рассмотрим еще несколько примеров …
URL: https://www.purplemath.com/modules/numbbase.htm
Двоичное число — Простая английская Википедия, бесплатная энциклопедия
Двоичная система счисления — это способ записывать числа, используя только две цифры: 0 и 1.Они используются в компьютерах как серия переключателей «выключено» и «включено». В двоичном формате значение разряда каждой цифры вдвое больше, чем у следующей цифры справа (поскольку каждая цифра содержит два значения). В десятичной системе, которую обычно используют люди, каждая цифра содержит десять значений, а разрядное значение увеличивается в десять раз (единицы, десятки, сотни и т. Д.). В любом случае разряд самой правой цифры равен 1.
0 0000 0 + 0 + 0 + 0
1 0001 0 + 0 + 0 + 1
2 0010 0 + 0 + 2 + 0
3 0011 0 + 0 + 2 + 1
4 00100 0 + 0 + 4 + 0 + 0
5 00101 0 + 0 + 4 + 0 + 1
6 00110 0 + 0 + 4 + 2 + 0
7 00111 0 + 0 + 4 + 2 + 1
8 01000 0 + 8 + 0 + 0 + 0
9 01001 0 + 8 + 0 + 0 + 1
10 01010 0 + 8 + 0 + 2 + 0
11 01011 0 + 8 + 0 + 2 + 1
12 01100 0 + 8 + 4 + 0 + 0
13 01101 0 + 8 + 4 + 0 + 1
14 01110 0 + 8 + 4 + 2 + 0
15 01111 0 + 8 + 4 + 2 + 1
16 10000 16 + 0 + 0 + 0 + 0
17 10001 16 + 0 + 0 + 0 + 1
18 10010 16 + 0 + 0 + 2 + 0
19 10011 16 + 0 + 0 + 2 + 1
20 10100 16 + 0 + 4 + 0 + 0
21 10101 16 + 0 + 4 + 0 + 1
22 10110 16 + 0 + 4 + 2 + 0
23 10111 16 + 0 + 4 + 2 + 1
24 11000 16 + 8 + 0 + 0 + 0
25 11001 16 + 8 + 0 + 0 + 1
26 11010 16 + 8 + 0 + 2 + 0
27 11011 16 + 8 + 0 + 2 + 1
28 11100 16 + 8 + 4 + 0 + 0
29 11101 16 + 8 + 4 + 0 + 1
30 11110 16 + 8 + 4 + 2 + 0
Пример: 10110011
Значение последней единицы (крайняя правая позиция) равно 1.
Разрядная цифра перед ней равна 2.
Разрядный знак 0 перед ним равен 4.
Разрядная цифра перед ним равна 8.
Разрядная цифра перед ним равна 16.
Разрядная цифра перед ним равна 32.
Разрядное значение 0 перед ним — 64.
Разрядное значение 1 перед этим равно 128.
Если сложить все разрядные значения с 1, получится 1 + 2 + 16 + 32 + 128 = 179.Для удобства двоичные цифры (для краткости биты) обычно группируются в две группы по 4 бита. Это 8 бит, или байт, и записывается в шестнадцатеричной системе счисления. Это будет показано как 1011 0011 = B3.
Арифметика — это способ сложения двух или более двоичных чисел. В двоичной арифметике есть четыре правила. Они есть:
0 + 0 = 0
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10 (2)
1 + 1 + 1 = 11 (3)
Это потому, что в двоичном формате только две цифры; 0 и 1.Из-за этого числа два и три нужно представлять как-то иначе. Вот как рассчитывается двоичное значение для трех:
Колонна Десятичное значение двоичный
1 2 1
2 1 1
Это показывает, что двоичное значение будет 11 .
Страница из «Explication de l’Arithmétique Binaire» , Лейбница, 1703 г.
Binary — это система счисления, которая представляет собой последовательность единиц и нулей, означающих (для компьютеров) включение и выключение.Это основание 2, а наша система счисления (десятичная) — 10, где используется 10 цифр, а не 2.
В 1817 году Джон Лесли (шотландский математик) предположил, что первобытные общества, возможно, развили счет с помощью предметов (например, гальки) еще до того, как у них появились даже слова, чтобы описать общее количество задействованных объектов. Следующим шагом в эволюции подсчета было бы открытие того, что эту кучу объектов можно сократить до двух куч равных размеров (оставив либо 0 объектов, либо только остаток от 1).Затем этот остаток (нечетный = 1 или четный = 0) будет записан, и одна из стопок будет удалена, а вторая стопка будет затем разделена на две дополнительные стопки. Если вы запишите остаток, оставшийся после того, как исходная стопка была разделена пополам, и продолжите повторять этот процесс; разделив одну из оставшихся стопок пополам, а затем удалив одну из этих стопок и продолжив разделение оставшейся стопки на две стопки, вы в конечном итоге останетесь либо с 2, либо с 3 объектами. Если вы запишете оставшийся остаток (нечетное = 1 или четное = 0) в конце каждого сокращения, вы в конечном итоге останетесь с итоговой записью из 1 и 0, которая будет двоичным представлением вашей исходной стопки объектов.Таким образом, вместо того, чтобы представлять вашу исходную кучу объектов повторяющимся числом, метками или токенами (которые для больших чисел могут быть довольно длинными), вы уменьшили вашу кучу объектов до более компактного двоичного числа. Если вам нужно восстановить исходное количество объектов из этого суммированного двоичного числа, это достаточно просто сделать; просто начав с первой метки подсчета, а затем удвоив ее и добавив единицу, если следующее двоичное число содержит 1, а затем продолжая процесс до достижения конца двоичного числа.{1} = 22}
из двоичного числа в десятичное и как преобразовать двоичное в десятичное
Преобразование двоичных чисел в десятичные (с основанием 2 на основание 10) и обратно является важной концепцией для понимания, поскольку двоичная система счисления формирует основу для всех компьютерных и цифровых систем.
Десятичная или «денарная» система подсчета использует систему счисления по основанию 10, где каждая цифра в числе принимает одно из десяти возможных значений, называемых «цифрами», от 0 до 9, например. 213 ₁₀ (двести тринадцать).
Но помимо 10 цифр (от 0 до 9), десятичная система счисления также имеет операции сложения (+), вычитания (-), умножения (×) и деления (÷).
В десятичной системе каждая цифра имеет значение, в десять раз превышающее ее предыдущее число, и эта десятичная система счисления использует набор символов b вместе с основанием q для определения веса каждой цифры в числе. Например, шесть из шестидесяти имеет меньший вес, чем шесть из шести сотен.Затем в двоичной системе счисления нам нужен способ преобразования десятичного числа в двоичное число , а также обратно из двоичного числа в десятичное число .
Любую систему нумерации можно резюмировать следующим соотношением:
N = b _i q ⁱ
где: N — действительное положительное число
b — цифра
q — базовое значение
, а целое число (i) может быть положительным, отрицательным или нулевым
N = b _n q ⁿ… b ₃ q ³ + b ₂ q ² + b ₁ q ¹ + b ₀ q ⁰ + b _-1 q ^-1 + b _-2 q ^-2… и т. Д.
Десятичная система счисления
В десятичной системе счисления, системе счисления по основанию 10 (den) или десятичной системе счисления каждый столбец целых чисел имеет значения единиц, десятков, сотен, тысяч и т. Д., Когда мы перемещаемся по числу справа налево. Математически эти значения записываются как 10 ⁰, 10 ¹, 10 ², 10 ³ и т. Д. Тогда каждая позиция слева от десятичной точки указывает на увеличенную положительную степень 10. Аналогично для дробных чисел. вес числа становится более отрицательным при движении слева направо, 10 ^-1, 10 ^-2, 10 ^-3 и т. д.
Итак, мы можем видеть, что «десятичная система счисления» имеет основание 10 или по модулю 10 (иногда называемое MOD-10) с позицией каждой цифры в десятичной системе, указывающей величину или вес этой цифры как q равно «10» (от 0 до 9). Например, 20 (двадцать) — это то же самое, что сказать 2 x 10 ¹, и, следовательно, 400 (четыреста) — то же самое, что сказать 4 x 10 ².
Значение любого десятичного числа будет равно сумме его цифр, умноженной на их соответствующие веса.Например: N = 6163 ₁₀ (шесть тысяч сто шестьдесят три) в десятичном формате равно:
6000 + 100 + 60 + 3 = 6163
или можно записать, отражая вес каждой цифры, как:
(6 × 1000) + (1 × 100) + (6 × 10) + (3 × 1) = 6163
или в полиномиальной форме:
(6 × 10 ³) + (1 × 10 ²) + (6 × 10 ¹) + (3 × 10 ⁰) = 6163
Где в этом примере десятичной системы счисления самая левая цифра является самой старшей цифрой или MSD, а самая правая цифра — младшей значащей цифрой или LSD.Другими словами, цифра 6 — это МСД, так как ее крайняя левая позиция имеет наибольший вес, а цифра 3 — это LSD, поскольку ее крайняя правая позиция имеет наименьший вес.
Двоичная система нумерации
Двоичная система счисления — самая фундаментальная система счисления во всех цифровых и компьютерных системах, и двоичные числа подчиняются тому же набору правил, что и десятичная система счисления. Но в отличие от десятичной системы, в которой используется степень десяти, двоичная система счисления работает со степенью двойки, обеспечивая преобразование двоичного числа в десятичное из основания-2 в основание-10.
Цифровые логические и компьютерные системы используют только два значения или состояния для представления условия, логический уровень «1» или логический уровень «0», и каждый «0» и «1» считается одной цифрой в Базе. -of-2 (bi) или «двоичная система счисления».
В двоичной системе счисления двоичное число, такое как 101100101, выражается строкой «1» и «0», причем каждая цифра в строке справа налево имеет значение, вдвое превышающее значение предыдущей цифры. Но поскольку это двоичная цифра, она может иметь значение только «1» или «0», поэтому q равно «2» (0 или 1), а его позиция указывает его вес в строке.
Поскольку десятичное число является взвешенным числом, преобразование десятичного числа в двоичное (с основанием 10 в основание 2) также даст взвешенное двоичное число с самым правым битом, являющимся младшим значащим битом или младшим значащим битом , а крайний левый бит — это самый старший бит или MSB , и мы можем представить это как:
Представление двоичного числа
MSB Двоичная цифра LSB
2 ⁸ 2 ⁷ 2 ⁶ 2 ⁵ 2 ⁴ 2 ³ 2 ² 2 ¹ 2 ⁰
256 128 64 32 16 8 4 2 1
Выше мы видели, что в десятичной системе счисления вес каждой цифры справа налево увеличивается в 10 раз.В двоичной системе счисления вес каждой цифры увеличивается в 2 раза, как показано. Тогда первая цифра имеет вес 1 (2 ⁰), вторая цифра имеет вес 2 (2 ¹), третья — вес 4 (2 ²), четвертая — вес 8. (2 ³) и так далее.
Так, например, преобразование двоичного числа в десятичное число будет:
Десятичное число Значение 256 128 64 32 16 8 4 2 1
Двоичное значение 1 0 1 1 0 0 1 0 1
Сложив вместе ВСЕ значения десятичных чисел справа налево в позициях, которые представлены цифрой «1», мы получим: (256) + (64) + (32) + (4) + (1) = 357 ₁₀ или триста пятьдесят семь в виде десятичного числа.
Затем мы можем преобразовать двоичное число в десятичное, найдя десятичный эквивалент двоичного массива цифр 101100101 ₂ и расширив двоичные цифры в ряд с основанием 2, что даст эквивалент 357 ₁₀ в десятичном или десятичном виде.
Обратите внимание, что в системах преобразования чисел «индексы» используются для обозначения соответствующей базовой системы нумерации, 1001 ₂ = 9 ₁₀. Если после числа не используется нижний индекс, то обычно предполагается, что оно десятичное.
Повторный метод деления на 2
Выше мы видели, как преобразовать двоичное число в десятичное, но как преобразовать десятичное число в двоичное число. Простой метод преобразования десятичных эквивалентов в двоичные числа состоит в том, чтобы записать десятичное число и непрерывно делить его на 2 (два), чтобы получить результат, а остаток — либо «1», либо «0» до окончательного результата. равно нулю.
Так например. Преобразуйте десятичное число 294 ₁₀ в его двоичный эквивалент.
Номер 294
Разделение каждого десятичного числа на «2», как показано, даст результат плюс остаток.
Если разделяемое десятичное число четное, результат будет целым, а остаток будет равен «0». Если десятичное число нечетное, результат не будет полностью разделен, а остаток будет равен «1».
Двоичный результат получается путем размещения всех остатков по порядку, при этом младший бит (LSB) находится вверху, а старший бит (MSB) — внизу.
разделить на 2
результат 147 остаток 0 (младший значащий бит)
разделить на 2
результат 73 остаток 1
разделить на 2
результат 36 остаток 1
разделить на 2
результат 18 остаток 0
разделить на 2
результат 9 остаток 0
разделить на 2
результат 4 остаток 1
разделить на 2
результат 2 остаток 0
разделить на 2
результат 1 остаток 0
разделить на 2
результат 0 остаток 1 (MSB)
Этот метод преобразования десятичного числа в двоичное с делением на 2 дает десятичное число 294 ₁₀, эквивалентное 100100110 ₂ в двоичном формате, при чтении справа налево.Этот метод деления на 2 также будет работать для преобразования в другие системы счисления.
Затем мы видим, что основными характеристиками двоичной системы нумерации является то, что каждая «двоичная цифра» или «бит» имеет значение либо «1», либо «0», причем каждый бит имеет вес или значение, вдвое превышающее значение его предыдущий бит начинается с младшего или младшего значащего бита (LSB), и это называется методом «суммы весов».
Таким образом, мы можем преобразовать десятичное число в двоичное число либо с помощью метода суммы весов, либо с помощью метода повторного деления на 2, и преобразовать двоичное число в десятичное, найдя его сумму весов.
Имена и префиксы двоичных чисел
Двоичные числа можно складывать и вычитать так же, как десятичные числа, при этом результат объединяется в один из нескольких диапазонов размера в зависимости от количества используемых битов. Двоичные числа бывают трех основных форм — бит, байт и слово, где бит — это одна двоичная цифра, байт — восемь двоичных цифр, а слово — 16 двоичных цифр.
Классификация отдельных битов на более крупные группы обычно обозначается следующими более распространенными названиями:
Количество двоичных цифр (бит) Общее название
1 Бит
4 Клев
8 Байт
16 Слово
32 Двойное слово
64 Четверное слово
Кроме того, при преобразовании из двоичного в десятичный или даже из десятичного в двоичный , мы должны быть осторожны, чтобы не перепутать два набора чисел.Например, если мы напишем на странице цифры 10, это может означать число «десять», если мы предполагаем, что это десятичное число, или в равной степени это может быть «1» и «0» вместе в двоичном формате, что является равно числу два в взвешенном десятичном формате сверху.
Один из способов решить эту проблему при преобразовании двоичных чисел в десятичные и определить, являются ли используемые цифры или числа десятичными или двоичными, — это написать небольшое число, называемое «нижним индексом», после последней цифры, чтобы показать основу системы счисления. использовался.
Так, например, если бы мы использовали строку двоичных чисел, мы бы добавили нижний индекс «2» для обозначения числа с основанием 2, чтобы число было записано как 10 ₂. Точно так же, если бы это было стандартное десятичное число, мы бы добавили нижний индекс «10» для обозначения числа с основанием 10, чтобы число было записано как 10 ₁₀.
Сегодня, когда микроконтроллеры или микропроцессорные системы становятся все более крупными, отдельные двоичные цифры (биты) теперь сгруппированы в 8, чтобы сформировать один БАЙТ, причем большинство компьютерного оборудования, такого как жесткие диски и модули памяти, обычно указывают свой размер в мегабайтах или даже гигабайты.
Количество байтов Общее название
1,024 (2 ¹⁰) килобайт (кб)
1 048 576 (2 ²⁰) Мегабайт (Мб)
1,073,741,824 (2 ³⁰) Гигабайт (Гб)
очень длинный номер! (2 ⁴⁰) Терабайт (Тб)
Сводка из двоичного в десятичный
«БИТ» — это сокращенный термин, производный от BINary digiT
Двоичная система имеет только два состояния, логический «0» и логический «1», что дает основание 2
Десятичная система использует 10 различных цифр, от 0 до 9, что дает основание из 10
Двоичное число — это взвешенное число, взвешенное значение которого увеличивается справа налево.
Вес двоичной цифры удваивается справа налево
Десятичное число можно преобразовать в двоичное с помощью метода суммы весов или метода повторного деления на 2
При преобразовании чисел из двоичного в десятичное или из десятичного в двоичное используются индексы, чтобы избежать ошибок
Преобразование двоичного числа в десятичное (основание 2 в основание 10) или десятичного числа в двоичное (основание 10 на основание 2) может быть выполнено различными способами, как показано выше.При преобразовании десятичных чисел в двоичные числа важно помнить, какой бит является младшим (LSB), а какой — самым старшим (MSB).
В следующем уроке о двоичной логике> мы рассмотрим преобразование двоичных чисел в шестнадцатеричных чисел и наоборот и покажем, что двоичные числа могут быть представлены как буквами, так и числами.
Двоичные числа и двоичная система счисления
В отличие от линейных или аналоговых схем, таких как усилители переменного тока, которые обрабатывают сигналы, которые постоянно меняются от одного значения к другому, например амплитуда или частота, цифровые схемы обрабатывают сигналы, содержащие только два уровня или состояния напряжения, помеченные как «Логика». 0 »и логическая« 1 ».
Как правило, логическая «1» представляет более высокое напряжение, например 5 вольт, которое обычно называют ВЫСОКИМ значением, в то время как логический «0» представляет низкое напряжение, такое как 0 вольт или заземление, и обычно обозначается как НИЗКОЕ значение. Эти два дискретных уровня напряжения, представляющие цифровые значения «единиц» (единиц) и «нулей» (нулей), обычно называются: BI nary digi TS , а в цифровых и вычислительных схемах и приложениях они обычно называются двоичный БИТЫ .
Двоичные биты нулей и единиц
Поскольку существует только два допустимых логических значения для представления либо логической «1», либо логического «0», делает систему с использованием двоичных чисел идеальной для использования в цифровых или электронных схемах и системах.
Двоичная система счисления — это система счисления с основанием 2, которая следует тому же набору математических правил, что и обычно используемая десятичная система счисления или система счисления с основанием 10. Таким образом, вместо степеней десяти ( 10 ⁿ ), например: 1, 10, 100, 1000 и т. Д., Двоичные числа используют степени двойки ( 2 ⁿ ), эффективно удваивая значение каждого последующего бита. как идет, например: 1, 2, 4, 8, 16, 32 и т. д.
Напряжение, используемое для представления цифровой схемы, может иметь любое значение, но обычно в цифровых и компьютерных системах они поддерживаются значительно ниже 10 вольт. В цифровых системах эти напряжения называются «логическими уровнями», и в идеале один уровень напряжения представляет «ВЫСОКОЕ» состояние, в то время как другой другой, более низкий уровень напряжения представляет «НИЗКОЕ» состояние. В двоичной системе счисления используются оба этих состояния.
Цифровые осциллограммы или сигналы состоят из дискретных или различных уровней напряжения, которые меняются взад и вперед между этими двумя состояниями «ВЫСОКИЙ» и «НИЗКИЙ».Но что делает сигнал или напряжение «цифровым» и как мы можем представить эти «ВЫСОКИЙ» и «НИЗКИЙ» уровни напряжения. Электронные схемы и системы можно разделить на две основные категории.
• Аналоговые схемы — Аналоговые или линейные схемы усиливают или реагируют на непрерывно изменяющиеся уровни напряжения, которые могут чередоваться между положительным и отрицательным значением в течение определенного периода времени.
• Цифровые схемы — Цифровые схемы создают или реагируют на два различных положительных или отрицательных уровня напряжения, представляющих либо логический уровень «1», либо логический уровень «0».
Аналоговый выход напряжения
Простой пример различий между аналоговой (или аналоговой) схемой и цифровой схемой показан ниже:
Представление аналогового выхода напряжения
Это аналоговая схема. Выходной сигнал потенциометра изменяется при вращении клеммы стеклоочистителя, создавая бесконечное количество точек выходного напряжения от 0 вольт до V _MAX. Выходное напряжение может меняться медленно или быстро от одного значения к другому, поэтому нет резких или скачкообразных изменений между двумя уровнями напряжения, что приводит к непрерывному изменению выходного напряжения.Примеры аналоговых сигналов включают температуру, давление, уровни жидкости и интенсивность света.
Цифровой выход напряжения
В этом примере цифровой схемы стеклоочиститель потенциометра был заменен одним поворотным переключателем, который, в свою очередь, подключен к каждому стыку цепи последовательного резистора, образуя основную сеть делителя потенциала. Когда переключатель поворачивается от одного положения (или узла) к следующему выходному напряжению, V _OUT быстро изменяется с дискретными и характерными уровнями напряжения, кратными 1.0 вольт при каждом коммутационном действии или шаге, как показано на графике выходных данных.
Так, например, выходное напряжение будет 2, 3, 5 и т. Д., Но НЕ 2,5, 3,1 или 4,6 В. Более точные уровни выходного напряжения можно легко получить, используя многопозиционный переключатель и увеличивая количество резистивных элементов в сети делителя потенциала, тем самым увеличивая количество дискретных шагов переключения.
Представление цифрового выхода напряжения
Тогда мы можем видеть, что основное различие между аналоговым сигналом или величиной и цифровой величиной состоит в том, что «аналоговая» величина непрерывно изменяется с течением времени, в то время как «цифровая» величина имеет дискретные (пошаговые) значения.От «LOW» до «HIGH» или от «HIGH» до «LOW».
Хорошим примером этого может быть диммер в вашем доме, который изменяет интенсивность (яркость) света вверх или вниз, когда он вращается между полностью включенным (максимальная яркость) и полностью выключенным, создавая аналоговый выход, который непрерывно изменяется. С другой стороны, при использовании стандартного настенного выключателя света свет либо включен (ВЫСОКИЙ), либо выключен (НИЗКИЙ). Результатом является то, что не существует промежуточного варианта создания цифрового выхода ВКЛ-ВЫКЛ.
Некоторые схемы объединяют как аналоговые, так и цифровые сигналы, такие как аналого-цифровой преобразователь (АЦП) или цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП). В любом случае цифровой входной или выходной сигнал представляет собой двоичное числовое значение, эквивалентное аналоговому сигналу.
Цифровые логические уровни
Во всех электронных и компьютерных схемах только два логических уровня могут представлять одно состояние. Эти уровни упоминаются как логическая 1 или логический 0, ВЫСОКИЙ или НИЗКИЙ, Истина или Ложь, ВКЛ или ВЫКЛ.В большинстве логических систем используется положительная логика, и в этом случае логический «0» представлен нулевым напряжением, а логическая «1» — более высоким напряжением. Например, +5 В для логики TTL, как показано.
Цифровое представление значений
Первый штат Второй штат
Логический «0» Логическая «1»
НИЗКИЙ ВЫСОКИЙ
ЛОЖНО ИСТИНА
Выход низкого напряжения Выход высокого напряжения
0 В или земля +5 Вольт
Обычно переключение с одного уровня напряжения, «> 0» на «1» или «1» на «0», выполняется как можно быстрее, чтобы предотвратить пропущенное переключение логической схемы.В стандартных ИС TTL (транзисторно-транзисторная логика) существует заранее определенный диапазон пределов входного и выходного напряжения для определения того, что именно является значением логической «1» и что такое значение логического «0», как показано ниже.
Уровни входного и выходного напряжения TTL
Затем при использовании источника питания +5 В любое входное напряжение от 2,0 В до 5 В распознается как значение логической «1», а любое входное напряжение ниже 0,8 В распознается как значение логического «0». В то время как выход логического элемента между 2.7В и 5В представляют значение логической «1», а выходное напряжение ниже 0,4 В представляет значение логического «0». Это называется «положительной логикой» и используется в этих учебных пособиях по цифровой логике.
Тогда двоичные числа обычно используются в цифровых и компьютерных схемах и представлены либо логическим «0», либо логической «1». Двоичные системы счисления лучше всего подходят для цифрового кодирования двоичных сигналов, поскольку они используют только две цифры, единицу и ноль, для формирования разных цифр. Итак, в этом разделе о двоичных числах мы рассмотрим, как преобразовать десятичные числа или числа с основанием 10 в восьмеричные, шестнадцатеричные и двоичные числа.
Итак, в следующем уроке о двоичных числах и двоичной системе счисления мы рассмотрим преобразование десятичных чисел в двоичные числа и наоборот и представим концепцию байта и слова для представления частей большого числа большее двоичное число.
Двоичная система счисления — Диаграмма, преобразование и операции
Двоичная система счисления используется для определения числа в двоичной системе.Двоичная система используется для представления числа только в виде двух чисел, 0 и 1. Двоичная система счисления обычно используется в компьютерных языках, таких как Java, C ++. Поскольку компьютер понимает только двоичный язык, равный 0 или 1, все входные данные, передаваемые компьютеру, декодируются им в последовательности нулей или единиц для дальнейшей обработки. В этом уроке мы узнаем, как преобразовать десятичное число в его двоичное число и преобразовать двоичное число в десятичное.
Что такое двоичная система счисления?
«Би» в переводе с двоичного означает «два».Следовательно, это возвращает линию к представлению числа только в терминах 0 и 1. Десятичные числа можно легко выразить в двоичной системе счисления. Десятичные и двоичные числа имеют разные обозначения. Десятичное число представлено основанием 10, а двоичное число представлено основанием 2. Например, 2 в десятичной системе счисления представляется как \ ((2) _ {10} \). Двоичное число для 2 представлено как \ ((10) _ {2} \). Следовательно, 10 — это двоичное представление числа 2.
Схема двоичной системы счисления
Цифры от 1 до 10 можно выразить в двоичной системе счисления следующим образом:
Преобразование двоичного числа в десятичное
Двоичное число можно преобразовать в десятичное, выразив каждую цифру как произведение данного числа 1 или 0 в соответствующей степени 2. Если двоичное число состоит из n цифр, B = \ (a_ {n-1} … a_ {3} a_ {2} a_ {1} a_ {0} \), десятичное число для него задается как, D = (a ₀ × 2 ⁰) + (a ₁ × 2 ¹) + (a ₂ × 2 ²) +…
Давайте разберемся в этом на примере.
Мы можем преобразовать 10101 в форму десятичного числа следующим образом:
Двоичное число 10101 выражается как \ ((10101) _ {2} \) = (1 × 2 ⁴) + (0 × 2 ³) + (1 × 2 ²) + (0 × 2 ¹) + (1 × 2 ⁰) = \ ((21) _ {10} \). Таким образом, двоичное число 10101 выражается как \ ((21) _ {10} \).
Десятичное преобразование в двоичное
Десятичное число можно преобразовать в двоичное, разделив полученное число на 2, пока мы не получим частное как 1.Цифры пишутся снизу вверх.
Давайте разберемся в этом на примере.
Мы можем преобразовать 30 в двоичную форму числа следующим образом:

Десятичное число 30 выражается как \ ((30) _ {10} \) = \ ((11110) _ {2} \).
Операции с двоичными числами
Сложение двоичных файлов
Складываем двоичные числа по цифре и получаем ответ на сложение. При сложении двух двоичных чисел важно помнить приведенную ниже таблицу.
Двоичное вычитание
Двоичные числа вычитаются по цифре, и получается ответ. Приведенная ниже таблица учитывается при вычитании двух двоичных чисел.
Двоичное умножение
Правила умножения любых двух двоичных чисел имеют следующий вид:
Дополнение двоичного числа до 1 и 2
Дополнение двоичного числа до единицы задается путем инвертирования цифр двоичного числа.Например, дополнение до 1 к \ ((101) _ {2} \) равно \ ((010) _ {2} \).
Дополнение
до 2 двоичного числа задается путем инвертирования цифр двоичного числа и прибавления 1 к младшему значащему биту. Например, дополнение до 2 к \ ((111) _ {2} \) — это \ ((001) _ {2} \), которое получается путем взятия дополнения до 1 к \ ((111) _ {2} \) и добавления 1 в младшем разряде.
Полезные советы
Вот несколько важных моментов, которые следует помнить о двоичной системе счисления:
Двоичное число состоит из двух чисел: 0 и 1.
Двоичные числа представлены цифрой 2 в основании. Например, \ ((101) _ {2} \).
Каждая цифра двоичного числа называется битом. Например, \ ((111) _ {2} \) — это трехбитная двоичная система.
Двоичное сложение также называется операцией «И».
Двоичное умножение также называется операцией «ИЛИ».
Двоичное вычитание можно выполнить, взяв дополнение двоичного числа до единиц и двоек.
Старшая цифра двоичного числа представляет знак двоичного числа, которое используется для выполнения двоичных операций со знаком.1 представляет отрицательный знак, а 0 — положительный знак.
Темы, связанные с двоичной системой счисления
Часто задаваемые вопросы о двоичной системе счисления
Что такое двоичная система счисления?
Система представления, в которой число может быть выражено только двумя цифрами (0 и 1) с основанием 2, является известной двоичной системой счисления.
Почему в компьютерах используется двоичная система счисления?
Компьютерные системы всегда обрабатывают заданные инструкции, используя 0 или 1, поскольку они находятся либо во включенном, либо в выключенном состоянии.Это позволяет им быстрее обрабатывать информацию.
Что означает 10101 в двоичной системе счисления?
10101 означает 21 в двоичной системе счисления.
Как преобразовать десятичное число в двоичную систему счисления?
Десятичное число можно преобразовать в двоичную систему счисления путем деления данного числа на 2, пока мы не получим частное как 1. Числа записываются снизу вверх.
Как преобразовать двоичное число в десятичное?
Мы можем преобразовать двоичное число в десятичное, выразив каждую цифру как произведение данного числа 1 или 0 в соответствующей степени 2.Если двоичное число состоит из n цифр, B = a _n-1 ..a ₃ a ₂ a ₁ a ₀, десятичное число для него задается как, D = (a ₀ × 2 ⁰) + (a ₁ × 2 ¹) + (a ₂ × 2 ²) + …
Что означает 1011 в двоичной системе счисления?
1011 означает 11 в двоичной системе счисления как 1 × 2 ⁰ + 1 × 2 ¹ + 0 × 2 ² + 1 × 2 ³ = 1+ 2+ 0 + 8 = 11.
Как написать 13 в двоичной системе счисления?
13 означает 1101 в двоичной системе счисления. Мы непрерывно делим 13 на 2, пока частное не станет 1. В этом случае необходимо выполнить следующие шаги:
13/2 дает 6 как частное и 1 как остаток.
6/2 дает 3 как частное и 0 как остаток.
3/2 дает 1 как частное и 1 как остаток.
Теперь число записывается снизу вверх как \ ((13) _ {10} \) = \ ((1101) _ {2} \).
Системы счета, двоичная система
градусов точности
Система подсчета, которую вы используете, влияет на точность некоторых вычислений, что может показаться ошибочным. Один из примеров можно увидеть в извлечении квадратного корня из 3 в десятичной системе счисления. Следуйте методу из части 2, чтобы извлечь квадратный корень из 2.
ПРИБЛИЖЕНИЯ
Обратите внимание, как каждое «место» в десятичной системе дает более близкое приближение к квадратному корню из 3.Чтобы проверить это, посмотрите, насколько близкое возведение корня в квадрат приводит вас к квадрату, с которого вы начали: 3.
Первое место — 1, который в квадрате равен только 1 — ошибка 2 по сравнению с истинным квадратом 3. Если бы использовалось 2, ответ был бы ближе: квадрат 4 — ошибка 1. Но наше правило таково: оставаться ниже истинного значения. Другой метод может использовать ближайшее значение перед переходом к следующему шагу.
Второе место приближается быстро. 1,7 в квадрате составляет 2,89, уменьшая ошибку до 0,11. третье место, 1.73 дает квадрат 2,9929 — ошибка 0,0071. Четвертое место, 1,732, подходит намного ближе, в результате чего получается квадрат 2,999824 — ошибка 0,000176.
Дроби в расширенной системе счета
Если вы использовали систему septimal (7s) , доля 1/7 была бы 0,1 — совершенно точно, только с одним знаком после запятой (не десятичной точкой, если эта система является septimal). В десятичной системе дробь, полученная в результате деления на 7, не так проста.
Следуйте той же процедуре регистрации ошибок. Хотя прогрессивное уменьшение погрешности наблюдается аналогично, больший интерес представляет вид повторяющихся десятичных дробей.
ФРАКЦИИ И ДЕСЯТИЧНЫЕ ЧАСТИ
Эти проблемы должны заставить вас задаться вопросом, насколько точны и надежны эти цифры. Что означает ошибка 1 часть на 1 миллион? случайно ли вы (что очень маловероятно) используете семеричную систему вместо десятичной, насколько точна 1/7?
По порядку величины
С порядков величины начинается еще одна совершенно новая концепция в математике.Чтобы показать другой угол этой концепции, предположим, что вы приближаетесь к области, состоящей из идеального квадрата. Чтобы получить нужную площадь более точно, вы добавляете или вычитаете немного к обоим измерениям или от них. Начиная с квадрата размера L, вы либо добавляете, либо вычитаете маленькие кусочки S из каждого измерения. Изменение площади состоит из двух маленьких, длинных ломтиков (размеры L на S) и одного гораздо меньшего кусочка, который измеряет S в обоих направлениях. Чем меньше S относительно L, тем меньше S в квадрате относительно SL.
Вы можете расширить эту концепцию до аналогичной регулировки кубического объема. Теперь, начиная с большого куба, L в каждую сторону, вы добавляете или вычитаете 3 плиты размером L квадрат и толщиной S, три палочки длиной L на квадрат S и один очень крошечный кубик размером S. Если S составляет 1/10 L (и может быть намного меньше), то S в кубе составляет 1/1000 куба L.
ПРИКАЗЫ МАГНИТУДЫ

Вы можете показать ту же прогрессию алгебраически. Для этого, если a — небольшая дробь, тогда степени a, a ², a ³, a ⁴ и т. Д., состоят из нисходящего ряда порядков. Обратите внимание, что последовательные степени a имеют ряд коэффициентов, которые, если взять четвертую степень, равны 1, 4, 6, 4 и 1.
Все еще придерживаясь нашей знакомой десятичной системы, вы заменяете a другими значениями и показываете, как их изменение меняет последовательные степени (1 + a). Если a равно 0,1, последующие степени начинают «перетекать» в более ранние «места». До 4-й степени первые две цифры — 1,1, 1,2, 1,3, а в 4-й степени — 1.5 было бы ближе.
Если a равно 0,01, более высокие степени не влияют на первый член, который теперь находится во втором десятичном разряде. Отбросьте то, что следует за вторым местом, первые два места теперь 1.01, 1.02, 1.03 и 1.04. Дальнейшие слагаемые в этой 4-й степени дают только 1,0406 на 4-м месте.
Однако, если a равно 0,2, более поздние термины гораздо раньше переходят в более ранние. Заблокированные цифры показывают это вторжение.
Системы счета
До того, как были изобретены электронные цифровые устройства, мы использовали счетчики с маленькими колесиками, на которых были цифры.Цифры, которые отображались через переднее окно, были похожи на те, которые отображаются на электронных цифровых устройствах. Если вы сняли крышку с остальной части колеса, вы могли увидеть, как оно работает, что помогло вам понять системы счисления.
В крайнем правом колесе отсчитывается от 0 до 9 по десятичной системе. Когда дошло до 9, оно переместилось с 9 на 0, а следующее колесо переместилось с 0 на 1. Каждый раз, когда первое колесо переходило с 9 на 0, следующее колесо перемещалось еще на 1, пока не вернулось к 9. Затем , два колеса читают 99.Поскольку на этот раз первое колесо переместилось с 9 на 0, следующее колесо также переместится с 9 на 0, а третье колесо переместится с 0 на 1, в результате чего будет показано 100.
Двенадцатеричная система
Десятичная система (с основанием десять) — не единственная система, которую вы можете использовать. Много лет назад в некоторых культурах использовалась двенадцатеричная система : — счет до двенадцати вместо десяти. Чтобы использовать систему счетчика колес, вам понадобится еще два числа на каждом колесе. В показанных здесь колесах дополнительными символами являются t и e для десяти и одиннадцати.Современные цифровые системы чаще используют систему счисления 16, называемую шестнадцатеричной системой.
Первые шесть букв алфавита завершают однозначные числа до 15.
десятичный
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Шестнадцатеричный
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 А Б В Г Д Е Ф
В десятичной системе «10» (один ноль) означает десять. В двенадцатеричной системе «10» означает двенадцать.В шестнадцатеричном формате «10» означает шестнадцать. Чтобы поупражняться в разных системах, используйте немного двенадцатеричную систему. Vbu увидит, почему в калькуляторах или компьютерах используется шестнадцатеричный код внутри — они обычно считывают десятичное.
Преобразование десятичной системы в двенадцатеричную
Зачем работать в двенадцатеричной системе, если она никогда не использовалась? Поскольку что-то незнакомое заставляет задуматься, легче понять, что используется. Шестнадцатеричная система основана на двоичной системе счисления (основание два), что не так просто для систем, использующих большую числовую базу, потому что трудно увидеть что-то, имеющее только два состояния (например, да или нет), как подсчет.Итак, посмотрим на преобразование десятичной системы в двенадцатеричную.
Чтобы узнать, сколько раз число считается до двенадцати, нужно разделить число на 12 в знакомой десятичной системе. Остаток внизу — это количество единиц, оставшихся после того, как число полных двенадцати в частном было передано на счетчик двенадцати. Затем снова разделите на 12. На этот раз остаток — одиннадцать. В двенадцатеричной системе все числа до одиннадцати должны содержать одну цифру, поэтому используется е. «Вы можете выполнить оставшуюся часть этого преобразования.Двенадцатеричный эквивалент десятичного числа 143131 — 6t9e7.
Преобразование десятичной 143131 в двенадцатеричную
Преобразование двенадцатеричной системы в десятичную
Как преобразовать двенадцатеричную систему в десятичную? Просто измените процесс в обратном порядке. Используя двенадцатеричное число, разделите двенадцатеричное число на десять, сколько раз необходимо. Вам понадобится как минимум столбец десятков в двенадцатеричной таблице умножения. Вы, вероятно, были знакомы с колонкой «двенадцать раз» — достаточно, чтобы сделать это довольно легко.Однако таким образом вам нужно использовать столбец десять раз в системе двенадцати. Эта система незнакома и заставляет задуматься.
Спуститесь по столбцу десять раз. Десять умножить на два — 18. Это означает, что 1 двенадцать и 8, которые вы обычно называете двадцатью. Двенадцать и восемь составляют двадцать, не так ли? Затем десять умножить на 3 равно 26, что означает 2 двенадцати и 6. Две двенадцать равняются 24, а шесть составляют то, что обычно называется 30. Закончите до конца столбца.
ТАБЛИЦА ДВОЙНОГО УМНОЖЕНИЯ
Преобразовать двенадцатеричный 6 + 9e7 в десятичный
Двоичный счет
Сложность работы в двоичном формате заключается в том, что каждое место имеет только два «состояния»: 0 и 1.Вы не считаете до чего-то, а затем переходите к следующему месту. Если у вас уже есть 1, следующая 1 вернет его к 0 и передаст 1 следующему месту. Если у вас есть строка из 1 с, то добавление еще одной 1 сдвигает их все обратно к 0 и передает 1 на следующее место (справа налево).
На панели окна здесь десятичный эквивалент числа заменяет двоичные числа. В двоичной системе каждое место будет либо 1, либо 0.
Преобразование десятичного числа в двоичное
Здесь, вверху, значения разрядов в двоичном формате, которые имеют 1 вместо 0, перечислены как десятичные.Начните с числа в десятичной форме, 1546. Во-первых, 11-й двоичный столбец равен 1024. Это помещает 1 в 11-й двоичный столбец. Вычтите 1024 из 1546, оставив 522. Затем 10-й столбец в двоичной системе равен 512, поэтому вычтите 512 из 522, оставив 10, и поместите 1 в 10-й столбец двоичной системы. Если осталось 10, следующая двоичная цифра, которую вы можете использовать, — это 4-й столбец, то есть 8. Таким образом, мы пропускаем столбцы с 9-го по 5-й, помещаем 1 в 4-й столбец и вычитаем 8 из 10 (оставляя 2). 2 помещает 1 во 2-й столбец двоичного кода, что завершает преобразование.
Чтобы завершить то, что началось в предыдущем разделе, в следующей таблице перечислены двоичные эквиваленты десятичных чисел от 1 до 30.
Двоичное умножение
Хотя вы вводите данные в свой калькулятор или компьютер в знакомой десятичной системе счисления, все они используют двоичный код для выполнения всех выполняемых математических функций. Попробуйте выполнить умножение образца, в основном так, как это делает ваш калькулятор. Предположим, вы умножаете 37 на 27. Во-первых, он должен преобразовать каждое число в двоичное, что он и делает, когда вы вводите числа.Я немного упрощу его, преобразовав его в истинный двоичный код вместо одного из двух двоичных преобразований, которые упрощают работу калькулятора, но более трудны для понимания вами. Это будет позже.
Ниже приведены преобразования 37 и 27 в чистый двоичный код.
Здесь умножение в двоичном формате, изложенное так же, как и обычное длинное умножение, но в системе, где никакие числа больше 1 «не разрешены». Каждая цифра должна быть либо 1, либо 0. На самом деле это сводится к сложению последовательности цифр, которые представляют 37 в каждом «месте», где 1 цифра находится в 27.
Четыре 1-значные числа находятся в 27, поэтому три 1-значные числа в 37 (с перемежающимися нулями) вводятся 4 раза в нужных местах (для представления «27 раз») и складываются. Вы можете показать их все добавленные сразу. Однако калькулятор это делает. Каждые два Is возвращают это место в 0 и передают 1 следующему месту слева.
Если смотреть справа, каждое из первых трех мест имеет только одну единицу, которая появляется в сумме. Четвертое место имеет две единицы, которые дают 0 в этом месте и передают 1 на пятое место, у которого уже есть собственная единица, поэтому оно становится 0 и передает 1 на шестое место.В этом месте уже есть две единицы, так что это место снова переходит в 1 и передает 1 на седьмое место, где снова две единицы. У этого места теперь 1, и оно передает 1 на восьмое место. Восьмое место не имеет «Is», поэтому вводится 1 пройденный, и это конец «оставшегося паса». Каждое из оставшихся двух мест имеет по одной единице, которая «сбивается». Произведение в двоичном формате: 1111100111.
Преобразуйте двоичное число обратно в десятичное, поместив десятичный эквивалент каждого двоичного разряда, где стоит 1.Сложение десятичных эквивалентов дает 999. Чтобы проверить, умножьте 37 на 27, старомодный длинный путь.
«Какой долгий путь?» вы можете спросить. Бинарный путь вам кажется долгим. Единственная причина, по которой калькулятор делает это так быстро, заключается в том, что он выполняет миллионы «операций» в секунду. Он проходит долгий путь и вычисляет быстрее, чем вы, используя привычный вам короткий путь.
Умножение 37 x 27 двоичное
ДВОИЧНОЕ УМНОЖЕНИЕ
Альтернативное двоичное преобразование
Вот еще один способ преобразовать десятичные дроби в двоичные.Он использует таблицу двоичных эквивалентов чисел от 1 до 9 в каждом десятичном разряде. Чтобы проиллюстрировать его использование, два следующих числа для деления преобразуются в двоичную форму под таблицей.
Обратите внимание, что двоичные эквиваленты конкретной цифры не имеют отношения друг к другу — от одного столбца к другому. Вы не можете сдвинуть десятичную точку или умножить на десять, сделав аналогичный сдвиг в двоичном формате. Я вернусь к тому, что калькуляторы или компьютеры делают с этой проблемой через минуту.
Двоичное деление
Двоичное деление довольно драматично демонстрирует то, что вы узнали в части 1 этой книги: деление — это на самом деле повторяющееся вычитание. Вычитание двоичного числа 37, что составляет 100101, в верхних местах делимого является точным без остатка. Остается двоичное число 37 на последнем месте. Таким образом, в двоичном формате частное равно 1000001.
Чтобы преобразовать двоичное число обратно в десятичное, воспользуйтесь дополнительным вычитанием в двоичном формате и примените таблицу из предыдущего раздела.Первое вычитание — это двоичное значение 100, в результате чего остается 11101. Для двоичного числа 20, которое оставляет 1001, вычитаем двоичное значение для 9. Таким образом, работая через двоичный код, при делении 4773 на 37 остается 129 как частное.
АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ДВОИЧНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
РАЗДЕЛАТЬ 4773 на 37

1001010100101 по 100101
Специальный двоичный калькулятор
Вы заметили, что изменение двоичных цифр для различных цифр в десятичной системе с каждым десятичным разрядом усложняет преобразование.Когда вы вводите цифру на калькуляторе, первая цифра появляется справа. Когда вы вводите следующую цифру, первая цифра перемещается влево, а новая появляется справа. Если бы калькулятору пришлось преобразовать цифру в новую двоичную последовательность для следующего места, система была бы очень сложной.
Таким образом, калькулятор выделяет 4 двоичных разряда для каждого десятичного разряда, что требует немного больше «места» в памяти калькулятора, чем для чистого двоичного кода. Фактически калькулятор теперь «работает» в десятичной системе счисления, но использует 4 двоичных разряда для передачи каждого десятичного разряда.
Индексы
В любой системе чисел, двоичной, восьмеричной, десятичной или шестнадцатеричной (или даже в некоторых других, которые обычно не используются), место числа указывает степень числа, на котором основана система. В двоичной системе, в зависимости от того, где появляется 1, она представляет некоторую степень 2. На 4-м месте это 3-я степень 2, которая равна 8. Вот сравнение между степенями 2 и 10.
В этом примере вы можете увидеть некоторые правила использования индексов, которые помогут нам сократить путь умножения и деления.Во-первых, помните, что умножение и деление — это кратчайшие методы выполнения повторного сложения и вычитания. Теперь индексов — это сокращенные методы многократного умножения и деления.

Предположим, вам нужно умножить x ^a на x ^b. Произведение x ^{(a + b)}. Это легко увидеть, если вы напишете x, умноженное на себя 1 раз, а затем умножив произведение на x, умноженное на себя b раз. Общее количество раз, которое вы умножаете x само на себя, равно a + b раз.Для иллюстрации предположим, что a равно 3, а b равно 2; x ³ умноженное на x ² дает x ⁵. Численно 2 ³ равно 8, 2 ² равно 4 и 2 ⁵ равно 32. 8 x 4 = 32. Он проверяет.
А теперь попробуйте разделение. Разделив x ^a на x ^b, получим частное x ^a-b. Вы можете проверить этот ответ, умножив x на себя на числитель дроби и используя x, умноженное на само число, b раз в качестве знаменателя. Вы можете отменить b раз количество x в числителе и оставить остаток x в числителе, который равен (a — b) раз.Для иллюстрации сделаем a = 5 и b = 2. x ⁵ разделить на x ² равно x ³. Если вы использовали 2 для x, x ⁵ равно 32, x ² равно 4, а x ³ равно 8. 32, разделенное на 4, будет равно 8.
Корни: инверсия степеней
Здесь вы должны различать число, обратное величине, и число, обратное степени. Индекс минус — это обратное или обратное число, возведенное в степень, обозначенную индексом. Корни противоположны полномочиям.Например, поскольку 2 ² равно 4,4 ^1/2 равно 2; 2 ³ равно 8, поэтому 8 ^1/3 равно 2; 2 ⁴ равно 16, поэтому 16 ^1/4 равно 2 и т. Д.
Дробные индексы обозначают корни. Степень 4 из 3/2 равна 8, квадратный корень из 4 равен 2, а 2 ³ равняется 8. Обращая этот процесс вспять, 8 ^2/3 равно 4. Вы можете найти другие числа в корнях с помощью процесса квадратный корень. Например, 2 ^1/2 (квадратный корень из 2) равен 1,414 и т. Д .; 8 ^1/2 вдвое больше.Почему? Поскольку 4 ^1/2 равно 2, а 2 ^1/2 равно 1,414, (2 умножить на 4) ^1/2 равно 8 ^1/2 (дважды 1,414), что составляет 2,828.
Вы не ограничены квадратными корнями или какими-то конкретными корнями. Теперь открывается совершенно новое поле чисел.
Surds и индексы
Введение Surds фактически возвращает нас к практически устаревшему способу написания корней. До того, как в моду вошло обозначение индекса дроби, представленное в предыдущем разделе, было принято использовать сурд перед числом, чтобы указать его квадратный корень.Таким образом, сюрд перед x представляет квадратный корень из x, то же самое, что xl /. Если поставить 3 перед сурдом, вместо квадратного корня получится кубический корень из x. Добавление маленькой n или любой другой буквы или числа перед сурдом также означало определенный корень. Если число под сурдом имеет степень b и a перед сурдом, выражение можно записать как: x ^{b / a}. Сурд, за которым следует vinculum поверх (линия поверх) a ² + b ² — это корень всего выражения.Это выражение можно записать: (a ² + b ²) ^1/2.
Вопросы и проблемы
Примечание. Вопросы и проблемы здесь не отсортированы по порядку. Они предполагают знание более ранних частей этой книги. Если у вас возникли трудности с проблемой, сначала попробуйте другие, а затем вернитесь к той, которая сложна. Эти вопросы составлены таким образом, что вы должны проявить некоторую инициативу в применении принципов, которые были представлены до этого момента.
1. Найдите десятичный эквивалент дроби 1/37. Определите ошибку, которая возникает при нахождении десятичного эквивалента трех значащих цифр.
2. В двоичной системе умножьте 15 на 63 и преобразуйте обратно в десятичную систему. Проверьте свой результат, умножив десятичные числа напрямую.
3. В двоичной системе разделите 1922 на 31 и преобразуйте обратно в десятичную систему. Проверьте свой результат, разделив десятичные числа напрямую.
4.Найдите значения следующих выражений:
(а) 16 ^3/4 (б) 243 ^0,8 (в) 25 ^1,5
(г) 64 ^2/3 (д) 343 ^4/3
5. Преобразуйте следующие числа из десятичных в двоичные. В качестве проверки конвертируйте их обратно.
(а) 62 (б) 81 (в) 111
(г) 49 (д) 98 (ж) 222
(г) 650 (в) 999 (я) 2000
6. Преобразуйте следующие числа из двоичных в десятичные.В качестве проверки конвертируйте их обратно.
(а) 101 (б) 1111 (в) 10101
(г) 111100 (д) 110111000110
7. Умножьте 129 на 31 в десятичной системе. Умножьте двоичные эквиваленты этих чисел. Предположим, что ошибка сделана во второй цифре справа во втором числе в десятичном произведении, поэтому 129 умножается на 41 вместо 31. Предположим, что аналогичная ошибка возникает в двоичной системе, поэтому вторая цифра справа в второе число перевернуто.Сравните относительную ошибку в десятичной системе с ошибкой в двоичной системе.
8. Вычислите выражение (a ² + b ²) ^1/2 для следующих значений:
(a) a = 4 и b = 3 (b) a = 12 и b = 5
(c) a = 24 и b = 7 (d) a = 40 и b = 9
(e) a = 60 и b = 11 (f) a = 84 и b = 13
(г) а = 112 и 6 = 15
Что общего у каждой пары?
9. Вычислите выражение (a ² + b ²) ^1/2 для следующих значений:
(a) a = 8 и b = 6 (b) a = 15 и b = 8
(c) a = 24 и b = 10 (d) a = 35 и b = 12
(e) a = 48 и b = 14 (f) a = 63 и b = 16
Что общего у каждой пары?
10.Запишите в виде простых десятичных чисел, без дробей, следующие выражения:
(a) 100 ² (b) 100 ^1/2
(c) 100 ^-2 (d) 100 ^-1/2
Из этих четырех значений найдите значения следующих выражений: метод сложения и вычитания индексов:
(д) 100 ^3/2 (ж) 100 ^5/2
(г) 100 ^-3/2 (в) 100 ^-5/2
11. Используя только кнопку функции вычисления квадратного корня на калькуляторе, оцените следующие значения как минимум с тремя десятичными знаками:
(а) 100 ^1/4 (б) 100 ^1/8
(в) 100 ^1/16 (г) 100 ^1/32
12.Поскольку значение показателя в предыдущей задаче постоянно уменьшается вдвое, то есть 1/64, 1/128, 1/256, 1/512 и т. Д., К какому числу подойдет выражение? Почему?
13. Найдите значения с точностью до трех десятичных знаков для следующего:
(а) 32 ^0,1 (б) 32 ^0,2 (в) 32 ^0,3
(г) 32 ^0,4 (д) 32 ^0,5 (ж) 32 ^0,6
(г) 32 ^0,7 (в) 32 ^0,8 (i) 32 ^0,9
14.Вычислите следующие выражения, если хотите, используя калькулятор. Где применимо, отображайте выражения как минимум с тремя десятичными знаками:
(а) (10 ² — 2 ⁶) ^1/2 (б) (36 ² — 8 ³) ^1/2 (в) (28 ² — 21 ²) ^1/3
(d) (5 ² — 3 ²) ^1/4 (e) (17 ² — 15 ²) ^1/6 (f) 6561 ^1/2
(г) 6561 ^-1/2 (в) 6561 ^1/4 (i) 6561 ^-1/4
(j) 6561 ^1/8 (k) 6561 ^-1/8
.

0	0000	0 + 0 + 0 + 0
1	0001	0 + 0 + 0 + 1
2	0010	0 + 0 + 2 + 0
3	0011	0 + 0 + 2 + 1
4	00100	0 + 0 + 4 + 0 + 0
5	00101	0 + 0 + 4 + 0 + 1
6	00110	0 + 0 + 4 + 2 + 0
7	00111	0 + 0 + 4 + 2 + 1
8	01000	0 + 8 + 0 + 0 + 0
9	01001	0 + 8 + 0 + 0 + 1
10	01010	0 + 8 + 0 + 2 + 0
11	01011	0 + 8 + 0 + 2 + 1
12	01100	0 + 8 + 4 + 0 + 0
13	01101	0 + 8 + 4 + 0 + 1
14	01110	0 + 8 + 4 + 2 + 0
15	01111	0 + 8 + 4 + 2 + 1
16	10000	16 + 0 + 0 + 0 + 0
17	10001	16 + 0 + 0 + 0 + 1
18	10010	16 + 0 + 0 + 2 + 0
19	10011	16 + 0 + 0 + 2 + 1
20	10100	16 + 0 + 4 + 0 + 0
21	10101	16 + 0 + 4 + 0 + 1
22	10110	16 + 0 + 4 + 2 + 0
23	10111	16 + 0 + 4 + 2 + 1
24	11000	16 + 8 + 0 + 0 + 0
25	11001	16 + 8 + 0 + 0 + 1
26	11010	16 + 8 + 0 + 2 + 0
27	11011	16 + 8 + 0 + 2 + 1
28	11100	16 + 8 + 4 + 0 + 0
29	11101	16 + 8 + 4 + 0 + 1
30	11110	16 + 8 + 4 + 2 + 0

N = b _i q ⁱ
где:	N — действительное положительное число b — цифра q — базовое значение , а целое число (i) может быть положительным, отрицательным или нулевым

MSB	Двоичная цифра							LSB
2 ⁸	2 ⁷	2 ⁶	2 ⁵	2 ⁴	2 ³	2 ²	2 ¹	2 ⁰
256	128	64	32	16	8	4	2	1

Десятичное число Значение	256	128	64	32	16	8	4	2	1
Двоичное значение	1	0	1	1	0	0	1	0	1

Номер	294			Разделение каждого десятичного числа на «2», как показано, даст результат плюс остаток. Если разделяемое десятичное число четное, результат будет целым, а остаток будет равен «0». Если десятичное число нечетное, результат не будет полностью разделен, а остаток будет равен «1». Двоичный результат получается путем размещения всех остатков по порядку, при этом младший бит (LSB) находится вверху, а старший бит (MSB) — внизу.
разделить на 2
результат	147	остаток	0 (младший значащий бит)
разделить на 2
результат	73	остаток	1
разделить на 2
результат	36	остаток	1
разделить на 2
результат	18	остаток	0
разделить на 2
результат	9	остаток	0
разделить на 2
результат	4	остаток	1
разделить на 2
результат	2	остаток	0
разделить на 2
результат	1	остаток	0
разделить на 2
результат	0	остаток	1 (MSB)

Количество двоичных цифр (бит)	Общее название
1	Бит
4	Клев
8	Байт
16	Слово
32	Двойное слово
64	Четверное слово

Количество байтов	Общее название
1,024 (2 ¹⁰)	килобайт (кб)
1 048 576 (2 ²⁰)	Мегабайт (Мб)
1,073,741,824 (2 ³⁰)	Гигабайт (Гб)
очень длинный номер! (2 ⁴⁰)	Терабайт (Тб)

Первый штат	Второй штат
Логический «0»	Логическая «1»
НИЗКИЙ	ВЫСОКИЙ
ЛОЖНО	ИСТИНА
Выход низкого напряжения	Выход высокого напряжения
0 В или земля	+5 Вольт