Двоичная система счисления кратко: Двоичная система счисления

Содержание

Двоичная система счисления

☰

В двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими словами, десятичная двойка является основанием двоичной системы счисления, аналогично тому, как в десятичной системе основанием является число десять.

Чтобы научиться считать в двоичной системе счисления, рассмотрим, как формируются числа в привычной для нас десятичной.

В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами: от 0 до 9. Когда счет достигает числа 9, вводится новый более старший разряд – десятки. При этом разряд единиц обнуляется и счет в этом разряде опять начинается с нуля. После числа 19 разряд десятков увеличивается на 1, а разряд единиц снова обнуляется. Получается число 20. Когда десятки дойдут до 9, впереди них появится третий разряд – сотни.

Формирование каждого последующего числа в двоичной системе счисления аналогично тому, как это происходит в десятичной за исключением того, что используются всего-лишь две цифры: 0 и 1. Как только разряд достигает своего предела, то есть единицы, появляется новый разряд, а старый обнуляется.

Итак, число три в двоичной системе записывается как 11, в десятичной – как 3. Количественно это одинаковые числа. Это одно и то же число, выраженное в различных системах счисления. Если есть вероятность неоднозначной трактовки числа, к нему приписывается нижний индекс в десятичной системе счисления, обозначающий, в какой системе счисления выражено данное число:

11₂ = 3₁₀

Индекс для числа, выраженного в десятичной системе, обычно опускается.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную

В двоичной системе счисления с увеличением значения количество разрядов растет очень быстро. Как определить, что значит двоичное число 10001001? Нам сложно понять, сколько это, мы привыкли мыслить в десятичной системе. Поэтому часто используется перевод двоичных чисел в десятичные.

В десятичной системе счисления любое число можно представить в форме суммы единиц, десяток, сотен и так далее. Например:

5476 = 5000 + 400 + 70 + 6

Можно пойти еще дальше и разложить число, используя основание системы счисления, возводимое в показатель степени, равный разряду цифры, уменьшенному на единицу:

5476 = 5 * 10³ + 4 * 10² + 7 * 10¹ + 6 * 10⁰

После равенства числа 5, 4, 7 и 6 – это набор цифр из которых состоит число 5476. Все эти цифры умножаются на десять, возведенную в ту или иную степень. Десять – это основание десятичной системы счисления. Степень, в которую возводится десятка – это разряд цифры за минусом единицы. Так, например, 6 находится в первом разряде, поэтому она умножается на 10^(1-1). Натуральное число в нулевой степени равно единице. Таким образом, мы умножаем 6 на 1.

Точно также производится разложение числа в двоичной системы счисления, кроме того, что основанием выступает двойка, а не десятка. Здесь до знака равенства число представлено в двоичной системе счисления, после «равно» запись идет в десятичной:

10001001 = 1 * 2⁷ + 0 * 2⁶ + 0 * 2⁵ + 0 * 2⁴ + 1 * 2³ + 0 * 2² + 0 * 2¹ + 1 * 2⁰

Результат вычислений дает десятичное число, количественно равное двоичному 10001001:

1*2⁷ + 0*2⁶ + 0*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ =
= 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

То есть число 10001001 по основанию 2 равно числу 137 по основанию 10:

10001001₂ = 137₁₀

Почему двоичная система счисления так распространена?

Дело в том, что двоичная система счисления – это язык современной вычислительной техники.

Когда любые данные сохраняются на компьютере, они кодируются числами. С числами же компьютер выполняет операции, изменяя эти данные.

Допустим, у нас есть десятичное число 14, которое требуется сохранить в компьютерной памяти. Мы задействуем участок памяти, в данном случае состоящий как минимум из двух элементов, отводимых под разряды. В одном из разрядов мы сохраняем десятичное число 1, в другом – число 4.

Элемент памяти – это физическое устройство. Если проектировать его для хранения десятичной цифры, потребуется создать такое устройство, которое может находиться в десяти разных физических состояниях и способно переключаться между ними. Каждое из этих состояний будет соответствовать числу от 0 до 9.

Создать такой элемент памяти возможно, однако сложнее и дороже, чем создать элемент, способный находиться только в двух состояниях. Одно состояние сопоставить нулю, второе – единице. Кроме того, подобное хранение данных является более надежным.

Поэтому оказалось проще перевести число 14 в двоичную систему счисления, получив число 1110, и именно его сохранить в памяти. И пусть даже при этом будут задействованы не два, а четыре разряда, то есть четыре элементарных единиц памяти.

Перевод десятичного числа в двоичное

Одним из алгоритмов перевода десятичного числа в двоичное является деление нацело на два с последующим «сбором» двоичного числа из остатков. Переведем таким образом число 14 в двоичное представление.

14 / 2 = 7, остаток 0
 7 / 2 = 3, остаток 1
 3 / 2 = 1, остаток 1
 1 / 2 = 0, остаток 1

Собирать остатки надо с конца, то есть с последнего деления. Получаем 1110.

Выполним то же самое для числа 77:

77 / 2 = 38, остаток 1
38 / 2 = 19, остаток 0
19 / 2 =  9, остаток 1
 9 / 2 =  4, остаток 1
 4 / 2 =  2, остаток 0
 2 / 2 =  1, остаток 0
 1 / 2 =  0, остаток 1

Собираем остатки вместе, начиная с конца: 1001101.

Проверим, выполнив обратный перевод:

1001101 = 1*2⁶ + 0*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

Информатик БУ — Кратко о системах счисления

Система счисления – это способ записи чисел с помощью символов. Мы все привыкли использовать десять различных знаков для записи чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такая система счисления называется десятичной. Один знак числа называется цифрой.

Основание системы счисления – это количество знаков, используемых для записи числа в этой системе. Основанием системы счислений, как правило, может являться любое натуральное число (например, шумеры использовали шестидесятеричную систему счисления), но сегодня наиболее распространены (кроме десятичной) двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Основание системы счисления указывается подстрочным знаком после числа, например 101₂.

Разряд числа – это место цифры в числе. В зависимости от количества разрядов мы называем числа двузначными, трёхзначными, четырёхзначными и т.д.

Двоичная система счисления

Популярность двоичной системы в информатике обусловлена тем, что для записи чисел используется всего две цифры: 0 и 1. Это соответствует значению одного бита, который тоже может принимать значения 0 и 1. Поэтому

во многих случаях один разряд двоичного числа называют битом. А так как в вычислительной технике информация передаётся в битах, то и числа удобнее передавать в виде двоичного (бинарного) кода.

Простой пример. IP-адрес компьютера состоит из четырёх байт, разделенных точками, к примеру:

192.168.0.1

Почему байты записаны в виде чисел? Если перевести байты этого IP-адреса в биты (двоичную систему), мы получим четыре восьмизначных двоичных числа:

11000000. 10101000.00000000.00000001

Двоичные числа состоят из восьми разрядов, а байт равен восьми битам.

Восьмеричная система счисления

Двоичная система счисления удобна для компьютера, но не очень удобна для людей, так как числа, записанные в ней, получаются очень большими по размеру. Представьте, десятичное число 10000000 в двоичной системе выглядит как 100110001001011010000000, не очень удобно, согласитесь?

Поэтому была введена восьмеричная система счисления. Восьмеричная система отличается от десятичной тем, что двоичные числа очень удобно приводить к основанию 8, а восьмеричные – к основанию 2. С десятичной всё немного сложнее. Для перевода используется таблица триад (в правом нижнем углу сайта есть кнопочка, можете посмотреть, а почитать про правила перевода можно здесь).

Шестнадцатеричная система счисления

Помните, что один разряд двоичной системы – это один бит? А два разряда шестнадцатеричной системы – это один байт. В современных компьютерах информация кодируется в байтах, поэтому во многих случаях удобно использовать шестнадцатеричную систему.
В шестнадцатеричной системе шестнадцать разрядов: цифры от 0 до 9, и буквы от A до F (где буквы от A до F – десятичные числа от 10 до 15 соответственно).

Шестнадцатеричную систему используют в низкоуровневом программировании, в компьютерном дизайне широко используются шестнадцатеричные коды цвета, в некоторых кодировках символы кодируются именно с помощью шестнадцатеричной системы… В общем, штука полезная:).

Одно из заданий ЕГЭ предыдущих лет было как раз на знание шестнадцатеричных цветовых кодов.

Пример: нужно определить, какой цвет зашифрован кодом #00FF00 в палитре RGB.

Решение: Данный код является кодом цвета в палитре RGB, то есть первые два разряда – Red, вторые два разряда – Green, третьи два разряда – Blue:

#00FF00

Получается, что красного цвета — 0, синего цвета – 0, а зелёного – FF, то есть 255 в десятичной системе счисления (максимальное двузначное шестнадцатеричное число). То есть это код чистого зелёного цвета.

Подобные коды вы можете встретить, к примеру, в палитре цветов Adobe Photoshop, или при разработке внешнего вида сайта, когда для различных элементов дизайна необходимо указать код цвета.

Двоичная система счисления в информатике с примерами

Главная>Разные материалы

Двоичная система счисления

Двоичная система счисления очень важна, так как именно на ее основе закодированная вся информация, которая содержится в вашем персональном компьютере. Именно по этой причине важно научиться разбираться в ней и понимать ее механизмы.

Для того, чтобы понять суть двоичной системы счисления целесообразнее всего обратиться к привычной нам десятичной системе счисления. Используемая нами ежедневно десятичная система счисления состоит из десяти символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Далее заканчиваются единицы, и начинаются десятки. При этом числа повторяются, а счет начинается заново. Двоичная система счисления построена по абсолютно аналогичному принципу, с той лишь разницей, что тут не 10 символов, а всего 2: ноль и единица.

Чтобы лучше понять рассмотрим на примере:

Итак в двоичной системе 0 равен 0 в десятичной.
1=1, и на этом количество символов заканчивается, и все начинается сначала.

2=10;
3=11;
4=100;
5=101;
6=110;
7=111 и так далее.
Легко заметить, что в двоичной системе счисления, в силу скудного количества символов, числа очень быстро становятся многозначными. По этой причине не всегда получается быстро их распознавать. Так например не очень просто сходу сказать чему в десятичной системе счисления равно двоичное число 11001010. Но для того, чтобы определить, тем не менее, что это за число, существуют вполне простые способы перевода чисел из двоичной системы в десятичную.

И снова обратимся к десятичной системе счисления. В ней любое многозначное число можно представить в виде суммы сотен, десятков, единиц.

Например:
1279= 1000+200+70+9;
Можно пойти дальше и записать это число в таком виде:
1279 = 1*10 в степени 3 + 2 * 10 в степени 2 + 7 * 10 в первой + 9 * 10 в нулевой.

Тоже самое можно проделать и с нашим двоичным числом.Единственная разница будет состоять в том, что здесь основание будет не 10 а 2.
Итак 11001010 = 1*2 в седьмой+1*2 в шестой+0*2 в пятой+0*2 в 4 + 1*2 в 3+0*2 во 2 + 1*2 в первой+0 * 2 в нулевой.
Если посчитать сумму всех составляющих, то как раз и получится десятичное число.
11001010 = 128+64+0+0+8+0+2+0=202.
То есть, окончательный ответ звучит так: число 11001010 по основанию 2 равняется числу 202 по основанию 10.

Есть так же и обратный способ перевода десятичного числа в двоичное. Например, нам требуется получить из числа 77 его двоичную запись. Этого можно добиться последовательным делением на два:

77 / 2 = 38 (один остаток)
38 / 2 = 19 (ноль остаток)
19 / 2 = 9 (один остаток)
9 / 2 = 4 (один остаток)
4 / 2 = 2 (ноль остаток)
2 / 2 = 1 (ноль остаток)
1 / 2 = 0 (один остаток)

Но почему же все-таки именно двоичная система так популярна в программировании? Дело в том, что если создать вычислительную технику, которая будет построена на десятичной системе счисления, то это будет устройство, которое должно будет находиться в десяти состояниях. То есть от количества символов в коде зависит количество состояний. Гораздо проще, чтобы их было всего два, поэтому и используется именно двоичная система.

см. также:
Статьи по школьным предметам и другие учебные материалы

Реферат на тему: Система счисления

У вас нет времени на реферат или вам не удаётся написать реферат? Напишите мне в whatsapp — согласуем сроки и я вам помогу!

В статье «Как научиться правильно писать реферат», я написала о правилах и советах написания лучших рефератов, прочитайте пожалуйста.

Собрала для вас похожие темы рефератов, посмотрите, почитайте:

Реферат на тему: Источники права
Реферат на тему: Инфаркт миокарда
Реферат на тему: Мировые религии
Реферат на тему: Гепатиты

Введение

На протяжении всей жизни мы сталкиваемся с числами и выполняем с ними арифметические операции. Это нас не удивляет. Мы принимаем это как факт. И откуда взялись цифры и результат? Что такое цифровая система? Где мы теперь с ними встретимся? Мне было очень интересно, поэтому я решил изучить этот предмет.

Эта тема интересна и для меня, так как двоичная система счисления в настоящее время стала очень важной в связи с ее использованием в электронных компьютерах. Численные системы с базами 8 и 16 используются в программировании различных процессов на компьютерах.

Я поставил перед собой цель: познакомиться с историей возникновения счетных и числовых систем, изучить числовые системы, используемые в вычислениях, позиционные и непозиционные числовые системы, а также арифметические действия в различных системах. В данной диссертации рассматриваются различные вычислительные системы.

История происхождения систем счисления

В древние времена людям приходилось рассчитывать на пальцы. Кроме пальцев, нужно было сосчитать много испытуемых, на счету было больше участников. Один считал единицы, второй — дюжины, третий — сотни. Очевидно, что такой расчет лег в основу принятой почти всеми народами системы вычислений, называемой десятичной системой. Расчет с базовой десяткой также применим к восточным славянам.

Там, где люди ходили босиком, их пальцы легко сосчитать до 20. Следы использования при подсчете до 20, например, во французском число 80 в буквальном переводе на русский звучит как «четырежды двадцать».

Были также распределены десятки аккаунтов, т.е. аккаунт, на котором использовалась система базы 12. Его происхождение связано с 12 фалангами на четырех пальцах (кроме большого). Даже сейчас некоторые пункты все еще считаются десятками. Столовые приборы состоят из полдюжины или дюжины комплектов.

В древнем Вавилоне, где математика была очень высоко развита, существовала очень сложная шестнадцатеричная система счисления. В настоящее время мы также используем эту систему. Например: 1 час=60 минут; 1 минута=60 секунд.

Самой старой из систем пальцев считается система с пятью пальцами. Эта система родилась и наиболее широко используется в Америке. Его происхождение восходит к эпохе, когда человек считал на пальцах одной руки. До недавнего времени некоторые племена сохранили пятипальцевую систему счисления в чистом виде.

Таким образом, все системы (пятикратные, двенадцатикратные, двадцати четырехкратные) соединены одним или другим способом счета пальцев ног (или рук и ног). Переход человека к счету пальцев привел к созданию различных систем подсчета. /1/

Численные системы, используемые в компьютерных технологиях

Система счисления — это система методов и правил, позволяющих установить взаимосогласованную связь между любым числом и его представлением в виде набора конечного числа символов. Многие символы, используемые для этого представления, называются цифрами.

В зависимости от того, как отображаются номера, они делятся на номера элементов и номера без элементов.

В непозиционных системах каждое число определяется как особая функция числовых значений набора чисел, представляющих это число. Числа в непозиционных системах счисления соответствуют некоторым фиксированным числам. Исторически сложилось так, что первыми вычислительными системами были непозиционные системы. Одним из главных недостатков является сложность написания больших чисел. Написание больших чисел в таких системах либо очень громоздко, либо системный алфавит чрезвычайно велик. Не-позиционные системы не используются в компьютерных технологиях.

Система счисления называется позиционной, когда одна и та же цифра может принимать различные числовые значения в зависимости от того, какая позиция цифры присутствует в наборе цифр, представляющих определенное число. Примером такой системы является арабская десятичная система счисления.

Фактические количества и количественные пропорции могут быть отображены различными способами. Основа системы нумерации элементов определяет их название. В вычислениях используются двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы. Чтобы явно указать используемую систему счисления, заключим номер в скобки и укажем основу системы счисления в нижнем индексе. Каждая числовая позиция соответствует коэффициенту положения (цифра) или весу.

В настоящее время позиционные системы охлаждения встречаются чаще, чем непозиционные. Это связано с тем, что они позволяют писать большие числа относительно небольшим количеством символов. Еще более важным преимуществом систем позиционирования является простота и легкость арифметических операций по сравнению с числами, написанными в этих системах.

Преобразование чисел в десятичную систему осуществляется путем суммирования последовательностей степеней, основанных на системе, из которой переводится число. Затем вычисляется суммарное значение.

Как правило, вычислительные машины могут быть встроены в любую систему счисления. Но такая общая десятичная система крайне непрактична для нас. Если в механических вычислительных машинах с десятичной системой достаточно использовать только один элемент с множеством состояний (колесо с десятью зубцами), то в электронных машинах в цепях необходимо иметь 10 различных потенциалов.

Системы без номеров позиций

В настоящее время как позиционные, так и непозиционные системы расчета широко используются как в технологии, так и в быту.

В системах без вычисления позиции вес фигуры не зависит от позиции, которую она занимает в номере. Примером непозиционной системы счисления является римская система счисления. Он появился в Древнем Риме и существует по сей день. Традиционно используется для нумерации веков или для создания оглавления печатных произведений. Римские цифры можно найти на циферблатах часов.

В современной жизни наиболее показательным вариантом использования системы непозиционного учета являются денежные отношения. Мы сталкиваемся с ними каждый день. Никому не приходит в голову, что сумма, которую мы тратим на еду в магазине, может зависеть от того, в каком порядке мы поставим монеты на стол. Номинальная стоимость монеты не зависит от порядка, в котором она была взята из кошелька. Это классический пример непозиционной системы подсчета.

Это означает, что в настоящее время наиболее широко используется система позиционирования чисел.

Позиционные номера

В системах подсчета позиций вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения в последовательности цифр, представляющих число. Каждая система позиций характеризуется своей базой. Основой системы нумерации элементов является количество различных символов или символов, используемых для представления цифр в этой системе. Любое натуральное число — два, три, четыре, шестнадцать и т.д. — может быть принято за основу. Следовательно, возможны бесконечные системы позиций: двоичные, состоящие из чисел 0 и 1; троичные, состоящие из чисел 0,1,2; и так далее.

Системы позиционирования удобны тем, что позволяют захватывать большие числа с небольшим количеством символов при выполнении простых и легко выполняемых арифметических операций.

Десятичная система счисления

Основой десятичной системы числа 10 является число 10, которое является единицей второй цифры, единицей третьей цифры будет 100 = 102, в общем случае единица каждой следующей цифры в десять раз больше, чем единица предыдущей цифры (предполагается, что выбор в качестве основы D. S. числа 10 связан с подсчетом на пальцах).

Д.С. С. основывается на принципе положения, т.е. один и тот же знак (число) имеет разное значение в зависимости от места его расположения. Поэтому только первые 10 цифр нуждаются в специальных символах, чтобы покрыть все цифры. Эти символы, которые обозначаются символами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, называются цифрами. Для захвата числа вы определяете, сколько единиц наибольшей цифры в нем содержится; остальное определяется как количество единиц наибольшей цифры, на единицу меньше, и т.д. Полученные цифры записываются бок о бок: например, 4×102 + 7×101 + 3×100 = 473.

При этом действия выполняются над числами в цифрах, т.е. отдельно над числами каждой цифры; если при этом числа складываются более чем до 10 (в случае сложения, умножения), то к следующей, более высокой цифре прибавляется одна или несколько единиц; в случае деления и вычитания, цифры должны быть разбиты на более мелкие.

Двоичная система счисления

Двоичная система счисления, система счисления, основанная на позиционном принципе записи чисел, с основой 2 Двоичная система счисления использует только два символа, цифры 0 и 1, и, как и в любой позиционной системе, значение цифры также зависит от ее позиции. Цифра 2 считается единицей 2-й цифры и записывается следующим образом: 10 (читать: «один, ноль»). Каждая единица следующей цифры в два раза больше предыдущей, т.е. эти единицы образуют последовательность цифр 2, 4, 8, 16, … , 2n.

По числу, записанному в десятичной системе в D. S., он поочередно делится на 2, а получившиеся остатки 0 и 1 записываются в порядке от последнего к первому, например: 43 = 21-2 +1; 21 = 10-2 +1; 10 = 5-2 +0; 5 = 2-2 +1; 2 = 1-2 + 0; 1 = 0-2 + 1; таким образом, двоичный вход числа 43 равен 101011. Таким образом, в EPS 101011 обозначает 1-20+1-21 + 0×22 +1×23 + 0-24 + 1-25.

В D. S. все арифметические операции особенно просты: например, таблица умножения сводится к равенству 1-1 = 1. Однако, запись в D.S. очень громоздка: например, число 9000 будет иметь 14 цифр.

В связи с тем, что двоичная система счисления использует только две цифры, она часто полезна в теоретических вопросах и для вычислений на ДЦК.

Восьмикратная числовая система

Восьмая система счисления — это система позиционных целых чисел с базой 8. Для представления чисел используются 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Число 1 в нижней цифре означает только одну, как и в десятичной системе счисления. То же число 1 в следующей цифре означает 8, следующие 64 и так далее. Число 100 (восьмеричное) не более 64 (десятичное). Например, чтобы перевести число 611 (восьмеричное) в двоичную систему, каждая цифра должна быть заменена соответствующей двоичной триадой (три цифры). Легко догадаться, что для перевода многозначного двоичного числа в восьмеричной системе необходимо разделить его на триады справа налево и заменить каждую триаду соответствующим восьмеричным числом.

Восьмая система наиболее часто используется в областях, связанных с цифровым оборудованием. Например, восьмеричная система счисления служит самым простым языком общения человека с компьютером.

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления (шестнадцатеричные числа) — Позиционная система счисления на целочисленном базисе 16 Запись чисел в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще более компактна в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцати десятичных цифр берутся обычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а в качестве остальных 6 цифр используются первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Номер 1, написанный нижней цифрой, означает только один. Одна и та же цифра 1 в следующей — 16 (после запятой), следующая — 256 (после запятой) и т.д. Цифра F, записанная внизу цифры, означает 15 (десятичная).

Преобразование из шестнадцатеричной системы в двоичную и наоборот осуществляется таким же образом, как и для восьмеричной системы.

Шестнадцатеричная система счисления на сегодняшний день является самой популярной компактной программой записи двоичных чисел. Он широко использовался при разработке и проектировании цифровых технологий и, как восьмеричная система счисления, является простейшим языком для общения человека с компьютером.

Заключение

В соответствии с целью исследований в работе я ознакомился с историей зарождения исчисления и систем нотации, изучил системы нотации, используемые в компьютерной технике, позиционные и непозиционные системы нотации, а также арифметические действия в различных системах нотации.

После знакомства с компьютерными системами я узнал много нового и полезного, и считаю, что эта наука необходима для развития общества. Трудно представить мир без компьютеров. Это связано с тем, что именно бинарная система получила широкое распространение в различных областях техники, особенно в современных компьютерах и калькуляторах.

Система позиционирования номера состоит в использовании ограниченного числа цифр, но положение каждой цифры в номере обеспечивает значение (вес) этой цифры Положение цифры в числе называется цифрой в математическом языке.

Основой системы нумерации элементов является количество различных символов или символов (чисел), используемых для представления чисел в определенной системе.

Двоичная система счисления — наиболее широко используемая в компьютерах, так как одна цифра двоичного числа соответствует одному биту — минимальной единице информации в компьютерной технике

Для того, чтобы двоичные числа, которые достаточно сильно отличаются друг от друга по длине, более воспринимаемые и легче представляемые, сжимаются в восьмеричные и шестнадцатеричные числа.

В компьютерных технологиях все виды информации кодируются только числами, точнее числами, представленными в двоичной системе счисления — метод представления любого числа двумя символами (числами) по позиционному принципу.

Шестнадцатеричная система счисления широко используется как в низкоуровневом программировании, так и в компьютерной документации. Система восьмеричных чисел также иногда используется в компьютерах — по-видимому, чаще всего в определении прав в Unix-подобных операционных системах. Когда-то были компьютеры, которые использовали 24-битные и 36-битные слова. Шестизначная система счисления широко используется для подсчета минут и секунд. /4/. В целом, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления являются самым простым языком общения человека с компьютером.

Я думаю, что у моей работы есть перспективы, потому что тема числовых систем достаточно сложна и обширна и может быть использована в реальной жизни. В моей работе собраны и систематизированы все материалы на эту тему.

Надеюсь, что мою работу будут применять не только учителя, но и студенты.

Список литературы

ФоминС.В. Числовые системы, издание 1987 г. Главная редакцияфизико-математической литературыиздательства»Наука».
ГашковС.Б. Вычислительные системы и их применение, 2014 . Публикация: ICNSM.
КовриженкоГ.А. Числовые системы и двоичная арифметика, 1983.
Базовыекомпьютерные системы/Хабрахабр.
Фринландский университет. Вычислительная техника. М., 2003.
Сидоров В.К. Численные системы // Наука и жизнь 2000. №2.
Радюк Л. алгоритм трансляции в двоичную систему счисления и из нее // Наука и жизнь. 2003. №1.
РасселДжесси — Система двоичных чисел, 2014-е издание: Книгаспроса.
КолмогоровА.Н. Система чисел, 1973 Издатель «Академия наук СССР
Алексеев Е.Г., Богатырев С.Д. Информатика. Мультимедийный электронный учебник.

Системы счисления

Основные понятия систем счисления

Система счисления — это совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков. Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления. Основание системы записывается в справа числа в нижнем индексе: ; ; и т. д.

Различают два типа систем счисления:

позиционные, когда значение каждой цифры числа определяется ее позицией в записи числа;

непозиционные, когда значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.

Примером непозиционной системы счисления является римская: числа IX, IV, XV и т.д. Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая повседневно.

Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена:

где S — основание системы счисления;

— цифры числа, записанного в данной системе счисления;

n — количество разрядов числа.

Пример. Число запишется в форме многочлена следующим образом:

Виды систем счисления

Римская система счисления является непозиционной системой. В ней для записи чисел используются буквы латинского алфавита. При этом буква I всегда означает единицу, буква — V пять, X — десять, L — пятьдесят, C — сто, D — пятьсот, M — тысячу и т.д. Например, число 264 записывается в виде CCLXIV. При записи чисел в римской системе счисления значением числа является алгебраическая сумма цифр, в него входящих. При этом цифры в записи числа следуют, как правило, в порядке убывания их значений, и не разрешается записывать рядом более трех одинаковых цифр. В том случае, когда за цифрой с большим значением следует цифра с меньшим, ее вклад в значение числа в целом является отрицательным. Типичные примеры, иллюстрирующие общие правила записи чисел в римской система счисления, приведены в таблице.

Таблица 2. Запись чисел в римской системе счисления

1	2	3	4	5
I	II	III	IV	V
6	7	8	9	10
VI	VII	VIII	IX	X
11	13	18	19	22
XI	XIII	XVIII	XIX	XXII
34	39	40	60	99
XXXIV	XXXIX	XL	LX	XCIX
200	438	649	999	1207
CC	CDXXXVIII	DCXLIX	CMXCIX	MCCVII
2045	3555	3678	3900	3999
MMXLV	MMMDLV	MMMDCLXXVIII	MMMCM	MMMCMXCIX

Недостатком римской системы является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий с многозначными числами. По причине неудобства и большой сложности в настоящее время римская система счисления используется там, где это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях на циферблате часов и в ряде других случаев.

Десятичня система счисления – в настоящее время наиболее известная и используемая. Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника. Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Люди привыкли считать в десятичной системе счисления, потому что у них по 10 пальцев на руках.

Древнее изображение десятичных цифр (рис. 1) не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 — углов нет, 1 — один угол, 2 — два угла и т.д. Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуемся, установилась в XVI веке.

Десятичная система впервые появилась в Индии примерно в VI веке новой эры. Индийская нумерация использовала девять числовых символов и нуль для обозначения пустой позиции. В ранних индийских рукописях, дошедших до нас, числа записывались в обратном порядке — наиболее значимая цифра ставилась справа. Но вскоре стало правилом располагать такую цифру с левой стороны. Особое значение придавалось нулевому символу, который вводился для позиционной системы обозначений. Индийская нумерация, включая нуль, дошла и до нашего времени. В Европе индусские приёмы десятичной арифметики получили распространение в начале ХIII в. благодаря работам итальянского математика Леонардо Пизанского (Фибоначчи). Европейцы заимствовали индийскую систему счисления у арабов, назвав ее арабской. Это исторически неправильное название удерживается и поныне.

Десятичная система использует десять цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы “+” и “–” для обозначения знака числа и запятую или точку для разделения целой и дробной частей числа.

В вычислительных машинах используется двоичная система счисления, её основание — число 2. Для записи чисел в этой системе используют только две цифры — 0 и 1. Вопреки распространенному заблуждению, двоичная система счисления была придумана не инженерами-конструкторами ЭВМ, а математиками и философами задолго до появления компьютеров, еще в ХVII — ХIХ веках. Первое опубликованное обсуждение двоичной системы счисления принадлежит испанскому священнику Хуану Карамюэлю Лобковицу (1670 г.). Всеобщее внимание к этой системе привлекла статья немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница, опубликованная в 1703 г. В ней пояснялись двоичные операции сложения, вычитания, умножения и деления. Лейбниц не рекомендовал использовать эту систему для практических вычислений, но подчёркивал её важность для теоретических исследований. Со временем двоичная система счисления становится хорошо известной и получает развитие.

Выбор двоичной системы для применения в вычислительной технике объясняется тем, что электронные элементы — триггеры, из которых состоят микросхемы ЭВМ, могут находиться только в двух рабочих состояниях.

С помощью двоичной системы кодирования можно зафиксировать любые данные и знания. Это легко понять, если вспомнить принцип кодирования и передачи информации с помощью азбуки Морзе. Телеграфист, используя только два символа этой азбуки — точки и тире, может передать практически любой текст.

Двоичная система удобна для компьютера, но неудобна для человека: числа получаются длинными и их трудно записывать и запоминать. Конечно, можно перевести число в десятичную систему и записывать в таком виде, а потом, когда понадобится перевести обратно, но все эти переводы трудоёмки. Поэтому применяются системы счисления, родственные двоичной — восьмеричная и шестнадцатеричная. Для записи чисел в этих системах требуется соответственно 8 и 16 цифр. В 16-теричной первые 10 цифр общие, а дальше используют заглавные латинские буквы. Шестнадцатеричная цифра A соответствует десятеричному числу 10, шестнадцатеричная B – десятичному числу 11 и т. д. Использование этих систем объясняется тем, что переход к записи числа в любой из этих систем от его двоичной записи очень прост. Ниже приведена таблица соответствия чисел, записанных в разных системах.

Таблица 3. Соответствие чисел, записанных в различных системах счисления

Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная
1	001	1	1
2	010	2	2
3	011	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую

Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.

1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

Таблица 4. Степени числа 2

n (степень)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Пример . Число перевести в десятичную систему счисления.

2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:

Таблица 5. Степени числа 8

n (степень)	0	1	2	3	4	5	6
	1	8	64	512	4096	32768	262144

Пример . Число перевести в десятичную систему счисления.

3. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:

Таблица 6. Степени числа 16

n (степень)	0	1	2	3	4	5	6
	1	16	256	4096	65536	1048576	16777216

Пример . Число перевести в десятичную систему счисления.

4. Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.

5. Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.

6. Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

7. Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).

Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.

8. Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).

Пример. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

9. Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.

Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.

10. Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.

Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.

11. При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.

Пример 1. Число перевести в восьмеричную систему счисления.

Пример 2. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

2.1 Представление информации в двоичной системе счисления

В двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими словами, двойка является основанием двоичной системы счисления. (Аналогично у десятичной системы основание 10.)

Чтобы научиться понимать числа в двоичной системе счисления, сначала рассмотрим, как формируются числа в привычной для нас десятичной системе счисления.

В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами (от 0 до 9). Когда счет достигает 9, то вводится новый разряд (десятки), а единицы обнуляются и счет начинается снова. После 19 разряд десятков увеличивается на 1, а единицы снова обнуляются. И так далее. Когда десятки доходят до 9, то потом появляется третий разряд – сотни.

Двоичная система счисления аналогична десятичной за исключением того, что в формировании числа участвуют всего лишь две знака-цифры: 0 и 1. Как только разряд достигает своего предела (т.е. единицы), появляется новый разряд, а старый обнуляется.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную

Не трудно заметить, что в двоичной системе счисления длины чисел с увеличением значения растут быстрыми темпами. Как определить, что значит вот это: 10001001? Непривычный к такой форме записи чисел человеческий мозг обычно не может понять сколько это. Неплохо бы уметь переводить двоичные числа в десятичные.

В десятичной системе счисления любое число можно представить в форме суммы единиц, десяток, сотен и т.д. Например:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

Можно пойти еще дальше и разложить так:

1476 = 1 * 103 + 4 * 102 + 7 * 101 + 6 * 100

Посмотрите на эту запись внимательно. Здесь цифры 1, 4, 7 и 6 — это набор цифр из которых состоит число 1476. Все эти цифры поочередно умножаются на десять возведенную в ту или иную степень. Десять – это основание десятичной системы счисления. Степень, в которую возводится десятка – это разряд цифры за минусом единицы.

Аналогично можно разложить и любое двоичное число. Только основание здесь будет 2:

10001001 = 1*27 + 0*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20

Если посчитать сумму составляющих, то в итоге мы получим десятичное число, соответствующее 10001001:

1*27 + 0*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Т.е. число 10001001 по основанию 2 равно числу 137 по основанию 10. Записать это можно так:

100010012 = 13710
Почему двоичная система счисления так распространена?

Дело в том, что двоичная система счисления – это язык вычислительной техники. Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе. Если это десятичная система, то придется создать такое устройство, которое может быть в десяти состояниях. Это сложно. Проще изготовить физический элемент, который может быть лишь в двух состояниях (например, есть ток или нет тока). Это одна из основных причин, почему двоичной системе счисления уделяется столько внимания.
Перевод десятичного числа в двоичное

Может потребоваться перевести десятичное число в двоичное. Один из способов – это деление на два и формирование двоичного числа из остатков. Например, нужно получить из числа 77 его двоичную запись:

77 / 2 = 38 (1 остаток)
38 / 2 = 19 (0 остаток)
19 / 2 = 9 (1 остаток)
9 / 2 = 4 (1 остаток)
4 / 2 = 2 (0 остаток)
2 / 2 = 1 (0 остаток)
1 / 2 = 0 (1 остаток)

Собираем остатки вместе, начиная с конца: 1001101. Это и есть число 77 в двоичном представлении. Проверим:

1001101 = 1*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

Простая информатика — Система счисления

Система счисления – это способ записи чисел. Обычно, числа записываются с помощью специальных знаков – цифр (хотя и не всегда). Если вы никогда не изучали данный вопрос, то, по крайней мере, вам должны быть известны две системы счисления – это арабская и римская. В первой используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и это позиционная система счисления. А во второй – I, V, X, L, C, D, M и это непозиционная система счисления.

В позиционных системах счисления количество, обозначаемое цифрой в числе, зависит от ее позиции, а в непозиционных – нет. Например:

11 – здесь первая единица обозначает десять, а вторая – 1.
II – здесь обе единицы обозначают единицу.

345, 259, 521 – здесь цифра 5 в первом случае обозначает 5, во втором – 50, а в третьем – 500.

XXV, XVI, VII – здесь, где бы ни стояла цифра V, она везде обозначает пять единиц. Другими словами, величина, обозначаемая знаком V, не зависит от его позиции.

Сложение, умножение и другие математические операции в позиционных системах счисления выполнить легче, чем в непозиционных, т.к. математические операции осуществляются по несложным алгоритмам (например, умножение в столбик, сравнение двух чисел).

В мире наиболее распространены позиционные системы счисления. Помимо знакомой всем с детства десятичной (где используется десять цифр от 0 до 9), в технике широкое распространение нашли такие системы счисление как двоичная (используются цифры 0 и 1), восьмеричная и шестнадцатеричная.

Следует отметить, важную роль нуля. «Открытие» этой цифры в истории человечества сыграло большую роль в формировании позиционных систем счисления.

Основание системы счисления – это количество знаков, которое используется для записи цифр.

Разряд — это позиция цифры в числе. Разрядность числа — количество цифр, из которых состоит число (например, 264 — трехразрядное число, 00010101 — восьмиразрядное число). Разряды нумеруются справа на лево (например, в числе 598 восьмерка занимает первый разряд, а пятерка — третий).

Итак, в позиционной системе счисления числа записываются таким образом, что каждый следующий (движение справа на лево) разряд больше другого на степень основания системы счисления. (придумать схему)

Одно и тоже число (значение) можно представить в различных системах счисления. Представление числа при этом различно, а значение остается неизменным.

Двоичная система счисления

Попробуем считать в двоичной системе:
0 – это ноль
1 – это один (и это предел разряда)
10 – это два
11 – это три (и это снова предел)
100 – это четыре
101 – пять
110 – шесть
111 – семь и т.д.
Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

Можно пойти еще дальше и разложить так:

1476 = 1 * 103 + 4 * 102 + 7 * 101 + 6 * 100

Аналогично можно разложить и любое двоичное число. Только основание здесь будет 2:

10001001 = 1*2⁷ + 0*2⁶ + 0*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰

Если посчитать сумму составляющих, то в итоге мы получим десятичное число, соответствующее 10001001:

1*2⁷ + 0*2⁶ + 0*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Т.е. число 10001001 по основанию 2 равно числу 137 по основанию 10. Записать это можно так:

10001001₂ = 13710
Почему двоичная система счисления так распространена?

Собираем остатки вместе, начиная с конца: 1001101. Это и есть число 77 в двоичном представлении. Проверим:

1001101 = 1*2⁶ + 0*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

Восьмеричная система счисления

Итак, современное «железо понимает» лишь двоичную систему счисления. Однако человеку трудно воспринимать длинные записи нулей и единиц с одной стороны, а с другой – переводит числа из двоичной в десятичную систему и обратно, достаточно долго и трудоемко. В результате, часто программисты используют другие системы счисления: восьмеричную и шестнадцатеричную. И 8 и 16 являются степенями двойки, и преобразовывать двоичное число в них (так же как и выполнять обратную операцию) очень легко.

В восьмеричной системе счисления используется восемь знаков-цифр (от 0 до 7). Каждой цифре соответствуют набор из трех цифр в двоичной системе счисления:

000 – 0
001 – 1
010 – 2
011 – 3
100 – 4
101 – 5
110 – 6
111 – 7

Для преобразования двоичного числа в восьмеричное достаточно разбить его на тройки и заменить их соответствующими им цифрами из восьмеричной системы счисления. Разбивать на тройки нужно начинать с конца, а недостающие цифры в начале заменить нулями. Например:

1011101 = 1 011 101 = 001 011 101 = 1 3 5 = 135

Т.е число 1011101 в двоичной системе счисления равно числу 135 в восьмеричной системе счисления. Или 1011101₂ = 1358.

Обратный перевод. Допустим, требуется перевести число 1008 (не заблуждайтесь! 100 в восьмеричной системе – это не 100 в десятичной) в двоичную систему счисления.

100₈ = 1 0 0 = 001 000 000 = 001000000 = 10000002

Перевод восьмеричного числа в десятичное можно осуществить по уже знакомой схеме:

6728 = 6 * 8² + 7 * 8¹ + 2 * 8⁰ = 6 * 64 + 56 + 2 = 384 + 56 + 2 = 44210
1008 = 1 * 8² + 0 * 8¹ + 0 * 8⁰ = 6410

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления, так же как и восьмеричная, широко используется в компьютерной науке из-за легкости перевода в нее двоичных чисел. При шестнадцатеричной записи числа получаются более компактными.

В шестнадцатеричной системе счисления используются цифры от 0 до 9 и шесть первых латинских букв – A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15).

При переводе двоичного числа в шестнадцатеричное, первое разбивается на группы по четыре разряда, начиная с конца. В случае, если количество разрядов не делится нацело, то первая четверка дописывается нулями впереди. Каждой четверке соответствует цифра шестнадцатеричной системе счисления:

Например:
10001100101 = 0100 1100 0101 = 4 C 5 = 4C5

Если потребуется, то число 4C5 можно перевести в десятичную систему счисления следующим образом (C следует заменить на соответствующее данному символу число в десятичной системе счисления – это 12):

4C5 = 4 * 162 + 12 * 161 + 5 * 160 = 4 * 256 + 192 + 5 = 1221

Максимальное двухразрядное число, которое можно получить с помощью шестнадцатеричной записи — это FF.

FF = 15 * 161 + 15 * 160 = 240 + 15 = 255

255 – это максимальное значение одного байта, равного 8 битам: 1111 1111 = FF. Поэтому с помощью шестнадцатеричной системы счисления очень удобно кратко (с помощью двух цифр-знаков) записывать значения байтов. Внимание! Состояний у 8-ми битного байта может быть 256, однако максимальное значение – 255. Не забывайте про 0 – это как раз 256-е состояние

двоичная система счисления | Encyclopedia.com

Двоичная система счисления, также называемая системой счисления с основанием 2 , представляет собой метод представления чисел, который считает, используя комбинации только двух цифр: нуля (0) и единицы (1). Компьютеры используют двоичную систему счисления для управления и хранения всех своих данных, включая числа, слова, видео, графику и музыку.

Термин «бит», наименьшая единица цифровой техники, означает «двоичную цифру». Байт — это группа из восьми бит.Килобайт равен 1024 байтам или 8192 битам.

Используя двоичные числа, 1 + 1 = 10, потому что «2» не существует в этой системе. Другая система счисления, обычно используемая десятичная система счисления или система счисления по основанию 10 , считается с использованием 10 цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), поэтому 1 + 1 = 2 и 7 + 7 = 14. Другой системой счисления, используемой компьютерными программистами, является шестнадцатеричная система, base-16 , которая использует 16 символов (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F), поэтому 1 + 1 = 2 и 7 + 7 = E. Системы счисления с основанием 10 и 16 более компактны, чем двоичная.Программисты используют шестнадцатеричную систему счисления как удобный и более компактный способ представления двоичных чисел, потому что ее очень легко преобразовать из двоичной системы в шестнадцатеричную и наоборот. Сложнее преобразовать из двоичного в десятичное и из десятичного в двоичное.

Преимущество двоичной системы счисления — ее простота. Вычислительное устройство может быть создано из всего, что имеет ряд переключателей, каждый из которых может переключаться между положением «включено» и положением «выключено». Эти переключатели могут быть электронными, биологическими или механическими, если их можно перемещать по команде из одного положения в другое.Большинство компьютеров имеют электронные переключатели.

Когда переключатель находится в положении «включено», он представляет значение единицы, а когда переключатель находится в положении «выключено», он представляет значение нуля. Цифровые устройства выполняют математические операции, включая и выключая двоичные переключатели. Чем быстрее компьютер может включать и выключать переключатели, тем быстрее он может выполнять свои вычисления.

0 Система

Двоичное	Десятичное	Шестнадцатеричное
Число	Число	Число
4 4 0 Система
0	0	0
1	1	1
10	2	2
11	3	3
100	4	4
101	5	5
110	6	6
111	7	7
1000	8	8
1001	9	9
1010	10	A
1011	11	B
1100	12	C
1101	13	D
1110	14	E
1111	15	F
10000	16	10

Позиционная нотация

Каждая цифра в двоичном числе принимает значение, которое зависит от ее положения в числе .Это называется позиционным обозначением. Это понятие также применимо к десятичным числам.

Например, десятичное число 123 представляет десятичное значение 100 + 20 + 3. Число один представляет сотни, число два представляет десятки, а число три представляет единицы. Математическая формула для создания числа 123 может быть создана путем умножения числа в столбце сотен (1) на 100, или 10 ²; умножение числа в столбец десятков (2) на 10, или 10 ¹; умножение числа в столбце единиц (3) на 1, или 10 ⁰; а затем сложить продукты вместе.Формула: 1 × 10 ² + 2 × 10 ¹ + 3 × 10 ⁰ = 123.

Это показывает, что каждое значение умножается на основание (10) в возрастающей степени. Значение мощности начинается с нуля и увеличивается на единицу в каждой новой позиции в формуле.

Эта концепция позиционного обозначения также применяется к двоичным числам с той разницей, что основание равно 2. Например, чтобы найти десятичное значение двоичного числа 1101, формула имеет вид 1 × 2 ³ + 1 × 2 ² + 0 × 2 ¹ + 1 × 2 ⁰ = 13.

Двоичные операции

Двоичными числами можно управлять с помощью тех же знакомых операций, которые используются для вычисления десятичных чисел, но с использованием только нулей и единиц. Чтобы сложить два числа, нужно запомнить только четыре правила:

Следовательно, чтобы решить следующую задачу сложения, начните с самого правого столбца и сложите 1 + 1 = 10; запишите 0 и перенесите 1. Работая с каждым столбцом слева, продолжайте добавлять, пока проблема не будет решена.

Чтобы преобразовать двоичное число в десятичное, каждая цифра умножается на степень двойки.Затем продукты складываются. Например, чтобы преобразовать двоичное число 11010 в десятичное, формула будет иметь следующий вид:

Чтобы преобразовать двоичное число в шестнадцатеричное, разделите двоичное число на группы по четыре, начиная справа, а затем преобразуйте каждую группу в свое шестнадцатеричный эквивалент. Слева от двоичного числа можно добавить нули, чтобы завершить группу из четырех человек. Например, чтобы перевести число 11010 в шестнадцатеричное, формула будет иметь следующий вид:

Цифровые данные

Биты являются фундаментальным элементом цифровых вычислений.Термин «оцифровка» означает преобразование аналогового сигнала — диапазона напряжений — в цифровой сигнал, или ряд чисел, представляющих напряжения. Музыкальное произведение можно оцифровать, взяв из него очень частые сэмплы, называемые сэмплами, и переведя их в дискретных чисел, которые затем преобразуются в нули и единицы. Если сэмплы берутся очень часто, при воспроизведении музыка звучит как непрерывный тон.

Черно-белую фотографию можно оцифровать, наложив на изображение мелкую сетку и вычислив количество серого на каждом пересечении сетки, называемое пикселем .Например, используя 8-битный код, чисто белая часть изображения может быть оцифрована как 11111111. Аналогичным образом, чисто черная часть может быть оцифрована как 00000000. Каждое из 254 чисел, которые попадают между этими двумя крайностями. (числа от 00000001 до 11111110) представляет собой оттенок серого. Когда приходит время восстановить фотографию, используя набор двоичных цифр, компьютер декодирует изображение, присваивает каждому пикселю правильный оттенок серого и появляется изображение. Чтобы улучшить разрешение, можно использовать более мелкую сетку, чтобы изображение можно было увеличить до большего размера без потери деталей.

Цветная фотография оцифровывается аналогичным образом, но для сохранения цвета пикселя требуется гораздо больше битов. Например, 8-битная система использует восемь битов, чтобы определить, какой из 256 цветов представлен каждым пикселем (2 ⁸ равно 256). Точно так же 16-битная система использует шестнадцать битов для определения каждого из 65 536 цветов (2 ¹⁶ равно 65 536). Поэтому для цветных изображений требуется гораздо больше места для хранения, чем для черно-белых.

см. Также Ранние компьютеры; Объем памяти.

Энн МакИвер Макхоуз

Библиография

Блиссмер, Роберт Х. Знакомство с компьютерными концепциями, системами и приложениями. Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc., 1989.

Диллиган, Роберт Дж. Компьютеры в эпоху Интернета: интерактивное веб-введение. New York: Plenum Press, 1998.

White, Ron. Как работают компьютеры: издание тысячелетия. Индианаполис: Que Corporation, 1999.

Двоичная система счисления

Двоичное число состоит только из 0 с и 1 с.

110100

Пример двоичного числа

В двоичном формате нет 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9!

Двоичные числа имеют множество применений в математике и не только.

Фактически в цифровом мире используются двоичные цифры.

Как считать, используя двоичный код?

Это похоже на десятичный счет, за исключением того, что мы достигаем 10 гораздо раньше.

Двоичный
0		Мы начинаем с 0
1		Затем 1
???		Но тогда для 2 нет символа… что мы делаем?

Ну как считать в десятичной системе счисления?
	0	Начать с 0
	…	Посчитайте 1,2,3,4,5,6,7,8, а затем …
	9	Это последняя цифра в десятичном формате
	10	Итак, мы снова начинаем с 0, но добавляем 1 слева

То же самое делается в двоичном формате…

	двоичный
	0	Начать с 0
•	1	Затем 1
••	10	Теперь начните снова с 0, но добавьте 1 слева
•••	11	еще 1
••••	???	А ТЕПЕРЬ что…?

Что происходит в десятичной системе счисления?
	99	Когда у нас заканчиваются цифры, мы …
	100	… начать снова с 0, но добавить 1 слева

И это то, что мы делаем в двоичном формате …

	двоичный
	0	Начать с 0
•	1	Затем 1
••	10	Начните снова с 0, но добавьте 1 слева
•••	11
••••	100	снова начните с 0 и прибавьте единицу к числу слева… … но это число уже равно 1, поэтому оно также возвращается к 0 … … и 1 добавляется к следующей позиции слева
•••••	101
••••••	110
•••••••	111
••••••••	1000	Снова начать с 0 (для всех 3 цифр), добавить 1 слева
•••••••••	1001	И так далее!

Посмотрите, как это делается, на этой небольшой демонстрации (нажмите кнопку воспроизведения):

Десятичное или двоичное

Вот несколько эквивалентных значений:

Десятичный:	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Двоичный:	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

Симметрия

Двоичные числа также имеют красивый и элегантный узор:

Вот несколько больших значений:

Десятичный:	20	25	30	40	50	100	200	500
Двоичный:	10100	11001	11110	101000	110010	1100100	11001000	111110100

«Бинарный — это так же просто, как 1, 10, 11.«

Теперь посмотрим, как использовать двоичный код для подсчета на пальцах больше 1000:

Позиция

В десятичной системе есть единицы, десятки, сотни и т. Д.

В Binary есть единицы, двойки, четверки и т. Д., Например:

Это 1 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 + 1 × (1/2) + 0 × (1/4) + 1 × (1/8)
= 13,625 в десятичной системе счисления

Цифры можно размещать слева или справа от точки, чтобы отображать значения больше единицы и меньше одного.

10,1
	Число слева от точки целое число (например, 10)

По мере продвижения влево каждое число получает 2 раз больше .

	Первая цифра справа означает половинок (1/2).

	По мере продвижения вправо каждое число становится в 2 раза меньше (вдвое меньше).

Пример: 10.1

«10» означает 2 в десятичной системе счисления,
«.1» означает половину,
Итак, «10,1» в двоичном формате равняется 2,5 в десятичном.

Вы можете преобразовывать двоичные числа в десятичные в шестнадцатеричные.

Слова

Слово двоичное происходит от «Bi-», что означает два. Мы видим «би-» в таких словах, как «велосипед» (два колеса) или «бинокль» (два глаза).

Когда вы произносите как двоичное число, произносите каждую цифру (например, двоичное число «101» произносится как «один ноль один» , или иногда «один ноль один» ). Таким образом, люди не запутаются с десятичным числом.

Одна двоичная цифра (например, «0» или «1») называется «битом».

Например, 11010 имеет длину пять бит.

Слово бит состоит из слов « b inary dig it »

Как показать, что число двоичное

Чтобы показать, что число является двоичным числом , поставьте за ним маленькую двойку, например: 101 ₂

Таким образом, люди не подумают, что это десятичное число «101» (сто один).

Примеры

Пример: что такое 1111

₂ в десятичном формате?

«1» слева находится в позиции «2 × 2 × 2», то есть 1 × 2 × 2 × 2 (= 8)
Следующая «1» находится в позиции «2 × 2», то есть 1 × 2 × 2 (= 4)
Следующая «1» находится в позиции «2», то есть 1 × 2 (= 2)
Последняя «1» находится в разряде единиц, то есть 1
Ответ: 1111 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 в десятичной системе счисления

Пример: что такое 1001

₂ в десятичном формате?

«1» слева находится в позиции «2 × 2 × 2», то есть 1 × 2 × 2 × 2 (= 8)
«0» находится в позиции «2 × 2», то есть 0 × 2 × 2 (= 0)
Следующий «0» находится в позиции «2», то есть 0 × 2 (= 0)
Последняя «1» находится в разряде единиц, то есть 1
Ответ: 1001 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9 в десятичной системе счисления

Пример: Что такое 1.1

₂ в десятичной системе счисления?

«1» на левой стороне находится в позиции единиц, так что это означает 1.
1 на правой стороне находится в положении «половинки», то есть 1 × (1/2)
Итак, 1,1 — это «1 и 1 половина» = 1,5 в десятичном формате

Пример: что такое 10,11

₂ в десятичном формате?

«1» находится в позиции «2», то есть 1 × 2 (= 2)
«0» находится в разряде единиц, то есть 0
«1» справа от точки находится в положении «половинки», то есть 1 × (1/2)
Последняя «1» справа находится в позиции «четверти», то есть 1 × (1/4)
Итак, 10.11 равно 2 + 0 + 1/2 + 1/4 = 2,75 в десятичной системе счисления

«В мире есть 10 типов людей:
те, кто понимает двоичные числа, и те, кто не понимает».

двоичных цифр

Двоичная цифра может быть только 0 или 1

В компьютерном мире « b inary dig it » часто сокращается до слова « bit »

Более одной цифры

Итак, есть только два способа получить двоичную цифру ( «0» и «1» или «Вкл.» И «Выкл.» )… а как насчет 2 или более двоичных цифр?

Запишем их все, начиная с 1 цифры (можете проверить сами с помощью переключателей):

Вот последний список боком:

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

И (без ведущих нулей) у нас есть первые 16 двоичных чисел:

Двоичный:	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
Десятичный:	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15

Это пригодится! Чтобы запомнить последовательность двоичных чисел, просто подумайте:

«0» и «1» {0,1}
, затем повторите «0» и «1» еще раз, но с «1» впереди: {0,1,10,11}
, затем повторите те с цифрой «1» впереди: {0,1,10,11,100,101,110,111}
и так далее!

На каждом этапе мы повторяем все, что у нас есть до сих пор, но с 1 впереди.

Теперь узнайте, как использовать двоичный код для подсчета на пальцах больше 1000:

Двоичные цифры … они удваиваются!

Также обратите внимание, что каждый раз, когда мы добавляем еще одну двоичную цифру, мы удваиваем возможных значений.

Почему двойной ? Потому что мы берем все предыдущие возможные значения и сопоставляем их с «0» и «1», как указано выше.

Итак, только одна двоичная цифра имеет 2 возможных значения (0 и 1)
Две двоичные цифры имеют 4 возможных значения (0, 1, 10, 11)
Три имеют 8 возможных значений
Четыре имеют 16 возможных значений
Пять имеют 32 возможных значения
Шесть имеют 64 возможных значения
и др.

Используя экспоненты, это может быть показано как:

Число цифр	Формула	Настройки
1	2 ¹	2
2	2 ²	4
3	2 ³	8
4	2 ⁴	16
5	2 ⁵	32
6	2 ⁶	64
и т. Д…	и др. ^..	и т.д …

Пример: когда у нас есть 50 двоичных цифр (или 50 элементов, каждая из которых может иметь только две позиции), сколько разных способов это сделать?

Ответ: 2 ⁵⁰ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 … (пятьдесят из них)
= 1 125 899 906 842 624

Итак, двоичное число из 50 цифр может иметь 1 125 899 906 842 624 различных значения.

Или, другими словами, он может отображать число до 1 125 899 906 842 623 (примечание: это на единицу меньше, чем общее количество значений, потому что одно из значений равно 0).

Пример: Начните месяц с 1 доллара и удваивайте его каждый день, через 30 дней вы станете

миллиардером !

2 ³⁰ = 2 × 2 × 2 × 2 … (тридцать из них)
= 1,073,741,824

Шахматная доска

Существует старинная индийская легенда о короле, которого посетивший Мудрец вызвал на игру в шахматы. Король спросил: «Какой будет приз, если ты выиграешь?».

Мудрец сказал, что ему просто нужно несколько зерен риса: одно на первом квадрате, 2 на втором, 4 на третьем и так далее, удваивая на каждом квадрате.Король был удивлен этой скромной просьбой.

Итак, Мудрец выиграл, так сколько зерен риса он должен получить?

На первом квадрате: 1 зерно, на втором квадрате: 2 зерна (всего 3) и так далее вот так:

Квадрат	Зерна	Всего
1	1	1
2	2	3
3	4	7
4	8	15

10	512	1 027

20	524 288	1 048 575

30	53,6870,912	1 073 741 823

64	???	???

К 30 квадрату видно, что риса уже много! Миллиард зерен риса составляет около 25 тонн (1000 зерен — около 25 г… весил немного!)

Обратите внимание, что Всего любого квадрата на 1 меньше, чем Зерна на следующем квадрате (Пример: сумма квадрата 3 равна 7, а квадрат 4 содержит 8 зерен). Таким образом, сумма всех квадратов представляет собой формулу: 2 ⁿ −1 , где n — номер квадрата. Например, для квадрата 3 сумма составляет 2 ³ −1 = 8 — 1 = 7

Итак, чтобы заполнить все 64 клетки на шахматной доске, потребуется:

2 ⁶⁴ −1 = 18 446 744 073 709 551 615 зерна (460 миллиардов тонн риса),

во много раз больше риса, чем во всем королевстве.

Итак, к силе двоичного удвоения не стоит относиться легкомысленно (460 миллиардов тонн — это нелегко!)

Зерна риса на каждом квадрате в экспоненциальном представлении
Значения округлены, поэтому 53,6870,912 отображается как 5 × 10 ⁸
, что означает 5, за которыми следуют 8 нулей

(Кстати, в легенде Мудрец раскрывается как Господь Кришна и говорит королю, что он не должен платить долг сразу, но может заплатить ему через какое-то время, просто подавайте рис паломникам каждый день. до тех пор, пока долг не будет погашен.)

Шестнадцатеричный

Наконец, давайте посмотрим на особые отношения между двоичным и шестнадцатеричным.

Есть 16 шестнадцатеричных цифр, и мы уже знаем, что 4 двоичных цифры имеют 16 возможных значений. Что ж, именно так они относятся друг к другу:

Двоичный:	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
Шестнадцатеричный:	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	E	F

Итак, когда люди используют компьютеры (которые предпочитают двоичные числа), намного проще использовать одну шестнадцатеричную цифру, чем 4 двоичные цифры.

Например, двоичное число «100110110100» равно «9B4» в шестнадцатеричном формате. Я знаю, о чем предпочел бы написать!

двоичных пальцев!

Забудьте о счетах до 10 на пальцах … вы можете сосчитать до 1000, если хотите!

Правая рука

Одной правой рукой вы можете сосчитать до 31:

… и продолжаем узор:

сложите большой палец (+1), чтобы получилось 9,
или сложите указательный палец (+2), чтобы получилось 10
или сложите большой (+1) и указательный (+2) пальцы, чтобы получилось 11
и др.

Фактически вы считаете в двоичном формате:

Номер	Сделано в
1	1					вверх
2	2				вверх
3	2 + 1				вверх	вверх
4	4			вверх
5	4 + 1			вверх		вверх
6	4 + 2			вверх	вверх
7	4 + 2 + 1			вверх	вверх	вверх
8	8		вверх
9	8 + 1		вверх			вверх
10	8 + 2		вверх		вверх
11	8 + 2 + 1		вверх		вверх	вверх
12	8 + 4		вверх	вверх
13	8 + 4 + 1		вверх	вверх		вверх
14	8 + 4 + 2		вверх	вверх	вверх
15	8 + 4 + 2 + 1		вверх	вверх	вверх	вверх
16	16	вверх
17	16 + 1	вверх				вверх
	и др….

Вот еще несколько примеров:

16 + 8 + 2
марок 26

16 + 8 + 4 + 2
марок 30

Почему?

Так что вы можете считать до больших чисел, когда у вас нет карандаша или бумаги.

Вы также можете «запомнить» числа, правильно держа пальцы.

Или вы можете показать кому-нибудь секретный номер, используя только свою руку (или руки, см. Позже).

Твоя очередь

Потренируйтесь считать на пальцах от 0 до 31, как описано выше.

Сделайте это много раз, пока не станет легко.

Когда у тебя получится хорошо, продемонстрируй это своим друзьям!

Левая рука

Хотите больше цифр? Левая рука может помочь:

Теперь мы можем использовать все 10 пальцев, чтобы составить такие числа:

32 + 2
марок 34

32 + 16 + 8 + 4
марки 60

512 + 256 + 32 + 2 + 1
марок 803

И, наконец, что происходит, когда все пальцы подняты?

512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1
составляет 1,023

Итак, теперь вы можете считать чуть больше 1000, используя всего 10 пальцев.Вот это да.

Практикуйте это в течение следующих нескольких дней … вы получите новый навык, а также обнаружите, что двоичный код будет намного легче понять.

Понимание двоичных чисел для начинающих

По моему опыту преподавания сетевых технологий, многие студенты борются с IP-адресами, потому что им не хватает базового понимания двоичных чисел.

Понимание двоичных чисел, двоичной системы и того, как преобразовывать двоичные числа в десятичные, важно для всех, кто занимается компьютерами, кодированием и сетями.

Binary 101 — Что вы узнаете

Основы основ счисления — основание 10, основание 2 и основание 16
Как преобразовать двоичное в десятичное и наоборот
Как преобразовать двоичные числа в шестнадцатеричные и наоборот,
Как преобразовать шестнадцатеричное в десятичное и наоборот,

Обзор десятичных и десятичных чисел с основанием 10

Прежде чем мы узнаем о двоичной системе счисления, мы более подробно рассмотрим нашу обычную десятичную систему счисления.

Принципы одинаковы для всех систем нумерации, и их легче освоить с помощью более знакомой вам системы.

Во-первых, наша десятичная система использует 10 в качестве основания , а числа находятся в диапазоне от 0 до 9

Давайте посмотрим на несколько примеров чисел

Начнем с трехзначного числа 129 (сто двадцать девять).

Это состоит из 100 +20 +9 = 129

Если мы посмотрим на диаграмму ниже, то увидим, что при движении справа налево столбцы увеличиваются в 10 раз.

2 во втором столбце не 2, а 2 * 10 = 20, а 1 в третьем столбце не 1, а 1 * 10 * 10 = 100.

означает 10 в степени 0. Это равно 1 и представляет наш столбец единиц.

В краткой таблице ниже показано еще несколько записей, использующих обозначение степени.

При записи десятичных чисел мы редко пишем значения столбцов над числами, поскольку мы уже знаем, что они собой представляют, поэтому мы просто пишем:

129 а не

Я ввел обозначение степеней, потому что оно имеет фундаментальное значение для понимания двоичных чисел.

Минимальное возможное число из трех цифр — 000 , а максимальное — 999. Для чисел больше 999 нам нужен 4-й столбец, который будет столбцом тысяч.

Двоичная система счисления

Двоичные числа являются числами с основанием 2 и имеют только два значения — 0 и 1.

Если мы посмотрим на двоичное число, такое как 101, то мы снова можем присвоить значения столбцов, как мы это делали с нашим десятичным числом, но на этот раз мы используем 2, а не 10 в качестве основы.

Итак, двоичный код 101 двоичный имеет 1 в столбце единиц, 0 в столбце 2 и 1 в столбце 4.

Опять же, если работать справа налево, то:

1 — это 1, как и в столбце единиц, но следующая 1 — это не 1, а 1 * 4 = 4

В двоичных числах используется основание 2, поэтому столбцы равны

Преобразование двоичного числа в десятичное

Давайте посмотрим на несколько двоичных чисел и преобразуем их в десятичные

Начнем с трехзначного двоичного числа 101 (см. Изображение выше

Число можно преобразовать в десятичное путем умножения следующим образом:

1 * 1 + 0 * 2 + 1 * 4 = 5

Максимальное значение, которое мы можем иметь с тремя двоичными цифрами, составляет 111 = десятичное 7, рассчитанное следующим образом:

1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4

Еще примеры:

1011 двоичный = 1 * 1 + 1 * 2 + 0 * 4 + 1 * 8 = 11

1111 двоичный = 1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4 + 1 * 8 = 15

Попробуйте сами

1001 двоичный =?

1100 двоичный =?

Преобразование десятичного числа в двоичное

Как преобразовать десятичное число в двоичное.

Пример того, что такое десятичное 10 двоичное.

Я использую следующий список из двух кратных.

128,64,32,16,8,4,2,1

Вот удобная диаграмма

Примечание: ошибка на диаграмме выше должна быть 2 ⁷ = 128

Процедура заключается в вычитании числа с наибольшей степенью двойки из десятичного числа

наибольшая степень двойки числа r, которую мы можем вычесть, составляет 8 , что составляет 2 ³.

Итак, 10-8 = 2

, теперь мы делаем то же самое с остатком, поэтому наибольшее число, которое мы можем вычесть, равно 2, что равно 2 ¹

2-2 = 0

, поэтому у нас есть 1 восемь, без четверок, 1 два, без единиц = 1010 = 2 ³ + 2 ¹ .

Пример 2 : десятичный 13 в двоичный код

1 восемь, 1 четыре, 0 два, 1 единица = 1101.

Пример 3 : из десятичного числа 7 в двоичный код

0 восемь, 1 четыре, 1 два, 1 единица = 0111.

Попробуйте сами вопросы

1001 двоичный = 9

1100 двоичный = 12

Байт, октеты и шестнадцатеричные числа

В компьютерах общепринятыми являются 8-битные числа для кодирования и работы в сети.

8-битное число известно как октет , а также чаще его называют байтом . Подробности см. В Wiki.

Преобразование двоичного числа в десятичное и преобразование десятичного числа в двоичное 8-битные числа

8-битное двоичное число может представлять максимум десятичного числа 255 = двоичное 11111111 .

Рассчитывается следующим образом:

1 * 128 + 1 * 64 + 1 * 32 + 1 * 16 + 1 * 8 + 1 * 4 + 1 * 2 + 1 + 1 = в десятичном виде 255

Вот еще одно 8-битное двоичное число — 01101011.

Чтобы преобразовать его в десятичное, мы запишем число с номерами столбцов, указанными выше, следующим образом:

, если мы преобразуем наши столбцы в десятичные эквиваленты, используя следующую диаграмму.

, затем двоичное число 01101011 = 1 * 1 + 1 * 2 + 0 * 4 = 1 * 8 + 0 * 16 = 1 * 32 + 1 * 64 + 0 * 128

= 64 + 32 + 8 + 2 + 1 = 107

Уведомление состоит исключительно из единиц и нулей.

Чтобы преобразовать это число в десятичное, нам нужно понять, что представляет собой каждая единица.

Если мы напишем значение столбца с над числами, то станет легко преобразовать двоичное число в десятичное.

Пример преобразования десятичного числа в двоичное

Последний более крупный пример преобразования десятичного числа 200 в двоичный код

200 = 128 + 64 + 8 = 2 ⁷ + 2 ⁶ + 2 ³ = 11001000

Если вы довольны процессом, вы можете использовать двоично-десятичный калькулятор , как в Windows.

Преобразует двоичные числа в десятичные

, и это преобразует десятичные числа в двоичные

Что такое шестнадцатеричные числа

Шестнадцатеричное число (основание 16) требует 4 бита и имеет максимальное значение 15 . Он использует символы 0-9, A, B, C, D, E, F .

Они представлены в двоичной форме следующим образом:

0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
..
1010 = A
1011 = B
1100 = C
1101 = D
1110 = E
1111 = F

Байт (8 бит) может быть представлен как два шестнадцатеричных числа.

т.

FF = двоичное 11111111 и десятичное 255

F0 = 11110000 двоичное и десятичное 240

Быстрый тест

Тест по основам двоичных чисел

Информация

Базовый тест на понимание студентами двоичных чисел.

Вы уже проходили викторину раньше. Следовательно, вы не можете запустить его снова.

Вы должны войти или зарегистрироваться, чтобы начать викторину.

Вы должны пройти следующую викторину, чтобы начать эту викторину:

Видео

Если вы предпочитаете видео, я подготовил видео, в котором описывается вышесказанное — Видео о двоичных числах

Ресурсы и статьи по теме:

Оцените? И используйте Комментарии, чтобы сообщить мне больше

Происхождение двоичной системы счисления

Формулировка двоичной системы счисления по существу заложила основу для цифровых схем, компьютеров и области информатики, какой мы ее знаем в сегодняшнем технологическом- продвинутый мир.Поскольку наш мир технологически прошел путь от простой механики до квантового моделирования, потребность в подсчете со временем не уменьшилась ни людьми, ни машинами. Основная система, используемая людьми для вычислений, — это десятичная система счисления, однако потребность в более сложной и простой системе счисления в цифровых компьютерах и компьютерных устройствах привела к принятию двоичной системы счисления. Что такое двоичная система счисления?

Двоичная система счисления буквально соответствует своей номенклатуре.Проще говоря, это буквально система счисления, которая представляет числа с использованием только двух уникальных цифр — обычно 0 и 1. Система счисления также известна как система счисления с основанием 2. Компьютеры используют эту систему нумерации для хранения и управления своими данными, включая числа, слова, музыку, графику и многое другое. Фактически, термин «бит», который представляет собой наименьшую возможную единицу цифровой технологии, на самом деле происходит от слов «Binary digiT». Сегодня программисты используют шестнадцатеричную систему счисления или систему счисления с основанием 16 как более компактный способ представления этих двоичных чисел.Почему? Потому что компьютерам проще преобразовать двоичное в шестнадцатеричное и наоборот, и значительно сложнее сделать это с широко используемой десятичной системой счисления.

Вы все еще не понимаете, почему в компьютерах используется двоичная система счисления? Это просто. На самом деле нет, это из-за его простоты. Вычислительная система часто содержит ряд переключателей (электронных, механических и т. Д.), Каждый из которых может переключаться между положениями «включено» и «выключено».Итак, когда переключатель включен, он представлен значением 1, а выключение — значением 0. Итак, цифровые устройства, такие как наши компьютеры, выполняют математические операции с использованием двоичных переключателей, которые либо включены, либо выключены.

Концепция позиционного обозначения, которая используется в десятичных числах для определения числа с использованием позиционных данных, также применяется в двоичном формате. Однако в двоичной системе основание или основание системы счисления всегда равно 2. Итак, двоичное число 1001 можно найти таким образом — 1 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 2 x 20 = 9.Кроме того, если вы хотите научиться считать в двоичном формате, вот удобное руководство на Wikihow для того же (https://dgit.in/binary).

Ранние истоки до Лейбница

Современная двоичная система счисления была впервые исследована в Европе в 16-17 веках Готфридом Лейбницем и некоторыми другими математиками. Однако системы, подобные бинарной системе, появились еще в древности в различных культурах и цивилизациях. И Цзин, также называемый «Классикой перемен» или «Книгой перемен», является одним из старейших китайских текстов, который восходит к IX веку до нашей эры.В этом тексте концепция Инь-Ян описывает взаимосвязь между силами в мире.

В И-Цзин инь-ян представлен с использованием триграмм, а в более поздних версиях текста используются гексаграммы. Это одна из самых первых версий двоичных обозначений, которая в то время использовалась для интерпретации техники четвертичного предсказания, основанной на двойственности инь и ян. Позже ученый из династии Сун Шао Ён изменил положение гексаграмм в таком формате, который сильно напоминал современные двоичные числа.

Еще до этих событий в Китае древние писцы, найденные в Египте, использовали нечто, известное как фракции Глаз Гора, что было одним из двух методов, которые египтяне использовали для представления дробей. Фракции Гора-Глаза на самом деле представляют собой двоичную систему счисления, которая использовалась для представления дробных количеств зерен, жидкостей и других показателей в то время. Эту систему можно найти в документах Пятой династии Египта в 2400 г. до н. Э., А более развитые иероглифические формы восходят к XIX династии Египта в 1200 г. до н. Э.

Ближе к дому индийский ученый Пингала, автор «Чхандахшастры», также был известен как один из первых изобретателей бинарной системы во II веке до нашей эры. По словам исследователей, его работа описывала двоичную систему счисления, используя фиксированные образцы коротких и длинных слогов при описании просодии (основная ритмическая структура стиха в поэзии). Это также похоже на код Морзе. Короткие слоги назывались лагху, а длинные — гуру. Система Пингалы была похожа на современную двоичную систему, поскольку она начиналась с системы с четырьмя короткими лагху, которые представляли 1, и так далее.Числовое значение просто добавляет единицу к сумме всех значений разряда. Разница между современной двоичной системой и изобретением Пингалы состоит в том, что система последней начинается с единицы вместо нуля, а двоичные представления увеличиваются вправо, а не влево, как в современной интерпретации.

Гораздо дальше в будущее Томас Харриот, английский математик и астроном, в 1600-х годах углубился в многопозиционные системы счисления, которые также включали двоичную систему, однако он не опубликовал свои результаты, и они были найдены посмертно в его статьях.В 1605 году английский философ Фрэнсис Бэкон исследовал систему, в которой буквы алфавита преобразовывались в последовательности двоичных цифр.

Вклад Лейбница

Возможно, одно из самых известных имен в истории не только двоичных чисел, но и математики, Готфрид Вильгельм Лейбниц носил множество шляп. Он изобрел механические калькуляторы, создал колесо Лейбница, которое использовалось в калькуляторах вплоть до изобретения электронных калькуляторов в 70-х годах.Лейбниц столкнулся с гексаграммами, изображенными в «И Цзин», и выразил свои идеи о системе счисления, которая считает по два после того, как черпал вдохновение в работе над китайским текстом. Он был взволнован тем, как гексаграммы соответствуют двоичным числам от 0 до 111111. Согласно «Развитию двоичной системы счисления» Даниэля Р. Ланде, Лейбниц проявил огромный интерес в попытке объединить философии Востока и Запада. Он попытался получить это, утверждая связь между китайскими гексаграммами, найденными в И Цзин, и его двоичной системой.Это привело к тому, что Лейбниц написал статью «Объяснение двоичной арифметики», опубликованную в 1703 году. Хотя его идея была поддержана И Цзином, именно он сформулировал двоичную систему счисления в том виде, в котором она используется даже сегодня.

В этой статье он подчеркивает основы двоичной системы, включая счет, сложение, вычитание, умножение и деление.

После работы Лейбница математики и ученые, такие как Джордж Буль, который изобрел булеву алгебру, и Клод Шеннон, реализовавший как булеву алгебру, так и двоичную арифметику с помощью электронных реле и переключателей, значительно продвинулись в области, в которой двоичные числа стали незаменимыми.В 1937 году Джордж Стибиц разработал первый релейный компьютер под названием Model K, который рассчитывал с использованием двоичного кода (только сложение). Наконец, между 1935 и 1938 годами был построен компьютер Z1, который одновременно использовал логику и двоичные числа с плавающей запятой. Двоичные числа выдержали испытание временем десятилетиями, если не столетиями. Однако некоторые исследователи считают, что появление квантовой технологии может сделать систему устаревшей. Тем не менее, на данный момент это все еще система, на которой работают компьютерные системы по всему миру.

Информатика: двоичный

/ ru / информатика / аппаратно-программное обеспечение / содержание /

двоичный

На протяжении всей истории почти каждая цивилизация использовала десятичную систему счисления с 10 цифрами : от нуля до девяти. Все числа, которые мы можем придумать, используют некоторую комбинацию этих 10 цифр.

Компьютеры, однако, работают иначе. Вместо этого они используют систему счисления, в которой всего две цифры : единица и ноль.Эта система называется двоичная , и ваш компьютер использует ее постоянно.

Посмотрите видео ниже, чтобы узнать больше о том, как компьютеры используют двоичный код.

Компьютеры нуждаются в информации для того, чтобы делать то, что они делают. Эта цифровая информация, или данных , состоит из того, что называется бит . Бит — это сокращение от двоичной цифры , что означает, что каждый бит на самом деле представляет собой просто одно число: либо , либо , либо , ноль .

Эти биты можно комбинировать для создания более крупных единиц, таких как байты, мегабайты и т. Д., Которые мы используем для измерения наших файлов. Чем больше файл, тем больше в нем битов. Так что что-то вроде видео с высоким разрешением на самом деле состоит из миллионов и миллионов единиц и нулей.

Но как именно эти единицы и нули объединяются и позволяют компьютеру функционировать? Давайте подумаем о двоичном коде как о выключателе . Представьте, что один представляет выключатель света на , а ноль представляет выключен .В двоичном режиме индикатор горит или выключен, других возможных состояний нет.

Эти биты объединены в различные комбинации единиц и нулей и образуют своего рода код . Затем ваш компьютер быстро обрабатывает этот код и переводит его в данные, сообщая ему, что делать.

Вам может быть интересно, почему компьютеры используют двоичную систему вместо десятичной, которую мы используем для подсчета вещей в нашей повседневной жизни. Как упоминалось выше, двоичный файл имеет два состояния: выключено и включено.Если бы компьютеры использовали десятичную систему, вместо этого было бы 10 состояний , и им пришлось бы работать намного больше , чтобы обработать их все. Компьютерам проще обрабатывать двоичные файлы, к тому же они занимают меньше места.

Подобно тому, как атомы составляют все вокруг нас в реальном мире, все в цифровом мире можно разбить на двоичные. И хотя мы их не видим, это всего лишь куча единиц и нулей.

/ ru / информатика / языки программирования / содержание /

Двоичная система счисления

Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную

Почему двоичная система счисления так распространена?

Перевод десятичного числа в двоичное

Информатик БУ — Кратко о системах счисления

Двоичная система счисления

Восьмеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления

Двоичная система счисления в информатике с примерами

Реферат на тему: Система счисления

Введение

История происхождения систем счисления

Численные системы, используемые в компьютерных технологиях

Системы без номеров позиций

Позиционные номера

Десятичная система счисления

Двоичная система счисления

Восьмикратная числовая система

Шестнадцатеричная система счисления

Заключение

Список литературы

Системы счисления

Основные понятия систем счисления

Виды систем счисления

Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую

2.1 Представление информации в двоичной системе счисления

Простая информатика — Система счисления

двоичная система счисления | Encyclopedia.com

0 Система

0 Система

0 Система

Позиционная нотация

Двоичные операции

Цифровые данные

Библиография

Двоичная система счисления

Как считать, используя двоичный код?

Десятичное или двоичное

Симметрия

Позиция

Пример: 10.1

Слова

Как показать, что число двоичное

Примеры

Пример: что такое 1111

Пример: что такое 1001

Пример: Что такое 1.1

Пример: что такое 10,11

двоичных цифр

Более одной цифры

Двоичные цифры … они удваиваются!

Пример: когда у нас есть 50 двоичных цифр (или 50 элементов, каждая из которых может иметь только две позиции), сколько разных способов это сделать?

Пример: Начните месяц с 1 доллара и удваивайте его каждый день, через 30 дней вы станете

Шахматная доска

Шестнадцатеричный

двоичных пальцев!

Правая рука

Почему?

Твоя очередь

Левая рука

Понимание двоичных чисел для начинающих

Binary 101 — Что вы узнаете

Обзор десятичных и десятичных чисел с основанием 10

Двоичная система счисления

Преобразование двоичного числа в десятичное

Еще примеры:

Попробуйте сами

Преобразование десятичного числа в двоичное

Байт, октеты и шестнадцатеричные числа

Преобразование двоичного числа в десятичное и преобразование десятичного числа в двоичное 8-битные числа

Пример преобразования десятичного числа в двоичное

Что такое шестнадцатеричные числа

Быстрый тест

Тест по основам двоичных чисел

Информация

Видео

Происхождение двоичной системы счисления

Информатика: двоичный

двоичный

Добавить комментарий Отменить ответ