Десятичная система счисления
Жизнь в современном мире невозможно без чисел. Номера домов и страницы книг, даты, время и температура, зарплаты и цены… с числами мы встречаемся везде.
Люди научились использовать числа еще в глубокой древности.
Натуральными числами называются числа, которые используются при счете предметов (числа 1, 2, 3, …). Слово «натуральный» происходит от латинского слова «natura», что в переводе означает «природа». Натуральные числа можно назвать естественными числами.
Математика как наука изучает числа, арифметические действия, геометрические фигуры и их свойства.
1 — это наименьшее натуральное число. Именно с него начинается счет. Каждое следующее натуральное число на 1 больше предыдущего. При счете меньшее число называется раньше, а большее позже.
Число нуль не относится к натуральным числам.
Верны следующие утверждения:
- Любое натуральное число имеет следующее за ним.
- Число 1 — наименьшее натуральное число.
- Наибольшего натурального числа не существует.
- Любое натуральное число больше нуля.
- Десять единиц одного разряда образуют единицу следующего разряда.
Неверны следующие утверждения:
- Каждое натуральное число имеет предыдущее число, которое также является натуральным. (Это не так, так как у числа 1 нет предыдущего натурального числа.)
- Цифра 4 в записи числа 34 607 означает число сотен. (Нет, оно обозначает число тысяч.)
- Для записи числа 406 405 использовано 6 разных цифр. (Нет. Количество цифр действительно шесть, но цифры 4 и 0 использованы по два раза. Следовательно, использовано всего четыре разные цифры: 4, 0, 6, 5.
У некоторых первобытных племен для счета было всего четыре слова: один, два, три и много. Развитие цивилизации потребовало несравнимо больше чисел, и люди изобрели различные системы счисления.
Одной из широко используемых является арабская система счисления (нумерация). С ней вы познакомились в начальной школе. Для записи любого числа в этой системе используются цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0. Всего цифр десять, поэтому арабскую систему называют десятичной.
Значение цифры в записи числа меняется в зависимости от места (позиции), которое она занимает. Например, цифра 5 в числе 254 обозначает число десятков, а в числе 513 — число сотен. Поэтому арабская система счисления, которой мы пользуемся, называется позиционной.
Чтобы правильно читать и записывать числа, нужно знать таблицу разрядов и классов.
Правило чтения чисел
Пусть нужно прочитать число 20100038050798.
- Разбиваем число на классы, отделяя по три цифры справа налево: 20 100 038 050 798.
- Читаем число слева направо: называем число, представленное первой группой цифр, и название класса, затем называем число, представленное второй группой цифр, и название класса и т. д.
- Если все три разряда класса заполнены нулями, то при чтении числа этот класс пропускают.
Число 20 100 038 050 798 читается так: двадцать триллионов сто миллиардов тридцать восемь миллионов пятьдесят тысяч семьсот девяносто восемь.
В таблице не поместились более мощные классы. Так, слева от класса триллионов должен быть класс квадриллионов, еще левее классы квинтиллионов, секстиллионов и т. д. Отметим также, что необходимость в использовании названий этих классов в практической деятельности человека возникает довольно редко.
Правило записи чисел
Пятьсот, шестьсот, семьсот, восемьсот, девятьсот пишутся с мягким знаком.
Миллион, миллиард, триллион и др. пишутся с двумя буквами «л». Используются сокращения: единица — ед., сотня — сот., десяток — дес., тысяча — тыс., миллион — млн, миллиард млрд, триллион — трлн.
1 млн = 1 000 000, 1 млрд = 1 000 000 000 000,
1 трлн = 1 000 000 000 000.
Сумма разрядных слагаемых
Числа в десятичной системе могут быть представлены в виде суммы значений цифр, которыми они записана.
Так, например, 70 893 = 70 000 + 800 + 90 + 3.
Слагаемые первой части равенства называют разрядными.
Задачи
- Запишите число, которое: 1) следует за числом 1999; 2) предшествует числу 10000; 3) на 10 меньше, чем наименьшее двузначное число; 4) в 3 раза меньше наибольшего двузначного числа; 5) на 90 больше наименьшего трехзначного числа; 6) в 2 раза больше числа 500.
- Ответьте на вопросы: 1) Сколько существует однозначных чисел? 2) Сколько существует двузначных чисел? 3) Сколько раз встречается цифра 7 в записи натуральных чисел от 1 до 100? 4) Сколько различных четырехзначных чисел можно составлять, используя только цифры 8 и 0 или одну из них? Прочитайте полученные числа.
- Прочитайте числа, записанные в таблице разрядов и классов. 1) Назовите цифру, которая стоит в разряде: единиц, единиц тысяч, единиц миллионов. 2) Назовите старший разряд чисел. 3) Назовите разряд, в котором стоит цифра 8.
- Запишите цифрами: 1) наименьшее пятизначное число; 2) наибольшее шестизначное число; 3) какое-нибудь число, которое больше миллиона; 4) число, которое на 2 меньше триллиона.
- Запишите семизначное число. Прочитайте записанное число. Назовите старший разряд в этом числе. Сколько классов в данном числе?
- Запишите восьмизначное число, в котором 5 млн и 5 ед. Прочитайте полученное число. Назовите старший разряд в этом числе. Сколько цифр в записи данного числа?
- Найдите двузначное число, произведение цифр которого равно наибольшему однозначному числу, а цифра десятков меньше цифры единиц.
- Мальчик ждет зеленого сигнала светофора и вслух считает проезжающие машины. Сколько машин проехало мимо мальчика после того, как он назвал число 17, если при счете 35 зажегся зеленый свет? Каким действием вы нашли ответ на вопрос задачи?
- Сколько различных чисел можно записать цифрами 1, 3, 8 и 0, если цифры в записи числа не повторяются?
- Из трехзначного числа, записанного цифрами 5, 6 и 7, вычитается число 23. Какое наименьшее число можно записать, используя все цифры результата?
- Записаны подряд натуральные числа от 1 до 999. Сколько раз в записи всех чисел встречается цифра 9?
- Прочитайте число 9876543210. Запишите число в виде суммы разрядных слагаемых. Сколько классов в записи данного числа? Какая цифра стоит в разряде десятков миллионов?
- Запишите с помощью цифр число двадцать пять миллиардов сто миллионов двадцать восемь.
- Запишите прописью число 1500060300.
Десятичная система счисления 5 класс | Презентация к уроку по математике (5 класс) на тему:
Слайд 1
7.09.15 Классная работаСлайд 2
Устная работа Как называются числа, которые получаются в результате счета предметов? Натуральные числа С помощью каких цифр записываются натуральные числа? С помощью арабских цифр 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
Слайд 3
Немного истории… Арабские цифры появились в Индии не позднее 5 века. От индийцев эти цифры распространились через Иран к арабам, и затем уже арабы занесли их в Европу. Мы называем их арабскими цифрами, тогда как на самом деле эти цифры индийские, они происходят от индийских символов для записи чисел . Впервые индийскую систему записи использовал арабский учёный Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми
Слайд 4
Немного истории… В древности с амым простым инструментом счета были пальцы на руках человека. Сначала люди просто различали один предмет перед ними или нет. Если предмет был не один, то говорили «много». Для запоминания чисел использовались камешки, зерна, ракушки и т.д., делались зарубки на костях или дереве.
Слайд 5
Немного истории… В древнем Риме числа записывали с помощью букв латинского алфавита. Но и сегодня в жизни можно встретить римские цифры Например:
Слайд 6
Десятичная система счисления
Слайд 7
I — 1 V — 5 X — 10 L — 50 C — 100 D — 500 M — 1000 Римская нумерация II III VI VIII XI С V 2 3 6 8 11 1 0 5 I V IX XIV XLI XXIX XLVIII 4 9 14 41 29 48
Слайд 8
Если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются: VI = V + I Если меньшая цифра стоит перед большей, то меньшая вычитается из большей: IV = V – I Римская нумерация
Слайд 9
I — 1, V — 5, X — 10, L — 50, C — 100, D — 500, M — 1000 XXI = LXVIII = LXXIX = DCXIV = MMCCL = 10 + 10 + 1 = 21 50 + 10 + 8 = 68 50 + 10 + 10 + 9 = 79 500 + 100 + 10 + 4 = 614 1000 + 1000 +100 + 100 + 50 = 2250 Устная работа
Слайд 10
Чем еще отличаются записи чисел правого и левого столбцов кроме того, что в левом столбце они сделаны арабскими цифрами, а в правом – римскими? 111 222 333 444 555 CXI CCXXII CCCXXXIII CDXLIV DLV I — 1, V — 5, X — 10, L — 50, C — 100, D — 500, M — 1000 ? 555 = 500 + 50 + 5 = 5 • 100 + 5 • 10 + 5 Сумма разрядных слагаемых Записать, пользуясь римской нумерацией, числа .
Слайд 11
Десятичная система счисления
Слайд 12
Класс триллионов Класс миллиардов Класс миллионов Класс тысяч Класс единиц сот. дес. ед. сот. дес. ед. сот. дес. ед. сот. дес. ед. сот. дес. ед. 2 1 4 5 5 8 2 3 7 7 1 6 6 9 5 3 3 1 1 2 2 2 4 4 7 8 5 5 5 8 8 1 2 1 1 3 3 7 3 1 9 9 3 5 8 1 1 2 3 1 2 0 100 040 005 000 58 203 771 660 953 310 012 200 2 110 330 731 9 000 903 581 010 2 03 0 1 0 000 244 078 055 508 801 Запишите числа, оставляя промежутки между классами. Прочитайте их.
Слайд 13
В классе № 3 (устно), 6 (устно), 7 (устно), 15 Вычислить: а) (18 384 + 19 847) · (384 – 201 – 183) б) 202 013 – 54 060 + 64 940 : (4 163 – 4 078)
Слайд 14
Домашнее задание № 2, 4, 9, 13 Решить уравнения:
Цель: | Создать условия для формирования представлений о целостности и непрерывности начального курса математики, об арабских числах, о десятичной и двоичной системе счисления, о позиции цифры в записи числа; овладения умением записывать числа арабскими и римскими цифрами, переводить числа из одной системы счисления в другие, раскладывать числа на разрядные слагаемые, восстанавливать пропущенные цифры для получения верного равенства; овладения навыками записи и чтения чисел по заданному условию, сравнения многозначных чисел Способствовать развитию логического, математического мышления и интуиции, творческих способностей в области математики. | |||
Основное содержание темы, термины и понятия | римские цифры, сумма разрядных слагаемых, позиционный способ записи числа, десятичная система счисления. | |||
Планируемый результат | ||||
Предметные умения | Универсальные учебные действия | |||
Имеют представлении о римских цифрах, о сумме разрядных слагаемых, о позиционном способе записи числа, о десятичной системе счисления. Умеют сравнивать числа, в которых отдельные числа заменены звездочками Могут прочитать число, записанное разными способами и перевести из одной записи в другую. Могут, числа, данные в тексе или текстовой задачи, записать цифрами разным способом. | Личностные: Формирование умения заполнять и оформлять таблицы, отвечать на вопросы с помощью таблиц. Регулятивные: Развитие умения аргументировано отвечать на поставленные вопросы, осмысление ошибок и их устранение. Познавательные: Восприятие устной речи, проведение информационно-смыслового анализа текста и лекции, приведение и разбор примеров. Коммуникативные : Проведение информационно-смыслового анализа прочитанного текста, участие в диалоге, приведение примеров | |||
Организация пространства | ||||
Формы работы | Фронтальная (Ф) Парная (П) Индивидуальная (И) | |||
Ресурсы |
| |||
I этап. Мотивация к деятельности. | ||||
Цель: познакомить учащихся с историей появления числа, познакомить с одним из «астрономических чисел» | Проблемная ситуация С развитием человечества возникла необходимость счета. Во времена, когда человек охотился или собирал плоды ему достаточно было: один, два, три и много. У некоторых племен Южной Америки такой счет сохранился до сегодняшних дней. С развитием животноводства и земледелия им необходимо пересчитывать большее количество домашнего скота или выращенного урожая. Человек стал придумывать способы счета: зарубки на древесине или узлы на веревке, сбор камешек в одном мешочке, пальцы рук. Если пастух пасет стадо и ему необходимо знать, не отбилась и какая коза или корова от стада, причем стадо с большим количеством животных. Все числа перечислить невозможно, поскольку за каждым числом следует число, на единицу большее. Очень большие числа в повседневной жизни не нужны. Большие числа применяются в астрономии, их так и называют «астрономические числа» однако физики подсчитали, что количество атомов – мельчайших частиц вещества – во Вселенной не превосходит числа , выражаемого единицей со ста нулями. Это число получило специальное название – гугол Мы привыкли пользоваться благами цивилизации, которая делает нашу жизнь легче и интересней. Тысячи изобретений потребовалось для этого и самым первым из них было – колесо и число. У этих двух изобретений есть общая черта – ни колеса ни числа нет в природе, и то и другое плод человеческого разума. Знаменитый русский путешественник Н.Н.Миклухо-Маклай, проживший много лет на островах Тихого океана среди туземцев, обнаружил, что у некоторых племен есть три способа счета: для людей, для животных и для неодушевленных предметов т.е. в те времена еще не появилось понятие числа, не было осознанно, что три ореха, три козы и три ребенка имеют общее количество, равное трем. Итак появляются числа, которым можно выразить количество предметов. Эти числа получили название натуральных чисел. Позже появляется ноль, который обозначает отсутствие предметов Какая система счисления была придумана и почему именно такая? Вспомним разряды. Какая закономерность в построении разрядов и классов? | |||
II этап. Учебно-познавательная деятельность | ||||
Последовательность | Обучающие и развивающие задания и упражнения | Диагностические задания | ||
Знакомство с римской нумерацией | ||||
Цель: познакомить с римскими цифрами, вывести правило обозначения в математике числительных | В разных частях света письменность разная, наша цифрология пришла из Индии, ее изобрели Арабы. Цифры в Европе немного видоизменились выглядят такими, какими мы сейчас пользуемся. В древней Греции поступили очень просто: Греки не стали выдумывать отдельные значки для цифр, а использовали буквы Познакомимся поближе с римской нумерацией: I — 1 V — 5 X — 10 L — 50 C — 100 D — 500 M – 1000 | (П) применяются ли нашей жизни римские цифры, если да, то где? Вывод: для записи числительных в математике придерживаются правила: порядковое числительное обозначается римскими цифрами, количественные – арабскими. | ||
Перевод римской записи чисел в арабскую и наоборот | ||||
Цель: вывести правило чтения и записи римских чисел, научить учащихся читать и записывать числа, римскими цифрами | Перед вами соответственно римские и арабские цифры почему при одних и тех же цифрах они обозначают разные числа? IV — 4 VI — 6 IX — 9 XI — 11 XC — 90 CX – 110 учащиеся делают вывод: если цифра, обозначающая меньшее число стоит перед большим, то из большего вычитается меньшее, если меньшее стоит после большего, то складываются | 1) (И) прочитайте следующие числа: II, VI, XII, XVI, XXI, LXII, CI, MX, IV, IX, XL, XC, CMXLV, CCCXLIX, XCIX. 2) (Ф) (1)№3 3) (И) Запишите римскими цифрами ответы на следующие вопросы: — сколько желаний исполняет золотая рыбка? — сколько разбойников было с Али Бабой? — сколько раз надо отмерить, прежде чем отрезать? — сколько игроков в футбольной команде, играющей на поле? — сколько учеников в вашем классе? 4) (Ф) (1) №4, 5 5) (П) (2) №1.5, 1.6, 1.7 | ||
Разложение чисел на разрядные слагаемые | ||||
Цель: систематизировать умение раскладывать числа на разрядные слагаемые, определять разряд заданный определенной цифрой, отработать умение записывать и читать многозначные числа | В начальной школе вас научили раскладывать числа на разрядные слагаемые. Разложите число 234 на разрядные слагаемые. В каком разряде стоит 2,3,4? Если число 2стоит в разряде сотен, то его можно записать 2*100, аналогично 3*10, значит число можно представить в виде суммы: 234=2*100+3*10+4. Запись числа в таком виде называют суммой разрядных слагаемых Значимость цифры зависит от ее места в записи числа, т.е. от ее позиции. В таких случаях говорят, что число записано позиционным способом. В привычной для нас системе записи чисел используется 10 цифр, счет в ней идет десятками, поэтому наша система называется десятичной, говорят десятичная система счисления | 1) (Ф) (1) №6, 7, 8 2) (Ф) (1) №2, 12, 15 3) переведите римские числа в арабские и разложите их на разрядные слагаемые XVI, LXIV, MCCIII, DCCXLI 4) (П) (2) №1.8, 1.10, 1.11 | ||
Сравнение многозначных чисел. | ||||
Цель: организовать условия для выведения правила сравнения многозначных чисел, научить применять правило при сравнении многозначных чисел, научить сравнивать числа, в которых числа заменены символами | Кого в классе больше – мальчиков или девочек? Какие правила сравнения натуральных чисел вы знаете? Сравнение чисел с разным количеством цифр: При сравнении двух натуральных чисел больше то, в котором больше цифр. Сравнение цифр с одинаковым количеством цифр: При сравнении двух натуральных чисел с одинаковым количеством цифр, сравниваем разрядные единицы, начиная со старшего разряда. Больше то число, у которого цифра старшего разряда больше. | 1) (Ф) (1) №16, 18, 19 2) (И) вставьте вместо звездочек цифры таким образом, чтобы неравенство было верным: *345 4346 *786 3*45 **39 4689 3) (Ф) из числа 6038792 вычеркните тир цифры так, чтобы оставшиеся цифры без перестановок составили наибольшее (наименьшее) число 4) (Ф) сколько существует двухзначных чисел в записи которых имеется хотя бы одна цифра 3? Какое среди них число наибольшее, какое наименьшее? 5) (ИП) сколько среди двухзначных чисел таких, в записи которых цифра десятков меньше цифры единиц? Какое из этих чисел набольшее, какое наименьшее? 6) (И) напишите наибольшее число, состоящее из всех цифр, без повторений 7) (П) (2)№1.9 | ||
Умножение и деление натуральных чисел на 10, 100, 1000 т.д. | ||||
Цель: подвести учащихся к формулированию правила умножения и деления многозначных чисел на 10, 100, 1000 и т.д, отработать на примерах умение умножать и делить числа на 10, 100, 1000 и т.д. | (1)№21 Выводится правило: При умножении на 10 каждая цифра числа перейдет на разряд старше, при умножении на 100 – на 2 разряда старше и т.д При делении числа на 10 каждая цифра перейдет на разряд младше, при делении на 100 – на 2 разряда младше. | 1) (Ф) (1) №22 2) (Ф) вставьте вместо знака ? число так, чтобы равенство было верным 29000:100∙?=2900 370∙?:1000=37 ?∙100:10=6300 ?∙100:10=45 (ловушка, что нужно изменить, что бы равенство было верным?) 3) (П) (2)№1.12, 1.14, 1.15 | ||
III этап. Интеллектуально преобразовательная деятельность. | ||||
Цель: закрепить умение записывать числа римскими цифрами, раскладывать числа на разрядные слагаемые, сравнивать многозначные числа, умножать и делить многозначные числа на 10, 100, 1000 и т.д. | Репродуктивное задание: 1. разложите на разрядные единицы числа 1705, 2645108 2. сравните данные числа: 2048 и 2149 1547 и 454 3999 и 900 34754 и 34745 3. выполните данные действия: 340∙100 420000:1000 Продуктивное задание Математический диктант: 1) для каждого вопроса выберите единственно верный ответ: а) какая цифра стоит в разряде сотен в числе 1453? б) какая цифра стоит в разряде десятков сотен в числе 630869? в) сколько цифр в числе 4044044? г) сколько единиц в числе 27? 2) для каждого неравенства подберите такие числа, при подстановки которых неравенство будет верным 5*345799 7*3 *0032999 ***900 5**499 (ловушка) Творческое задание Переложите одну палочку так, чтобы равенство было верным: а) XIII=VII — VI б) VII=V — I в) XI+V=V найдите сумму всех чисел каждого выражения, разложите полученный результат на разрядные слагаемые. | |||
IV этап. Контроль и оценка результатов деятельности | ||||
Форма контроля, контрольные задания | Оценка результатов деятельности | |||
Самооценка учащихся | Оценка учителя | |||
Самостоятельная работа (3) С-1.1-С-1.2 | ||||
«Десятичная система записи натуральных чисел». 5 класс
Урок № 2. Десятичная система записи натуральных чисел.
1. Оргмомент.
2. Проверка д/з. Сбор тетрадей.
Ответить на вопросы на стр.6 №№ 2-4.
— Какие числа называются натуральными?
— Натуральный ряд, что это?
3. Устный счёт.
17 – 8 = 9 + 9 = 18 – 14 = 4 * 2 = 8 * 7 = 56 + 4 = 60 / 3 = 20 – 11 = 9 + 8 = 17
4. ИНМ
В старину для записи нат. чисел использовали рисунки, буквы, чёрточки и т.д. В наст. время принята десятичная система записи чисел (десятичная система счисления), в которой числа записывают с помощью десяти знаков. Эти знаки наз-ют цифрами: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Одна и та же цифра имеет разное значение в зависимости от того места (позиции), где она расположена. Например 333: первая справа цифра 3 означает 3 единицы, вторая – 3 десятка, третья — 3 сотни и т.д. Поэтому десятичную систему счисления называют позиционной.
Важную роль в десятичной системе счисления играет число 10!
10 единиц – десяток;
10 десятков – сотня;
10 сотен – тысяча и т.д. (см. таблицу стр. 7)
Числа делятся на: а) однозначные (1,2,3,4,5,6,7,8,9,0)
б) многозначные : — двузначные (10, 11, 12,…,99)
— трёхзначные (100, 101, 102,…,999) и т.д.
Чтобы прочитать число надо сначала выделить классы (справа налево по 3 цифры — это разряды). В каждом классе цифры справа налево обозначают единицы, десятки, сотни этого класса. См. табл.н стр. 8.
Прочитайте число: 3 753 121 015 (3миллиарда 753 миллиона 121 тысяча 15).
Первую цифру слева в записи натуральных чисел наз-ют цифрой высшего разряда.
— Какая цифра не может стоять на месте высшего разряда? (0).
5. Закрепление НМ.
а) Устно стр. 9 №№ 12, 16, 17.
б) №№14,15,18
№ 15. а) 10, 99; б) 100, 999; в) 1000, 9999.
№18. а) 1235; б) 59704; в) 860; г) 700030.
6. Д.з. Стр. 7-8 читать, №№ 20, 22.
Десятичная система счисления, классы и разряды чисел
Так как десятичная система счисления поместная, то число зависит не только от записанных в нем цифр, но и от места записи каждой цифры.
Например, число состоит из трех цифр: 1, 0 и 3. Поместная, или разрядная, система записи позволяет из этих трех цифр составить трехразрядные числа: 103, 130, 301, 310 и двухразрядные числа: 013, 031. Приведенные числа расположены в порядке возрастания: каждое предыдущее число меньше последующего.
Следовательно, цифры, которые используются для записи числа, не определяют полностью это число, а служат только инструментом его записи.
Само число строится с учетом разрядов, в которых записана та или иная цифра, т. е. нужная цифр должна еще и занимать нужное место в записи числа.
Правило. Разряды натуральных чисел именуются справа налево от 1 к большему числу, каждый разряд имеет свой номер и место в записи числа.
Наиболее употребляемые числа имеют до 12 разрядов. Числа, имеющие более 12 разрядов, относятся к группе больших чисел.
Количество занятых цифрами мест при условии, что цифра наибольшего разряда не 0, определяет разрядность числа. О числе можно сказать, что оно: однозначное (одноразрядное), например 5; двузначное (двухразрядное), например 15; трехзначное (трехразрядное), например 551, и т. д.
Кроме порядкового номера каждый из разрядов имеет свое наименование: разряд единиц (1-й), разряд десятков (2-й), разряд сотен (3-й), разряд единиц тысяч (4-й), разряд десятков тысяч (5-й) и т. д. Каждые три разряда, начиная с первого, объединены в классы. Каждый класс тоже имеет свой порядковый номер и наименование.
Например, первые 3 разряда (от 1-го до 3-го включительно) — это класс единиц с порядковым номером 1; третий класс — это класс миллионов, он включает 7-й, 8-й и 9-й разряды.
Приведем структуру разрядного построения числа, или таблицу разрядов и классов.
| Классы | Разряды |
| 1-й класс единицы |
|
| 2-й класс тысячи |
|
| 3-й класс миллионы |
|
| 4-й класс миллиарды |
|
Число 127 432 706 408 — двенадцатиразрядное и читается так: сто двадцать семь миллиардов четыреста тридцать два миллиона семьсот шесть тысяч четыреста восемь. Это многозначное число четвертого класса. Три разряда каждого класса читаются как трехзначные числа: сто двадцать семь, четыреста тридцать два, семьсот шесть, четыреста восемь. К каждому классу трехзначного числа добавляется наименование класса: «миллиардов», «миллионов», «тысяч».
У класса единиц наименование опускается (подразумевается «единиц»).
Числа от 5-го класса и выше относятся к большим числам. Большие числа используются только в специфических отраслях Знаний (астрономии, физике, электронике и т. д.).
Приведем ознакомительно названия классов от пятого до девятого: единицы 5-го класса — триллионы, 6-го класса — квадриллионы, 7-го класса — квинтиллионы, 8-го класса — секстиллионы, 9-го класса — септиллионы.
Самостоятельная работа по математике Десятичная система счисления 5 класс
Самостоятельная работа по математике Десятичная система счисления 5 класс с ответами. Самостоятельная работа включает 4 варианта, в каждом по 3 задания.
Вариант 1
1. Запишите цифрами числа:
а) четыреста пять тысяч десять
б) тридцать два миллиона сорок три тысячи сто
в) два миллиарда семьсот восемьдесят тысяч
г) пятьсот девяносто тысяч шестьдесят
2. Запишите число 916 508 в виде суммы разрядных слагаемых по образцу: 672 = 600 + 70 + 2.
3. Сравните числа:
а) 100 209 и 102 090
б) 3 458 007 и 3 457 007
Вариант 2
1. Запишите цифрами числа:
а) триста восемь тысяч сорок
б) пятьдесят два миллиона двадцать пять тысяч триста
в) семь миллиардов сто шестьдесят тысяч
г) девятьсот пятьдесят тысяч десять
2. Запишите число 813 705 в виде суммы разрядных слагаемых по образцу: 453 = 400 + 50 + 3.
3. Сравните числа:
а) 300 408 и 304 080
б) 9 567 001 и 9 564 001
Вариант 3
1. Запишите цифрами числа:
а) сто миллионов восемнадцать тысяч четыре
б) двадцать три миллиона пятьсот
в) шесть миллиардов триста сорок тысяч
г) двести один миллиард семнадцать миллионов
2. Запишите число 13 502 876 в виде суммы разрядных слагаемых по образцу: 325 = 3 · 100 + 2 · 10 + 5.
3. Сравните числа:
а) 5 078 670 и 907 867
б) 11 495 003 и 11 495 030
Вариант 4
1. Запишите цифрами числа:
а) триста миллионов шестнадцать тысяч два
б) сорок пять миллионов четыреста
в) два миллиарда восемьсот тридцать тысяч
г) шестьсот семь миллиардов пятнадцать миллионов
2. Запишите число 21 704 983 в виде суммы разрядных слагаемых по образцу: 415 = 4 · 100 + 1 · 10 + 5.
3. Сравните числа:
а) 605 817 и 6 058 170
б) 33 059 004 и 33 058 004
Ответы на самостоятельную работу по математике Десятичная система счисления 5 класс
Вариант 1
1.
а) 405 010
б) 32 043 100
в) 2 000 780 000
г) 590 060
2. 916 508 = 900 000 + 10 000 + 6000 + 500 + 8
3.
а) 100 209 < 102 090
б) 3 458 007 > 457 007
Вариант 2
1.
а) 308 040
б) 52 025 300
в) 7 000 025 300
г) 950 010
2. 813 705 = 800 000 + 10 000 + 3000 + 700 + 5
3.
а) 300 408 < 304 080
б) 9 567 001 > 9 564 001
Вариант 3
1.
а) 100 018 000
б) 23 000 500
в) 6 000 340 000
г) 201 017 000 000
2. 13 502 876 = 1 · 10 000 000 + 3 · 1 000 000 + 5 · 100 000 + 2 · 1000 + 8 · 100 + 7 · 10 + 6
3.
а) 5 078 670 > 907 867
б) 11 495 003 < 11 495 030
Вариант 4
1.
а) 300 016 002
б) 45 000 400
в) 2 000 830 000
г) 607 015 000 000
2. 21 704 983 = 2 · 10 000 000 + 1 · 1 000 000 + 7 · 100 000 + 4 · 1000 + 9 · 100 + 8 · 10 + 3
3.
а) 605 817 < 6 058 170
б) 33 059 004 > 33 058 004
Двоичное представление информации — Практическая работа — 5 КЛАСС ► Информатика в школе и дома
Практическая работа №3. Двоичное представление информацииВ двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими словами, двойка является основанием двоичной системы счисления. (У привычной для нас десятичной системы основание 10).
Чтобы научиться понимать числа в двоичной системе счисления, сначала рассмотрим, как формируются числа в привычной для нас десятичной системе счисления.
В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами (от 0 до 9). Когда счет достигает 9, то вводится новый разряд (десятки), а единицы обнуляются и счет начинается снова. После 19 разряд десятков увеличивается на 1, а единицы снова обнуляются. И так далее.
Когда десятки доходят до 9, то потом появляется третий разряд – сотни.
Двоичная система счисления аналогична десятичной, за исключением того, что в формировании числа участвуют всего лишь две знака-цифры: 0 и 1. Как только разряд достигает своего предела (т.е. единицы), появляется новый разряд, а старый обнуляется.
Попробуем считать в двоичной системе:
0 – это ноль 1 – это один (и это предел разряда) 10 – это два 11 – это три (и это снова предел) 100 – это четыре 101 – пять 110 – шесть 111 – семь и т.д.
Перевод десятичного числа в двоичное и обратно
Может потребоваться перевести десятичное число в двоичное. Один из способов – это деление на два и формирование двоичного числа из остатков. Например, нужно получить из числа 25 его двоичную запись. Поделим число 25 на 2 с остатком (в столбик).
25 / 2 = 12 (1 остаток)
12 / 2 = 6 (0 остаток)
6 / 2 = 3 (0 остаток)
3 / 2 = 1 (1 остаток)
1 / 2 = 0 (1 остаток)
Собираем остатки вместе, начиная с конца: 11001. Это и есть число 25 в двоичном представлении.
Чтобы перевести число из двоичной в десятичную, необходимо провести параллель с десятичной системой. Как мы «читаем» число 573? Пятьсот (пять сотен, то есть 5*100=5*10*10) семьдесят (семь десятков, то есть 7*10) три (то есть 3*1).
Аналогичная схема действует и для чисел в двоичной системе. Рассмотрим пример перевода числа 1011 из двоичной в десятичную систему счисления: 1*1 + 1*2 + 0*2*2 + 1*2*2*2=1+2+0+8=11.
Таблицы чисел в двоичной системе счисления
10-я | 2-я |
0 | 0 |
1 | 1 |
2 | 10 |
3 | 11 |
4 | 100 |
5 | 101 |
6 | 110 |
7 | 111 |
8 | 1000 |
9 | 1001 |
10 | 1010 |
11 | 1011 |
12 | 1100 |
13 | 1101 |
14 | 1110 |
15 | 1111 |
16 | 10000 |
Практикум: Пример 1. Перевести 2610 в двоичную систему счисления. А10->А2 Решение: Ответ: 2610=110102 Перевод дробных чисел из десятичной системы счисления в другую. Правило перевода дробных чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием q:
1. Последовательно выполнять умножение исходного числа и получаемых дробные части на q до тех пор, пока дробная часть не станет равна нулю или не достигнем требуемую точность.
2. Полученные при таком умножении целые части - числа в системе счисления q - записать в прямом порядке (сверху вниз).
Пример 2. Перевести 26,2510 в двоичную систему счисления. А10>А2 Решение: Ответ: 26,2510=11010,012 Пример 3. Перевести число 101,012 из двоичной системы счисления в десятичную. Решение:
2 1 0 -1 -2
1 0 1, 0 1 2 = 1*22 + 0*21 + 1*20+0*2-1+1*2-2 =4+0+1+0+0,25=5,2510
Ответ: 101,012 = 5,2510
Математика для 5-го класса — Блок 1: разряд с десятичными знаками
Сводка по агрегату
В первом блоке 5-го класса учащиеся будут развивать свое понимание структуры системы позиционных ценностей из 4-го класса (MP.7), расширяя это понимание до десятичных дробей. К концу этого раздела учащиеся будут иметь глубокое понимание десятичной структуры нашей системы счисления, а также того, как читать, писать, сравнивать и округлять эти числа.
В 4 классе учащиеся пришли к пониманию того, что цифра в любом месте представляет в десять раз больше, чем цифра справа от нее (4.NBT.1). Благодаря такому углубленному пониманию системы позиционных значений учащиеся читали и записывали многозначные целые числа в различных формах, сравнивали их и округляли (4.NBT.2–3).
Таким образом, Единица 1 начинается с усиления некоторого понимания разряда многозначных целых чисел до 1 миллиона, наращивая это число путем многократного умножения 10 на само себя. После этого повторного умножения учащиеся знакомятся с показателями степени для обозначения степени 10. Затем учащиеся просматривают отношение целого числа между значением разряда и местом слева от него (4.NBT.1) и узнайте о взаимных отношениях числового значения и места справа от него (5.NBT.1). Учащиеся также расширяют свою работу с 4 класса по умножению целых чисел на 10 до умножения и деления их на степень 10 (5.NBT.2). После обширной практики с целыми числами учащиеся затем многократно делят на 10, чтобы расширить свою систему ценностей в другом направлении, до десятичных. Затем они применяют эти правила и выполняют эти операции со степенью 10 для десятичных чисел. Наконец, после углубления своего понимания десятичной структуры нашей системы ценностей ученики читают, пишут, сравнивают и округляют числа в различных формах (5.NBT.3–4).
Как упоминалось ранее, учащиеся будут искать и использовать структуру на протяжении всего модуля (СР.7). Студенты также будут иметь возможность искать и выражать закономерность в повторяющихся рассуждениях (МР.8), например, «когда студенты объясняют закономерности в количестве нулей продукта при умножении числа на степень 10 (5.NBT.2). ) »(Структура содержания модели PARCC, стр. 24).
Этот контент представляет собой кульминацию многолетней работы по глубокому пониманию структуры нашей системы позиционных ценностей, начиная с детского сада с понимания подростковых чисел как «10 единиц и несколько единиц» (К.NBT.1). Двигаясь вперед, ученики будут полагаться на эти знания позже в 5 классе, чтобы умножать и делить целые числа (5.NBT.5–6) и выполнять все четыре операции с десятичными знаками (5.NBT.7). Студенты также будут использовать свое введение в экспоненты, чтобы оценивать более сложные выражения, включающие их (6.EE.1). Возможно, наиболее очевидная связь между классом в будущем существует в 8-м классе, когда ученики будут представлять очень большие и очень маленькие числа, используя научную запись, и выполнять операции с числами, записанными в научной записи (8.EE.3–4). Таким образом, эта единица представляет собой важный вывод к основной структуре нашей системы счисления и открывает дверь в более сложную математику с очень большими и очень маленькими числами.
Темп: 16 учебных дней (13 уроков, 2 гибких дня, 1 оценочный день)
Чтобы узнать, как изменить темп на 2020-2021 учебный год в связи с закрытием школ, см. Наши рекомендуемые корректировки объема и очередности 5-го класса.
Стандарты мощности пятого / пятого классов
5 TH УРОВЕНЬ МАТЕМАТИКИ
ОБЩИЕ ОСНОВНЫЕ АКАДЕМИЧЕСКИЕ СТАНДАРТЫ
1 ST ТРИМЕСТЕР | |
Стандартный | Описание |
5.NBT.3a Понять систему ценностей. 3. Чтение, запись и сравнение десятичных долей с тысячными. а. Чтение и запись десятичных дробей в тысячные с использованием десятичных чисел, имен чисел и развернутой формы, например, 347,392 = 3 × 100 + 4 × 10 + 7 × 1 + 3 × (1/10) + 9 × (1/100) + 2 × (1/1000). | Определяет имена значений десятичных чисел до тысячных. |
5.NBT.7 Выполнять операции с многозначными целыми числами и десятичными дробями с точностью до сотых. 7. Сложить, вычесть, умножить и разделить десятичные дроби на сотые, используя конкретных моделей или чертежей и стратегий, основанных на числовой стоимости, свойства операций и / или отношения между сложением и вычитанием; свяжите стратегию с письменным методом и объясните используемую аргументацию. | Сложить и вычесть десятичные числа до тысячных. |
5.NBT.3b Разберитесь в системе ценностей. 3. Чтение, запись и сравнение десятичных долей с тысячными. г. Сравните два десятичных знака с тысячными на основе значений цифр в каждом месте, используя символы>, = и <для записи результатов сравнений. | Сравните десятичные числа для определения эквивалентности. |
2 и ТРИМЕСТЕР | |
5.NBT.7 Выполнять операции с многозначными целыми числами и с десятичными долями до сотых. 7. Сложить, вычесть, умножить и разделить десятичные дроби на сотые, используя конкретные модели или чертежи и стратегии, основанные на числовом значении, свойствах операций и / или взаимосвязи между сложением и вычитанием; свяжите стратегию с письменным методом и объясните используемую аргументацию. | Умножьте десятичное число на целое. |
5.NBT.6 Выполнять операции с многозначными целыми числами и с десятичными долями до сотых. 6. Найдите целые частные целых чисел с дивидендами до четырех и двузначными делителями, используя стратегии, основанные на разряде, свойствах операций и / или взаимосвязи между умножением и делением.Проиллюстрируйте и объясните расчет с помощью уравнений, прямоугольных массивов и / или моделей площадей. | Разделите целые числа на однозначные делители. |
5.NF.1 Используйте эквивалентные дроби как стратегию для сложения и вычитания дробей. 1. Сложите и вычтите дроби с разными знаменателями (включая смешанные числа), заменив данные дроби эквивалентными дробями таким образом, чтобы получить эквивалентную сумму или разность дробей с одинаковыми знаменателями. Например, 2/3 + 5/4 = 8/12 + 15/12 = 23/12. (Обычно a / b + c / d = (ad + bc) / bd.) | Сложить и вычесть дроби с разными знаменателями. |
3 rd ТРИМЕСТЕР | |
5.NF.4a Применяйте и расширяйте предыдущие представления об умножении и делении для умножения и деления дробей. 4. Примените и расширите предыдущее понимание умножения до Умножение дроби или целого числа на дробь. а. Интерпретировать произведение ( a / b ) × q как a частей раздела q на b равных частей; эквивалентно, в результате последовательности операций a × q ÷ b . Например, используйте модель визуальной дроби, чтобы показать (2/3) x 4 = 8/3, и создайте контекст истории для этого уравнения. Сделайте то же самое с (2/3) x (4/5) = 8/15). (Обычно (a / b) x (c / d) = ac / bd.) | Умножьте дробь на дробь. |
5.MD.5a Геометрические измерения: понимание концепции объема и соотнесение объема с умножением и сложением. 5.Относят объем к операциям умножения и сложения и решать реальные и математические задачи, связанные с объемом. а. Найдите объем правой прямоугольной призмы с целым числом .сторон, упаковав его единичными кубами, и покажем, что Объем такой же, как и при умножении края длины, что эквивалентно умножению высоты на площадь цоколь.Представляйте тройные целые числа как объемы, , например, для представления ассоциативного свойства умножения. | Определите 1 кубическую единицу объема и используйте кубические единицы, чтобы найти объем различных прямоугольных призм. |
5.MD.5b Геометрические измерения: понимание концепции объема и соотнесение объема с умножением и сложением. 5. Связать объем с операциями умножения и сложения и решать реальные и математические задачи, связанные с объемом. г. Примените формулы V = l × w × h и V = b × h для прямоугольного призм для поиска объемов прямоугольных призм с целым числом длин ребер в контексте решения реальных и математических задач. | Используйте формулу (Д x Ш x В), чтобы найти объем различных прямоугольных призм. |
5 th Стандарты силы чтения для оценок
1) Проводите совместные обсуждения, опираясь на идеи других и четко выражая свои собственные идеи.
2) Читайте точно и бегло, чтобы понимать художественную и научно-популярную литературу на уровне своего класса.
3) Обобщите информацию, представленную в разных форматах.
4) Определите значения неизвестных слов, используя такие подсказки, как аффиксы и корни.
5) Используйте информацию из текста, чтобы поддержать их ответы на вопросы о художественной и научно-технической литературе.
6) Определите две или более основных идеи научно-популярного текста и объясните, как они поддерживаются ключевыми деталями.
7) Сравните и сопоставьте общую структуру научно-популярных текстов (сравните / сопоставьте, причину / следствие и проблему / решение).
8) Продемонстрируйте способность быстро и точно находить ответ на вопрос в научно-популярном тексте.
Стандарты мощности для науки
Оценка 5
Strand 1
1.Масса воды остается постоянной при изменении состояния. 1Ia
2. Объясните и приведите пример того, как объект можно увидеть только тогда, когда свет отражается от этого объекта на приемник. 2Ab
Strand 2
1. Опишите, как трение влияет на величину силы, необходимой для работы над разными поверхностями. 2Да
2.Определите простые машины в обычных инструментах и предметах домашнего обихода. 2Fb
3. Определите, насколько простые машины могут быть полезны, если изменить величину усилия и направление усилия. 2Fd
Нить 3
1. Различайте растения (которые используют солнечный свет для приготовления пищи) и животных (которые должны потреблять высококалорийную пищу).1Eb
2. Классифицируйте позвоночных животных по классам на основе их характеристик. 1Ed
Пряди 5
1. Опишите и проследите путь воды в гидросфере, геосфере и атмосфере (т. Е. Круговорот воды: испарение, конденсация, осадки, поверхностный сток / поток грунтовых вод) 2Ea
2.Определите подходящие инструменты для сбора данных о погоде. 2Fa
Нить 6
1. Наблюдать и идентифицировать Луну, вращающуюся вокруг Земли, примерно через месяц. 1Ab
2. Последовательные изображения освещенной части Луны, видимой с Земли, когда она циклически повторяется изо дня в день примерно в течение месяца в порядке появления. 2Ba
3. Определите, что Земля вращается каждые 24 часа.2Ca
4. Соотнесите изменения длины и положения тени со временем дня и видимым положением Солнца на небе, определяемым вращением Земли. 2Cb
Пряди 7
1. Признайте характеристики честного и беспристрастного теста. 1Ab
2. Используйте данные в качестве подтверждения наблюдаемых закономерностей и взаимосвязей, а также чтобы делать прогнозы, которые необходимо проверить.1Cb
Пряди 8
1. Опишите, как новые технологии помогли ученым улучшить наблюдения и измерения для исследований (например, телескопы, электронные весы, электронные микроскопы, рентгеновские технологии, компьютеры, ультразвук, компьютерные зонды, такие как термометры).
Значение десятичных знаков (план урока)
Обратите внимание: этот материал был создан для использования в классе, но его можно легко изменить для домашнего обучения.
Введение
Этот урок поможет студентам понять роль десятичной точки и соотношение между десятыми, сотыми и тысячными долями.
Задачи
Учащиеся:
- изучат десятичное значение.
- считывает и записывает десятичные дроби с использованием десятых, сотых и тысячных долей.
- сравнивает десятичные дроби, используя нотацию «больше» и «меньше».
Рекомендуемое время
Этот урок можно разделить на два или три небольших урока, каждый продолжительностью около 20-25 минут.
Материалы
Прозрачность сетки сверху, практические вопросы с инструктором, рабочий лист с инструкциями [ ключ ответа ], лист независимой практики [ключ ответа ], дополнительный рабочий лист, [ ключ ответа ], рабочий лист домашнего задания [ ключ ответа ].
Процедуры
- Введите ключевой словарь: десятичная дробь, десятичная точка, десятые доли, сотые доли.
- Отобразите верхнюю прозрачность сетки.
- Попросите учащихся изучить сетку 10 x10. Спросите:
- Сколько маленьких коробок составляют всю сетку? (100)
- Попросите добровольца подойти к проектору, отсчитать строку или столбец (10 квадратов) и затемнить их.
- Что означает заштрихованная часть? (одна десятая от целого)
- Объясните или попросите студентов объяснить способы чтения и записи этого десятичного числа (одна десятая, 0,1 или 1/10).Первое место справа от десятичной точки — это десятых места.
- Попросите второго ученика подойти к проектору и заштриховать только один квадрат на сетке. Спросите:
- Что означает заштрихованная часть? (сотая)
- Как можно читать и записывать это десятичное число? (одна сотая, 0,01 или 1/100)
Второе место справа от десятичной запятой соответствует сотым разрядам.
- Спросите:
- 0,1 больше или меньше 0,01? (больше)
- Насколько больше? (10 раз)
- Объясните, что одна десятая (0,1) и одна десятая (0,10) имеют одинаковое значение. Очистите накладные расходы и попросите третьего ученика заштриховать оба значения, чтобы показать, что они одинаковы.
- Если первое место справа от десятичного разделителя называется десятым разрядом, а второе место справа от десятичного разделителя называется сотым разрядом, как вы думаете, третье место справа от десятичного знака точка называется? (тысячное место)
- Какие есть способы читать и писать одну тысячную? (одна тысячная, 0.001 или 1/1000)
- Попросите учащихся назвать случаи, когда важно вычислить и записать числа меньше 1 (Возможные ответы: время, деньги, научные измерения). Используйте экземпляры из жизни, чтобы показать классу, как записывается и читается каждое из следующих десятичных знаков.
- Кусочек пиццы Марселя стоил 1,35 доллара.
- На летних Олимпийских играх 1988 года Карл Льюис выиграл золотую медаль, пробежав 100-метровый рывок за 9,92 секунды.
- дюйм равен 2.54 сантиметра.
- Средняя температура тела 98,6 ° по Фаренгейту.
- При сравнении десятичных знаков начинайте слева и сравнивайте цифры в каждом месте. Пример:
- Сравните 0,11 и 0,12.
- Сравните 0,02 и 0,120.
- Сравните 2.17 и 0.99.
В разряде десятых цифры совпадают. Посмотри на сотые. 2 больше 1, поэтому 0,12> 0,11.
Те же. 1 больше 0 в разряде десятых, поэтому 0,120> 0.02.
Они разные. Поскольку 2 больше 0, 2,17> 0,99.
- Напомните учащимся, что если по обе стороны от десятичной точки находятся ненулевые цифры, они должны сказать «и» там, где они видят десятичную точку. Например, 2.17 читается как «две семнадцать сотых».
- При необходимости используйте модели в сетке 10 x 10, чтобы научить класс сравнивать десятичные числа с помощью> и
1. 0,1 (>) 0,01
2. 0,2 (
3. 0,999 (
4. 0,13 (
5. 0,51 (>) 0,509
6 . 0,183 (>) ) 0,083
7. 1,460 (
8. 0,005 (
9. 1,003 (>) 0,339
10. 1,06 (>) 1,007
- Раздайте рабочие листы с инструкциями и попросите студентов работать в парах.Чтобы помочь учащимся сравнить значение десятичных дробей, см. Практические вопросы учителя.
- Раздайте лист независимой практики и попросите студентов заполнить его самостоятельно.
Оценка
- Используйте вопросы для оценки знаний учащихся.
- Учащиеся должны уметь:
- точно читать и писать десятичные дроби, переходя между письменной, устной и символьной формами десятичных знаков.
- понять роль десятичной точки и соотношение между десятыми, сотыми и тысячными долями.
- заполните и объясните сетки, чтобы сформировать представление о десятичном значении.
- сравнивайте и упорядочивайте десятичные дроби и используйте этот навык для решения основных задач со словами.
Дополнительные задания
- Раздайте лист дополнительных материалов и попросите учащихся заполнить их самостоятельно.
- Раздайте лист домашнего задания и попросите учащихся его заполнить.Вы можете закрепить урок, обсуждая ответы всем классом.
Обновление… Преобразование дробей и десятичных чисел. Записная книжка (658k) Кэрин Вагнер, 13 июня 2014 г., 6:45 AM Decimal Check Up.notebook (86k) Кэрин Вагнер4, 13 июня 2014 г., 6:45 Значение десятичного разряда.notebook (829k) Caryn Wagner, 13 июня 2014 г., 6:45 Decimal Relay Review Game.notebook (500k) Кэрин Вагнер, 13 июня 2014 г., 6:45 Назовите это десятичное число.notebook (1152k) Caryn Wagner, 13 июня 2014 г., 6:45 AM Rounding Decimals.notebook (687k) Caryn Wagner, 13 июня 2014 г., 6:45 9000 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Самые неправильно понятые стандарты по математике в 5-м классе
В моих последних сообщениях мы исследовали наиболее неправильно понимаемые стандарты элементарной математики в 3 и 4 классах. Мне нравятся беседы, которые я проводил с преподавателями математики, и приветствую присоединиться к ним еще больше людей! Меня можно найти в Твиттере здесь: @few_rebecca, или оставьте мне комментарий ниже!
В этом посте мы рассмотрим наиболее неправильно понимаемые стандарты начальной школы в 5-м классе.Опять же, речь идет не о том, чтобы судить наших коллег, а о том, чтобы глубоко изучить практику преподавания математики в 5-м классе и вместе узнать больше о стандартах.
| Стандартный | Общая инструкция смещения |
| 5.NBT.A.1 Помните, что в многозначном числе цифра в одном месте представляет в 10 раз больше, чем она представляет в месте справа от него, и 1/10 того, что оно представляет в месте слева от него. | Инструкция ориентирована на умножение на 10 или деление на 10, чтобы понять концепции разряда, не расширяя понимание учащимися десятичной системы и величины цифр в числах на отношения между соседними пробелами. Кроме того, упускаются возможности развить понимание отношения цифр в целых числах к отношениям десятичных дробей. |
| 5.NBT.B.6 Находите целые частные целых чисел с делителями до четырех цифр и делителями с двумя цифрами, используя стратегии, основанные на разрядах, свойствах операций и / или взаимосвязи между умножением и делением.Проиллюстрируйте и объясните расчет с помощью уравнений, прямоугольных массивов и / или моделей площадей. | В инструкции основное внимание уделяется стандартному алгоритму деления многозначных чисел, и / или учащиеся изучают мнемонику, которая помогает им запомнить шаги, которые необходимо выполнить при делении многозначных чисел. Язык «по стандартному алгоритму» (для многозначного деления) не вводится в стандарты до 6 класса. Связи с размещением стоимости, свойствами и моделями, используемыми для представления деления, не производятся учащимися или не создаются вовсе. |
| 5.NBT.B.7 Складывать, вычитать, умножать и делить десятичные дроби до сотых, используя конкретные модели или чертежи и стратегии, основанные на разряде, свойствах операций и / или соотношении между сложением и вычитанием; свяжите стратегию с письменным методом и объясните используемую аргументацию. | Инструкция сосредоточена на шагах, которые необходимо выполнить для завершения, а не на связи с тем, что они уже знают о системе десятичной основы.Пример приведен ниже. Для умножения десятичных знаков:
Ученики не применяют то, что они знали о разрядах и модели площади из четвертого класса, поскольку они начинают изучать десятичное умножение. |
| 5.NF.B.4 Применяйте и расширяйте предыдущие представления об умножении для умножения дроби или целого числа на дробь. | Инструкция ограничена шагами процедуры. Вот пример: Для умножения правильных дробей:
В инструкции отсутствует использование конкретных манипуляций или рисование моделей для демонстрации умножения правильных дробей как взятия дроби. (Это поддерживает концептуальное понимание и обеспечивает визуальное свидетельство того, что продукт меньше факторов.) |
| 5.NF.B.5 Интерпретировать умножение дробей как масштабирование. (изменение размера) | Инструкция фокусируется на шагах, перечисленных в приведенном выше примере, без понимания умножения как масштабирования. Когда учащиеся интерпретируют умножение как масштабирование, они сравнивают размер продукта с размером одного фактора на основе размера другого фактора, не выполняя указанное умножение и не объясняя, почему умножение данного числа на дробь больше 1 приводит к продукту, большему, чем заданное число. (Или почему умножение заданного числа на дробь меньше 1 дает результат меньше заданного числа.) |
| 5.NF.B.7 Применяйте и расширяйте предыдущие представления о делении, чтобы делить единичные дроби на целые числа и целые числа на единичные дроби. | При делении целых чисел на единичные дроби инструкция фокусируется на преобразовании целого числа в дробь со знаминателем, равном единице, и умножении на обратную величину делителя. Для деления единичной дроби на целое число инструкция фокусируется на умножении знаменателя дроби и целого числа. Когда обучение ограничивается процедурами, учащиеся упускают возможность рассуждать о том, сколько групп из ½ входит в 3 или что происходит, когда правильная дробь разбивается на большее количество частей. |
Сколько раз мы слышали, как кто-то говорил: «Когда мы умножаем, произведение всегда больше» или «Когда я делю, мой ответ всегда меньше». Наверное, несколько раз за время обучения. Когда я слышу эти заявления, моя первая реакция: «Правда? Всегда?»
Неточные математические обобщения приводят к неправильному пониманию важных математических понятий. Эти заблуждения могут иметь непредвиденные последствия для наших студентов.Я хочу углубиться в два стандарта, которые опровергают приведенные выше утверждения и призывают всех нас быть более точными в нашем математическом языке и общении.
Первый — 5.NF.B.4: Применяйте и расширяйте предыдущие представления об умножении для умножения дроби или целого числа на дробь.
Когда я вижу проблему типа ½ x, я говорю себе, что такое ½ от? В контексте задач умножения «из» означает умножать. Такое мышление помогает мне визуализировать проблему и обдумывать следующие шаги.
Давайте посмотрим на ½ из ¾, используя две модели площади:
Модель площади умножения дробей позволяет учащимся увидеть, что умножение дробей приводит к меньшему продукту и помогает построить чувство числа дроби, чувство числа, относящееся к дробям, а не к целым числам. Эта модель также может быть наглядным, чтобы показать, что две фракции близки к одной, в результате получается продукт, близкий к единице.
Второй стандарт, который мы исследуем вместе, — 5.NF.B.7: Применяйте и расширяйте предыдущие представления о делении для деления дробей на целые числа и целых чисел на дроби. Приведенные ниже контекстные задачи из «Иллюстративной математики» позволяют студентам применять то, что они знают о математике, в реальных ситуациях.
Какую из следующих проблем можно решить, найдя 3 ÷ 1/2? Откуда вы знаете?
- Шона покупает трехфутовый бутерброд для вечеринки. Затем она разрезает бутерброд на кусочки, каждая из которых имеет длину 1/2 фута.Сколько штук она получит?
- Фил готовит 3 литра супа на обед. Его семья съедает половину супа на обед. Сколько литров супа семья Фила съедает на ужин?
- Пират находит три фунта золота. Чтобы защитить свое богатство, он прячет золото в двух сундуках с сокровищами с равным количеством золота в каждом сундуке. Сколько фунтов золота в каждом сундуке?
- Лев использовал половину мешка муки, чтобы испечь хлеб. Если он использовал 3 стакана муки, сколько стаканов было в мешке для начала?
Две задачи, которые мы можем решить, разделив 3 на 1/2, — это «a» и «d».«Для проблемы« а »мы можем рассуждать об ответе, не предоставляя модели. У Шоны есть бутерброд длиной 3 фута. Если она разрежет этот бутерброд на кусочки так, чтобы каждый кусок был длиной ½ фута, и хочет знать, сколько ломтиков она получит, Шона действительно спросит: «Сколько групп по 1/2 в 3?» Для задачи «d» мы можем предположить, что если 3 стакана муки составляют половину мешка, то для начала в мешке было 6 стаканов муки. Эта проблема спрашивает: «3 чашки — это 1/2 от какого количества?» Это задание по иллюстративной математике требует от учащихся распознавать как «количество неизвестных групп» (часть a), так и «неизвестный размер группы» (часть d).В нем также рассматривается распространенное заблуждение студентов: они путают деление на 2 или умножение на 1/2 с делением на 1/2.
Как я уже говорил, обучение элементарной математике совсем не элементарно! Это требует целенаправленного планирования, лазерной фокусировки на математических концепциях и способности рассматривать математику как серию взаимосвязанных понятий. Я твердо верю, что наша коллективная цель — поддержать всех учащихся, которые занимаются строгой математикой. Я надеюсь, что мой опыт в классах начальной школы, как тренера, так и учителя, поддержал ваше более глубокое понимание стандартов, и теперь, когда вы знаете лучше, у вас все получится! Продолжайте #InstructUP!
десятичных знаков — Группа изучения урока
десятичных знаков и десятичная система счисления
В то время как единицы дроби создаются равным разделением 1 на любое количество частей, новые единицы десятичных чисел всегда создаются путем разделения наименьшей единицы (в этой точке) на десять равных частей.(Например, первая десятичная единица — десятые, которая получается разделением 1 на десять равных частей). Поддерживая соотношение от 1 до 10, мы можем расширить систему счисления с основанием 10 вправо от единиц. Поскольку десятичные числа являются расширением системы счисления с основанием 10, изучение десятичных чисел студентами должно укрепить их понимание принципов системы счисления с основанием 10. Принципы следующие:
- Это позиционная система — каждое место представляет собой значение (или единицу), а число представляет, сколько единиц существует.То есть одна и та же цифра, написанная в разных местах, обозначает разные числа.
- Он основан на группировке по 10 единиц — когда у вас есть 10 одинаковых единиц, вы обмениваете их с одной единицей следующего большего размера. Следовательно, разряды — это степени 10.
- Мы должны написать одну и только одну цифру в каждом месте — иногда нам приходится использовать 0 в качестве заполнителя. Начальные нули в целых числах и конечные нули в десятичных числах не считаются заполнителями.
Учащиеся классов K-3 должны понимать эти принципы, изучая все более крупные числа (начиная с однозначных чисел в детском саду и постепенно переходя к числам с четырьмя цифрами в 3 классе), а также изучая, как рассчитывать с этими числами.Например, перегруппировка при добавлении многозначных чисел необходима из-за второго принципа, приведенного выше; мы не можем добавить «12» вместо единиц при сложении 35 + 27.
Точно так же, как 10 состоит из десяти единиц, а 100 состоит из десяти десятков и так далее, можно представить себе, что 1 состоит из десяти меньших единиц. Поскольку учащимся в Соединенных Штатах обычно вводят дроби перед десятичными числами, мы можем использовать язык дробей, чтобы говорить о том, что эта единица (или разрядное значение) составляет одну десятую, то есть одну из десяти поровну разделенных частей 1.
При работе с целыми числами мы всегда используем крайнее правое место написанного числа в качестве единицы. Если мы хотим расширить систему счисления, чтобы включить десятую позицию справа от единицы, нам нужно каким-то образом указать, где она находится. Вот почему мы вводим десятичную точку, чтобы указать, что место слева от десятичной точки соответствует разряду единицы, а справа — разряду десятых.
Десятичные разряды — это единицы измерения
После того, как разряды и десятичная запятая установлены, учащиеся должны понимать, например, 0.3 означает, что есть 3 0,1-единицы, или 3 десятых, точно так же, как 3 в разряде десятков означает 3 десятка. Понимая этот принцип, учащиеся могут расширить свое понимание сложения и вычитания, чтобы выполнять вычисления, такие как 0,3 + 0,4 или 0,8 — 0,5, думая об этих числах в единицах 0,1. Это аналогично тому, что они сделали, когда использовали 10 и 100 как единицу для вычисления 300 + 400 или 80–50, или даже с дробями вроде 3/5 + 4/5 или 8/3 — 4/3. Понимая, что они могут складывать и вычитать десятичные числа, они могут понять, что десятичные числа действительно являются числами, такими же, как целые числа (и дроби в контексте США).Для дальнейшего развития понимания десятичных дробей как чисел учащиеся должны научиться размещать десятичные числа в числовой строке.
Что должны знать студенты о размещаемой стоимости?В CCSS студенты должны понимать десятичные числа с точностью до второго десятичного знака или сотых долей. Таким образом, учащиеся должны понимать, что точно так же, как 1 состоит из 10 единиц 0,1, 0,1 состоит из 10 единиц меньшего размера, называемых 0,01 или сотой. Другими словами, одна из 10 равных частей 1/10 равна 1/100, а место справа от десятого места — это сотое место.Одна важная, но неявная идея, которую мы хотим, чтобы студенты поняли, когда мы расширяем десятичный разряд с десятых до сотых, заключается в том, что этот способ расширения десятичных разрядов может быть продолжен для создания дополнительных десятичных единиц. К сожалению, эта идея, по-видимому, остается неявной в CCSS.
Воспроизведено с разрешения издательской компании Tokyo Shoseki, Япония.
Математика, международный класс 4, стр. A89
В японской учебной программе учащиеся еще раз испытывают расширение десятичной единицы.Они знакомятся с десятичными знаками в 3-м классе, узнав, что можно расширить систему счисления с основанием 10 вправо от разряда единиц, что приведет к десятым. Затем, в 4 классе, они расширяют систему вправо, узнавая о втором и третьем десятичных знаках, то есть сотых и тысячных разрядах. Расширяя десятичные разряды вправо в 4 классе, учащиеся могут сделать вывод, что эту систему можно расширить до четвертого, пятого и т. Д. Десятичных знаков, даже если в учебниках явно не обсуждаются десятичные числа, выходящие за пределы трех знаков после запятой. места.
Воспроизведено с разрешения издательской компании Tokyo Shoseki, Япония.
Математика, международный класс 4, стр. A93
Подробная информация о стандартах — SAS
Предметная область — CC.2:
Математика
- Стандартная область — CC.2.1: Номера и операции
- Уровень оценки — CC.2.1.5: СОРТ 5
Примените разряд, чтобы показать понимание операций и округления, относящихся к целым и десятичным числам.
Якорь оценки — M05.A-T.1 Разберитесь в системе ценностей.
Дескриптор привязки — M05.A-T.1.1 Продемонстрировать понимание разряда целых и десятичных чисел и сравнить количество или величину чисел.
Допустимый контент — M05.A-T.1.1.1 Продемонстрируйте понимание того, что в многозначном числе цифра в одном месте представляет 1/10 того, что она представляет в месте слева от него. Пример. Учтите, что в числе 770 цифра 7 в разряде десятков равна 1/10 7 в разряде сотен.
Допустимый контент — M05.3 = 0,00005
Допустимый контент — M05.A-T.1.1.3 Чтение и запись десятичных дробей с точностью до тысячных с использованием десятичных чисел, словоформы и развернутой формы.