Двоичная математика: Двоичная математика — рабочие таблицы цифровых схем

Содержание

Двоичная математика — рабочие таблицы цифровых схем

Бинарная математика

Цифровые схемы

Вопрос 1

Счетная практика: подсчет от нуля до тридцати одного в двоичном, восьмеричном и шестнадцатеричном:

Показать ответ

Здесь нет ответов — сравните с вашими одноклассниками!

Заметки:

Чтобы ознакомить студентов с этими «странными» системами нумерации, мне нравится начинать каждый день цифровой схемы с помощью практики подсчета. Студенты должны свободно владеть этими системами нумерации к тому времени, когда они закончат изучение цифровых схем!

Одно из предложений, которое я даю учащимся, чтобы помочь им увидеть шаблоны в последовательностях подсчета, — это «pad» числа с ведущими нулями, так что все числа имеют одинаковое количество символов. Например, вместо записи «10» для двоичного числа два, напишите «00010». Таким образом, становится очевидным, что характер цикличности символов (особенно двоичный, где каждый бит с более высоким значением имеет половину частоты одного перед ним) становится более очевидным.

вопрос 2

Добавьте следующие двоичные числа:

Показать ответ

Заметки:

Попросите ваших учеников описать различия между ручным добавлением двоичных чисел и добавлением десятичных чисел вручную, если таковые имеются.

Вопрос 3

Если числа шестнадцати и девяти добавляются в двоичной форме, ответ будет отличаться от того, будут ли добавлены те же величины в десятичной форме «# 3»> Показать ответ Скрыть ответ

Нет. Форма нумерации, используемая для представления чисел, не влияет на результат математических операций.

Заметки:

Хотя это может показаться тривиальным вопросом, я встретил техников электроники, которые на самом деле полагали, что форма нумерации повлияла на результат определенных математических операций. В частности, я встретил одного человека, который считал, что число π было принципиально иным в двоичной форме, чем в десятичной форме: бинарный «pi» был не таким же количеством, как десятичный «pi». Я оспаривал его убеждение, применяя некоторую сократическую иронию:

Me: Как вы используете ручной калькулятор, чтобы определить окружность круга, учитывая его диаметр? Например, круг диаметром 5 футов имеет окружность. ,, Его: умножая диаметр раз «pi». 5 футов раз «пи» чуть более 15 футов. Я: Дает ли калькулятор правильный ответ? Он: Конечно. Me: Использует ли электронный калькулятор десятичные числа, чтобы сделать математику? Он: Нет, он использует двоичные числа, потому что его схема состоит из логических ворот.,, (длительная пауза) .,, О, теперь я вижу! Если тип системы счисления имел значение при математике, цифровые компьютеры и калькуляторы приходили к разным ответам на арифметические проблемы, чем мы делали бы математику вручную!

Конечно, те, кто знаком с компьютерным программированием и численным анализом, понимают, что цифровые компьютеры могут вводить «артефакты» в вычисленные результаты, которые не являются математически правильными. Однако это связано не только с их использованием двоичной нумерации, так как это ограниченные ширины слова (приводящие к условиям переполнения), алгоритмические проблемы, преобразующие с плавающей точкой в ​​целые и наоборот, и такие.

Вопрос 4

Что является дополнением к двоичному числу? Если бы вам пришлось описать этот принцип тому, кто только что узнал, что такое двоичные числа, что бы вы сказали?

Определите дополнение для следующих двоичных чисел:

10001010 2
11010111 2
11110011 2
11111111 2
11111
2
00000000 2
00000 2
Показать ответ
10001010 2 : Дополнительное дополнение = 01110101 2
11010111 2 : Один из дополнений = 00101000 2
11110011 2 : Дополнение 1 = 00001100 2
11111111 2 : Один из дополнений = 00000000 2
11111 2 : Дополнение 1 = 00000 2
00000000 2 : Один из дополнений = 11111111 2
00000 2 : Один из дополнений = 11111 2

Последующий вопрос: является ли его дополнением 11111111 2 идентичным дополнению 11111 2 ? Как насчет дополнений от 00000000 2 и 00000 2 ? Объясните.

Заметки:

Принцип «одного дополнения» очень, очень прост. Не давайте своим ученикам никаких намеков на технику поиска своего дополнения. Скорее, пусть они исследуют это и представляют его вам самим!

Обязательно обсудите последующий вопрос, касающийся дополнения двоичных чисел различной ширины. Здесь очень важный урок!

Вопрос 5

Определите дополнение двух двоичного числа 01100101 2 . Объясните, как вы сделали переход, шаг за шагом.

Затем определите представление двух дополнений количества пять для цифровой системы, где все числа представлены четырьмя битами, а также для цифровой системы, где все числа представлены восемью битами (один байт ). Определите разницу, заключающуюся в том, что «длина слова» (количество бит, выделенных для представления величин в конкретной цифровой системе) делает при определении дополнения к любому числу.

Показать ответ

Дополнение 2 01100101 составляет 10011011.

Дополнение из двух до пяти составляет 1011 в четырехбитной системе.

Это 11111011 в восьмибитной системе.

Заметки:

Вопрос о длине слова чрезвычайно важен. Нельзя прийти к определенному двум дополнениям для любого числа, если только длина слова не известна!

Вопрос 6

В компьютерной системе, которая представляет все целочисленные величины с использованием двух дополняющей формы, самый старший бит имеет отрицательный вес места. Для восьмиразрядной системы весовые коэффициенты места следующие:

Учитывая это взвешивание по месту, преобразуйте двоичные числа следующего восьмибитного двоичного двоичного кода в десятичную форму:

01000101 2 =
01110000 2 =
11000001 2 =
10010111 2 =
01010101 2 =
10101010 2 =
01100101 2 =
Показать ответ
01000101 2 = 69 10
01110000 2 = 112 10
11000001
2
= -63 10
10010111 2 = -105 10
01010101 2 = 85 10
10101010 2 = -86 10
01100101 2 = 101 10

Заметки:

Студенты, привыкшие проверять свои конверсии с калькуляторами, могут столкнуться с трудностями с этими примерами, учитывая отрицательный вес места! Обозначение дополнений двух может показаться необычным сначала, но оно имеет определенные преимущества в двоичной арифметике.

Вопрос 7

В восьмибитной цифровой системе, где все числа представлены в форме дополнений двух, какая самая большая (самая положительная) величина, которая может быть представлена ​​этими восемью битами «# 7»> Показать ответ Скрыть ответ

Самый большой (самый положительный): 01111111 2 = 127 10

Самый маленький (самый отрицательный): 10000000

2 = -128 10

Заметки:

Наиболее важным понятием в этом вопросе является вопрос о диапазоне : каковы пределы представимых величин, учитывая определенное количество бит. Два дополнения просто делают концепцию немного интереснее.

Вопрос 8

Обозначение дополнений Two действительно показывает его значение в двоичном добавлении, где положительные и отрицательные величины могут обрабатываться с равной легкостью. Добавьте вместе следующие числа дополнений в байтах (8 бит), а затем преобразуйте все двоичные величины в десятичную форму, чтобы проверить точность добавления:

Показать ответ

Заметки:

Попросите ваших учеников сделать некоторые из этих проблем на доске, перед классом, чтобы все могли видеть. Спросите студентов, что происходит с самым «самым длинным» битом, если оно существует в любой из этих проблем. Спросите их, почему мы делаем то, что делаем с этим, когда мы обычно ставим его в наш ответ.

Вопрос 9

Добавьте вместе следующие номера дополнений восьми бит и затем преобразуйте все двоичные величины в десятичную форму, чтобы проверить точность добавления:

Показать ответ

Последующий вопрос: почему некоторые из этих ответов неверные «заметки скрыты»> Примечания:

Этот вопрос вводит учащихся в феномен переполнения . Это очень важный принцип для понимания, потому что реальные компьютерные системы должны правильно справляться с этим состоянием, чтобы не выводить неверные ответы!

Вопрос 10

Как можно сказать, что переполнение произошло при добавлении двоичных чисел, не преобразовывая двоичные суммы в десятичную форму и проверяя ответы людей?

Показать ответ

Проверьте бит знака ответа и сравните его со знаками бит addend и augend .

Задача вопроса: при каких условиях переполнение невозможно? Когда мы можем добавить два двоичных числа вместе и с уверенностью знать, что ответ будет правильным?

Заметки:

Позже эта концепция проверки переполнения должна применяться к реальной схеме, при этом студенты разрабатывают логические логические массивы для обнаружения наличия переполнения. Во-первых, они должны научиться распознавать свое присутствие аналитически.

Вопрос 11

Что такое число с плавающей запятой в цифровой системе?

Показать ответ

«Числа с плавающей запятой» представляют собой двоичный эквивалент научной нотации: для представления мантиссы используются некоторые биты, другой набор бит представляет экспоненту, и (как правило) имеется один бит, представляющий знак. К сожалению, существует несколько разных «стандартов» для представления чисел с плавающей запятой.

Заметки:

Спросите своих учеников, почему компьютерные системы нуждаются в числах с плавающей запятой.

Что случилось со стандартными формами двоичных чисел, которые мы изучили до сих пор?

  • ← Предыдущая работа

  • Индекс рабочих листов

  • Следующая рабочая таблица →

Системы счисления. Двоичная система счисления (занятие кружка)

Цели занятия:

  • Обучающая
  • формирование новых знаний, умений и навыков по переводу десятичных чисел в двоичную систему счисления и из двоичной системы в десятичную.
  • Развивающая
  • развитие мышления учащихся посредством анализа, сравнения и обобщения изучаемого материала, развитие самостоятельности и речи;
  • Воспитательная
  • активизация познавательной и творческой активности учащихся, воспитание чувства ответственности.

Ход занятия

1. ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Преимущества десятичной системы не математические, а зоологические.
Если бы у нас на руках было не десять пальцев, а восемь, то человечество
пользовалось бы восьмеричной системой.
Н. Н. Лузин

По-чукотски глагол “считать” (“рылгык”) происходит от слова “рылг” — палец и значит, собственно, “пальчить”. “Десять” по-чукотски обозначается как “две руки”, а слово “двадцать” происходит от слова “человек” — весь человек, т. е. все пальцы на руках и ногах.

Вообще, видимо, сначала у многих народов господствовала не десятичная, а двадцатеричная система. Это отразилось и в строении числительных: например, по-французски 80 обозначается quatre-vingt, т. е. “четырежды 20”,- совсем как по-чукотски.

Слово “сорок” в русском языке резко отличается от других числительных, обозначающих десятки (трихдцать, пятьхдесят), а чтобы обозначить очень большое число, употребляют старинное выражение “сорок сороков”.

Не все народы и не всегда считают только с помощью пальцев. Иногда для этого пользуются другими частями тела. Например, одно из папуасских племен Новой Гвинеи считает так: мизинец левой руки, безымянный, средний, указательный, большой палец, запястье, локоть, плечо, левая сторона груди, правая сторона груди. Но характерно, что и здесь используется в качестве опоры именно человеческое тело. Лишь в дальнейшем числительные отрываются от этой опоры и начинают употребляться самостоятельно.

2. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Системы счисления — это способы записи чисел в виде, удобном для прочтения и выполнения арифметических операций.

При подсчете многих объектов удобно группировать их по нескольку штук. Такая группировка облегчает счет. Поскольку удобно считать на пальцах, предметы часто группируют по 5 или по 10 (впрочем, иногда и по 12- вспомните слово “дюжина”; иногда и по 7 — в неделе 7 дней).

В римской системе счисления1 есть особые знаки: для единицы — I, пяти — V, десяти — X, пятидесяти — L, ста — С, пятисот -D, тысячи — М. Примеры записи чисел в римской системе приведены в таблице. Римская система более или менее пригодна для выполнения операций сложения и вычитания, но совсем не удобна для умножения и деления.

Если в записи положение цифр (знаков) не играет важной роли, то систему счисления называют непозиционной. Непозиционными были системы счисления у древних египтян, греков. У древних вавилонян система счисления вначале тоже была непозиционной, но впоследствии они научились использовать информацию, заключенную в порядке записи цифр, и перешли к позиционной системе счисления. При этом в отличие от используемой нами системы счисления, в которой значение цифры меняется в 10 раз при перемещении на одну позицию, у вавилонян при перемещении знака происходило изменение значения числа в 60 раз. Следы вавилонской системы счисления сохранились до наших дней: в часе — 60 минут, в минуте – 60 секунд.

Запись чисел в различных системах счисления

Десятичная

Римская

Двоичная

Троичная

Четверичная

1

I

1

1

1

2

II

10

2

2

3

щ

11

10

3

4

IV

100

11

10

5

V

101

12

11

б

VI

110

20

12

7

VII

111

21

13

8

VIII

1000

22

20

9

IX

1001

100

21

10

X

1010

101

22

11

XI

1011

102

23

12

XII

1100

110

30

13

XIII

1101

111

31

14

XIV

1110

112

32

15

XV

1111

120

33

16

XVI

10000

121

100

17

XVII

10001

122

101

18

XVIII

10010

200

102

19

XIX

10011

201

103

20

XX

10100

202

110

21

XXI

10101

210

111

22

XXII

10110

211

112

28

XXVIII

11100

1001

130

48

XLVIII

110000

1210

300

101

CI

1100101

10202

1211

151

CLI

10010111

12121

2113

1966

MCMLXVI

11110101110

2200211

132232

1980

MCMLXXX

11110111100

2201100

132330

1997

MCMXCVII

11111001101

2201222

133031

2000

ММ

11111010000

2202002

133100

5000

МММММ

1001110001000

20212012

1032020

Долгое время в вавилонской системе счисления не было нуля, т. е. знака для “пропущенного” разряда. В IX в. появился особый знак для нуля.

Десятичная система распространилась по всему миру.

Например, записывая 2653, мы имеем в виду число 2·103+6·102+5·101+3·10°. Особая роль отводится числу десять; все числа представляются в виде суммы различных степеней десяти с коэффициентами, принимающими значения от 0 до 9. Поэтому эта система и называется десятичной.

А что будет, если вместо десяти использовать какое-нибудь другое число, например шесть? По аналогии нам потребуется шесть цифр-символов. В качестве их мы можем взять знакомые нам символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, которые будут обозначать числа от нуля до пяти. Число шесть мы примем за единицу следующего разряда, и поэтому в нашей новой системе счисления оно будет записываться так: 10.

Продолжая аналогию, мы можем представить любое натуральное число в виде суммы различных степеней шестерки с коэффициентами от нуля до пяти. Например: 7=1·61+1·6°, 45=1·62+1·61+1·6°.

Поэтому в новой системе счисления, которая называется шестеричной, естественно записывать число 710 как 116, 4510 как 1136 (индекс у числа означает, что это число записано в данной системе счисления).

Нетрудно понять, что в шестеричной системе счисления можно записать любое натуральное число. Покажем, как это сделать для числа 45010. Наибольшее число, являющееся степенью шестерки и не превосходящее 450,- это 216. Разделим 450 на 216 с остатком: 450=2-216+18.

Неполное частное равно 2. Поэтому первой цифрой шестеричной записи числа 450 будет 2.

Остаток от деления равен 18. Разделим его на предыдущую степень шестерки (на первом этапе мы делили на б3, а теперь -на б2), с остатком: 18=0-36+18. Неполное частное равно нулю, поэтому вторая цифра — 0. Остаток равен 18. Разделим с остатком 18 на б1: 18=3-6+0. Значит, третья цифра равна 3, а остаток — 0. Таким образом, последняя цифра равна 0. Итак, 45010=20306.

При построении новой системы счисления мы не пользовались никакими специфическими свойствами числа 6. Аналогично по любому натуральному числу л, большему 1, можно построить л-ичную систему счисления, в которой запись числа связана с его разложением по степеням числа л.

Еще в XVII в. немецкий математик Лейбниц предложил перей-1и на двоичную систему счисления, но этому помешала не только традиция, но и то, что в двоичной системе счисления запись чисел слишком длинна. Например: 10б=11010102. Однако в XX в., когда были созданы компьютеры, оказалось, что для выполнения арифметических операций на машинах самой удобной является именно двоичная система счисления. Удобным компромиссом между человеком и машиной являются шее шестнадцатеричная и восьмеричная системы счисления. Дело I Юм, что очень легко переводить числа из двоичной системы н любую из них, а по краткости записи восьмеричная система почти такая же, как десятичная, а шестнадцатеричная даже короче.

3.ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

В двоичной системе счисления таблицы сложения и умножения удивительно просты:

0 + 0 = 0 0-0 = 0
0 + 1=1 0-1=0
1 + 1=10 1-1=1

Пользуясь этими таблицами, легко складывать и вычитать:

Эти примеры в десятичной системе выглядят следующим образом:

  • 2 + 3 = 5;
  • 7 + 5 = 12;
  • 5-3 = 2;
  • 435 + 23 = 458.

Умножение в двоичной системе:

В десятичной системе этот пример выглядят так: 29 * 5 = 145

В двоичной системе можно записывать не только целые числа. Например, двоичная запись 101,1010111 в десятичную систему переводится следующим образом

1·22+0·21+1·20+1·2-1+0·2-2+1·2-3+0·2-4+1·2-5+1·2-6+1·2-7= 4 + 1 + 1/2 + 1/8+ 1/64+ 1/128 = 5,6796875.

Операции над натуральными числами в n-ичной системе счисления выполняются в обычном порядке, с той лишь разницей, что для каждой системы счисления надо брать свои таблицы сложения и умножения. Например, для троичной системы счисления таблицы таковы:

+ 0 1 2   X 0 1 2
0 0 1 2   0 0 0 0
1 1 2 10   1 0 1 2
2 2 10 11   2 0 2 11

4. Решение задач.

Задача 1.Сколько цифр необходимо иметь: а) в двоичной системе счисления; б) n-ичной системе счисления?

Задача 2.Запишите в десятичной системе счисления числа 101012, 101013, 2114, 1267, 15811.

Задача 3.Запишите число 10010 в двоичной, троичной, четверичной, пятеричной, шестеричной, семеричной, восьмеричной и девятеричной системах счисления.

Задача 4.Запишите число 11110 в одиннадцатеричной системе счисления (в качестве недостающей цифры 10 принято использовать букву А).

Задача 4.Запишите число 11101001112 в шестнадцатеричной системе счисления (в качестве недостающих цифр от 10 до 15 принято использовать буквы А, В, С, D, E, F).

Задача 5. Переведите число 100101110011012 из двоичной в восьмеричную систему счисления.

Задача 6. Составьте таблицы сложения и умножения для систем счисления: а) четверичной; б) пятеричной ; в) пятнадцатеричной.

Задача 7. Вычислите:

а) 11002+11012;

б) 2013-1023.

Задача 8. Сначала выполните действия в десятичной системе, затем переведите числа в двоичную систему, выполните в ней те же действия, ответ переведите в десятичную систему: а) 20+40; б) 1998+23; г) 23·34534; д) 460·20.

Литература.

1. Петраков И.С. Математические кружки, М.:Просвещение,1987, стр.7-10

2. Факультативный курс по математике 7-9, М.:Просвещение, 1991, стр.4-22.

3. Спивак А.В. Тысяча и одна задача по математике, М.:Просвещение,2005,стр.128-133.

4. Методические разработки для первого курса математического отделения ОЛ ВЗМШ, М. 2009.

Двоичные вычисления для десятичной арифметики / Хабр

Продолжая исследовать проблему точности десятичных вычислений средствами двоичной арифметики, начатую в предыдущих постах [1,2,3,4], мне удалось разработать алгоритмы вычисления вещественных чисел, представленных в формате десятичных чисел с плавающей точкой, которые дают такой же точный результат, как если бы вычисления велись вручную.


В этих алгоритмах использована двоичная арифметика, регламентированная стандартом IEEE754. Для проверки работы алгоритмов была разработана тестовая программа на C++, реализующая 18-ти разрядный десятичный калькулятор.

Поскольку объем материала превышает формат поста, я изложил основные моменты в виде тезисов. Назовем этот пост «Майскими тезисами»:(.

Итак.

Известно, что

Привычная для пользователя арифметика, это десятичная арифметика.

Существуют также b-ичные арифметики, где b- база системы счисления, принимающая любое ненулевое значение [5].

Для отображения чисел в разных масштабах используется запись чисел с плавающей точкой в виде произведения мантиссы и некоторой произвольной степени базы. Это, так называемая, экспоненциальная запись.

Если степень числа фиксирована и мантисса числа является целым числом, то такой формат называется форматом с фиксированной точкой. Частным случаем формата с фиксированной точкой является число, в котором степень равна нулю. Такой формат является форматом целого числа.

Если мантисса представляет собой дробное число в b-ичной системе счисления с целой частью c≠0 и c < b, то такое число называется нормализованным.

Несмотря на то, что по своей физической природе числа являются приближенными, для вычислительного устройства это точные числа и операции над ними устройство должно производить с заданной пользователем точностью.

Под точными вычислениями в арифметике подразумевают получение результата с заданным количеством верных значащих цифр после точки [6].

Все вычисления в компьютере производятся в двоичном виде. Для них база b = 2.

Поскольку двоичная и десятичная системы счисления несоизмеримы, то при конвертации десятичных вещественных чисел в двоичный код чаще всего мы получаем приближенное значение двоичного эквивалента десятичного числа. Поэтому, при переводе десятичных чисел в двоичные возникают погрешности представления.

Десятичные числа, которые имеют точный двоичный эквивалент, называют представимыми.
Десятичные числа, которые не имеют точного двоичного эквивалента, называются непредставимыми.

Все целые десятичные числа представимы, если количество значащих цифр в их двоичном эквиваленте не превышает разрядную сетку области машинного слова, в которую они записываются.

Чем большим количеством двоичных разрядов представлен десятичный эквивалент числа в двоичном виде, тем меньше ошибка представления. Этим объясняется стремление постоянно наращивать разрядность операционного регистра процессора.

Любое десятичное число, двоичный эквивалент которого содержит количество значащих цифр, превышающее разрядную сетку машинного слова, может быть представлено только приближенно.

Арифметические действия, в результате которых получается результат с превышением разрядности мантиссы машинного слова, возвращают приближенное число.

Приближенные числа могут содержать верные, сомнительные и неверные цифры.
Неверные цифры при вычислениях влияют на точность и иногда могут приводить совершенно к неправильным результатам [3].

В соответствие с теорией приближенных вычислений, для получения правильных результатов приближенные числа округляются таким образом, чтобы исключить неверные цифры [6].

Точность, которую пользователь хочет, или может получить при вычислениях, определяется количеством верных цифр, которые обеспечивает вычислительный алгоритм.

Любое двоичное число можно округлить до заданного количества двоичных цифр, отбрасывая лишние разряды.

Аналогично, любое десятичное число можно округлить до требуемого количества десятичных цифр, отбрасывая лишние цифры.

Нельзя простым отбрасыванием лишних двоичных цифр в двоичном числе округлить его десятичный эквивалент до заданного количества десятичных цифр, поскольку уменьшение разрядности двоичного эквивалента десятичного числа приводит к увеличению числа неверных цифр в его десятичном эквиваленте.

Любое вещественное число, выраженное в форме десятичной дроби, может быть точно представлено в формате числа с плавающей точкой (ЧПТ), в котором мантисса является целым числом. Экспонента в ЧПТ будет указывать положение точки в этом числе.

Если число представлено в формате ЧПТ с целочисленной мантиссой, то мантисса и экспонента этого числа могут быть точно проконвертированы в двоичный код.

Новое

Формат, в котором мантисса десятичного ЧПТ представлена двоичным эквивалентом десятичной целочисленной мантиссы, а экспонента является двоичным эквивалентом степени числа 10 (база b=10), будем называть смешанным десятично — двоичным форматом (СДДФ).

Отличие СДДФ от двоичного формата ЧПТ в том, что экспонента в СДДФ равна степени базы b=10, в то время как экспонента двоичного формата ЧПТ равна двоичной степени базы b=2. Соответственно, для СДДФ число будет представлено как , а для ЧПТ, в стандарте IEEE754, как .

Отличие СДДФ от двоично-десятичного формата (ДДФ или BCD) ЧПТ в том, что в ДДФ мантисса и экспонента представляют собой целые десятичные числа, в которых каждая цифра записана в виде байта или тетрады, в то время, как в СДДФ все десятичные числа выражаются их целыми двоичными эквивалентами. 6 умножений в секунду.

Сравнить с быстродействием калькуляторов Windows и Excel я пока не могу, не хватает образования:(. Что же касается точности вычислений, то она такая же, как если бы расчеты велись вручную.

Литература:

  1. Взгляд со стороны: Стандарт IEEE754
  2. Нужна ли нормализация в числах с плавающей точкой?
  3. Фатальные ошибки двоичной арифметики при работе с числами с плавающей точкой
  4. Снова о числах с плавающей точкой
  5. Системы счисления
  6. Основные правила приближенных вычислений

детская математика: двоичные числа

Двоичные числа

Резюме

Двоичная система счисления — это система счисления с основанием 2. Это означает, что в нем всего два числа: 0 и 1. Обычно мы используем десятичную систему счисления. В нем 10 цифр: 0-9.

Зачем использовать двоичные числа?

Двоичные числа очень полезны в электронике и компьютерных системах. Цифровая электроника может легко работать с системой типа «включено» или «выключено», где «включено» — это 1, а «выключено» — это ноль. Часто 1 — это «высокое» напряжение, а 0 — «низкое» напряжение или земля.

Как работают двоичные числа?

В двоичных числах используются только числа 1 и 0. В двоичном числе каждое «место» представляет степень 2. Например:


1 = 20= 1
10 = 21= 2
100 = 2два= 4
1000 = 23= 8
10000 = 24= 16

Преобразование из двоичного в десятичный

Если вы хотите преобразовать число из двоичного в десятичное, вы можете сложить «разряды», которые мы показали выше. Каждое место с цифрой «1» представляет степень двойки, начиная с разряда «0».

Примеры:

101 двоичный = 4 + 0 + 1 = 5 десятичный
11110 двоичный = 16 + 8 + 4 + 2 + 0 = 30 десятичный
10001 двоичный = 16 + 0 + 0 + 0 + 1 = 17 десятичный

Преобразование из десятичного в двоичное

Преобразование десятичного числа в двоичное может быть сложнее. Полезно, если вы знаете степень двойки (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,…).

  • Сначала вычтите из числа, которое вы конвертируете, наибольшую возможную степень двойки.
  • Затем поставьте «1» на это место двоичного числа.
  • Затем вы вычитаете из остатка следующую наибольшую степень двойки. Вы ставите 1 в эту позицию.
  • Вы продолжаете повторять вышеупомянутое, пока не останется остаток.
  • Все места без «1» получают «0».
Пример:

Что такое 27 в двоичном формате?

1. Какая наибольшая степень двойки меньше или равна 27? Это 16. Вычтем 16 из 27. 27 — 16 = 11.
2. Поставьте 1 на место из 16. Это 24, это 5-е место, потому что оно начинается с 0-го места. Итак, у нас пока 1xxxx.
3. Теперь сделайте то же самое с остатком 11. Наибольшая степень двойки, которую мы можем вычесть из 11, равна 2.3, или 8. Итак, 11-8 = 3.
4. Поставьте 1 на восьмерку. Теперь у нас есть 11ххх.
5. Далее нужно вычесть 21, или 2, что равно 2-1 = 1.
6. 11x1x
7. Наконец, 1-1 = 0.
8. 11×11
9. Ставим нули на места без единиц, и получаем ответ = 11011.

Другие примеры:

14 = 8 + 4 + 2 + 0 = 1110
21 = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 10101
44 = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 0 = 101100

Полезные двоичные таблицы

Первые 10 чисел

Двоичные значения позиций в десятичном формате (степени 2)

Полинезийцы, возможно, изобрели бинарную математику

Степени двойки. Народ Мангареву, возможно, изобрел двоичную арифметику независимо от Запада.

Сколько лет двоичной системе счисления? Возможно, она появилась гораздо раньше, чем были изобретены компьютеры или придумана двоичная математике на Западе. Жители крошечной полинезийского острова, возможно, делали расчеты в двоичной системе счисления — используя только две цифры — на протяжении веков, прежде чем она была описана Готфридом Лейбницем, одним из основателей математического анализа, в 1703 году.

Если вы читаете эту статью, вы почти наверняка пользователь десятичной системой счисления. Эта система также известна как система счисления с основанием 10 из-за использующихся в ней 10 цифр: за 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 следуют 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 и так далее. Но десятичная система не является единственной возможной системой счета. Вавилоняне использовали основание 60. Майя использовали основание 20. Некоторые австралийские аборигены, возможно, использовали основание 5. И конечно, сегодня большинство вычислений производится с помощью компьютеров не в десятичной, а в двоичной системе счисления — системе счисления с основанием 2 и с цифрами нуль и один.

Каждая система счисления имеет некоторые преимущества в зависимости от того, какие вычисления необходимо произвести. Десятичная система удобна, если учесть, что у людей 10 пальцев. Но когда дело доходит до деления, другие системы счисления удобнее. Это связано с тем, что число 10 имеет только два простых множителя (2 и 5), деление на три дает результат в виде раздражающего бесконечного приближения (0,3333…), в то время как вычисления в системе с основанием 12 дают в этом случае приятный конечный результат. (В самом деле, некоторые математики выступают за всемирный переход на систему счисления с основанием 12). Двоичная же система счисления, тем временем, выигрывает у десятичной, когда дело доходит до умножения, как обнаружил 300 лет назад Лейбниц. Например, хотя числа в двоичной системе становятся намного длиннее, умножать их легче, потому что помнить нужно только, что , .

Но Лейбница, возможно, на столетия опередил народ Мангареву, крошечного острова Французской Полинезии, находящегося примерно в 5000 километрах к югу от Гавайских островов. Во время изучения ​​языка и культуры этого народа Андреа Бендер и Зигхард Беллер, антропологи из университета Бергена в Норвегии, были удивлены, обнаружив систему счисления, которая, кажется, смешивает основания 10 и 2. “Я был так взволнован, что не мог спать в ту ночь”, — говорит Бендер. Это может оказаться не только первой новой туземной арифметической системой, обнаруженной в последние десятилетия, но и первым известным примером двоичной арифметики, разработанной за пределами Евразии.

Как и все полинезийцы, люди, которые первыми поселились на Мангареву более 1000 лет назад, использовали десятичную систему счисления. Но, по словам Бендера и Беллера, островитяне добавили двоичный период в течение последующих веков. Так же, как английский язык имеет несколько специальных слов, таких как dozen (дюжина) для обозначения 12 и score — для 20, язык Мангареву имеет специальные слова для больших чисел. Но все их специальные слова для счета обозначают десятичные числа, умноженные на степени двойки, т.е. 1, 2, 4, 8… В частности, takau — это 10; пауа — 20; tataua — 40 и varu — 80. Эти большие числа полезны для подсчета ценных предметов, таких как кокосы, которых бывает много. Бендер и Беллер поняли, что система счета Мангареву позволяет использовать двоичную арифметику для подсчетов больших количеств предметов, они сообщают об этом в Proceedings of the National Academy of Sciences (Трудах Национальной академии наук). Эту статью даже неспециалисты прочитают с удовольствием.

Но вот в чем загвоздка. Даже если естественная система счисления Мангареву использовала двоичную арифметику, нынешние жители острова больше не применяют эту систему. Два века контактов с Западом привели к полном переходе на десятичную систему счисления. Даже сам язык Мангареву теперь под угрозой исчезновения. В своих выводах Бендер и Беллер полагаются на свой анализ этого языка и сообщение о традиционных словах для счета, написанное этнографами в 1938 году. Они признают, что невозможно выяснить, когда именно Мангареву разработали данную систему счисления, но закрепление числовых терминов в языке предполагает, что это было сделано довольно давно. К сожалению, антропологи, видимо, сделали свое открытие только на одно поколение позднее, и нельзя увидеть математику Мангареву в действии.

“Гипотеза, предложенная авторами, действительно правдоподобная”, — говорит Рафаэль Нуньес, антрополог из Калифорнийского университета, Сан-Диего, —“но отсутствие оригинальных письменных записей Мангареву представляет собой проблему”. Тем не менее, Нуньес отмечает, что по иронии судьбы, “это отсутствие письменных записей в данной культуре делает гипотезу правдоподобной”. Проведение всех расчетов в голове было бы намного проще с помощью двоичной системы счисления, встроенной в язык Мангареву, считает он.

Источник: http://news.sciencemag.org/archaeology/2013/12/polynesians-may-have-invented-binary-math

Интегрированное занятие математического кружка и урока информатики в 6 классе по теме «Двоичная система счисления».

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №7 имени Береста А. П.

Интегрированное занятие

математического кружка и урока информатики

в 6 классе

по теме «Двоичная система счисления»

Калачинской Елены Леонидовны,

учителя информатики;

Уткиной Елены Георгиевны,

учителя математики,

МБОУ СОШ №7 имени Береста А. П.

Пролетарского района

города Ростова-на-Дону

Цели:

воспитание интереса к учебным дисциплинам математика, информатика — закрепление навыков перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную и обратно; расширение представления о возможностях приложения Калькулятор на ПК. План урока Орг. момент- 1 мин Актуализация знаний- 6 мин Повторение-17 мин Практическая работа-12 мин Устные задания-7 мин Итоги урока- 2 мин Ход урока

1) Организационный момент.

Сегодня у нас с вами необычное занятие математического кружка, мы будем применять знания, которые вы получили на уроках математики и информатики.

Все задания к уроку оформлены на отдельных листах. (Приложение 2)

3 слайд (Приложение 1)

Система счисления — это совокупность приемов и правил для обозначения и именования чисел.

2) Актуализация знаний

Историческая справка (

Каждый человек в своей повседневной жизни постоянно сталкивается с необходимостью обработки числовой информации. Уже в каменном веке, когда люди собирали плоды, ловили рыбу и охотились на животных, возникла потребность в счете. На местах стоянок первобытных людей ученые находили кости с зарубками – так наши предки фиксировали количество предметов. Но количество предметов то увеличивалось, то уменьшалось, поэтому важно было уметь складывать и вычитать.

Первыми “записями” чисел были зарубки на палке или на дереве. Однако с помощью черточек большие числа не запишешь, да и читать их трудно и долго. Около пяти тысяч лет назад у разных народов (в Вавилоне, Египте, Китае) появился новый способ записи чисел- с помощью особых знаков – цифр.

В настоящее время во всем цивилизованном мире принята десятичная система записи чисел. Столь широкое применение числа 10 в качестве основания системы счисления объясняется тем, что у нас на руках десять пальцев.

Ещё совсем недавно у некоторых народов Австралии и Полонезии существовало всего два числа: “урапун” (один) и “ окоза” (два). Такая система счисления послужила началом двоичной системы, так как все числа выражались с помощью двух знаков: 1 и 0. Двоичной системой счисления пользовались многие первобытные племена, она была известна ещё древнекитайским математикам, но по настоящему развил и построил двоичную систему великий немецкий математик Лейбниц.

Было установлено соответствие между десятичной и двоичной системами:

4 Слайд (Приложение 1) Исправить числа в таблице, записать соответствие двоичных чисел десятичным

010 =02;

110 =12;

210= 102

310 = 112;

410= 1002;;

510=1012

610 = 1102;

710= 1112

3) Повторение

1. Вспомним, как переводили на уроках информатики и на занятиях математического кружка числа из десятичной системы счисления в двоичную. Переведите число 46 из десятичной системы счисления в двоичную и обратно.

Слайд 5.

4610 = 1011102

1011102 = 2+ 4+8+32 = 4610

Трое учеников решают у доски

Дополнительно: 110012 = 1+ 8 +16 = 2510

2. Сложите числа в двоичной системе счисления.

а) на доске

б) самостоятельно

3 Магический квадрат.

Слайд 8 (Приложение 1)

Каким свойством обладает магический квадрат?

Проверить правильность чисел в магическом квадрате.

Ответ: 11112

4) Практическая работа

Шло время и потребности людей в обработке числовой информации возрастали. В 50-е годах появилось первое поколение ЭВМ, её размеры были громадны: более в длину и объемом . Вес машины равнялся весу 4-х африканских слонов, около 30 тонн. Затем появилось 2-е и 3-е поколение ЭВМ. С развитием микроэлектроники началась новая эпоха микрокомпьютеров, которыми мы пользуемся.

А сейчас с помощью ПК переведите числа в магическом квадрате из двоичной системы в десятичную, заполните пустые клетки квадрата и проверьте правильность составления магического квадрата. (В процессе проверки на экране высвечиваются правильные ответы)

Те, кто выполнил, решают дополнительную задачу.

Слайд 4 (Приложение 1)

У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Старший учится в 1001 классе. Может ли такое быть

Ответ :

1002 братьев = 410

10002 лет = 8 лет младшему

11112 лет = 15 лет старшему

10012 класс =9 класс

1. Продолжим наше занятие стихотворением А. Старкова “Необыкновенная девочка”. (Приложение 1)

Слайды 17-18

На первый взгляд девочка действительно необыкновенная, но мы сейчас все поставим на места.

Ей было тысяча сто лет,Она в сто первый класс ходила,В портфеле по сто книг носила-Все это правда, а не бред.Когда пыля десятком ног,Она шагала по дороге,За ней всегда бежал щенокС одним хвостом, зато стоногий.Она ловила каждый звукСвоими десятью ушами, И десять загорелых рукПортфель и поводок держали.И десять темно-синих глазРассматривали мир привычно…Но станет все совсем обычным, Когда поймете наш рассказ.

1. Возраст девочки

11002 = 12 лет

2. В каком классе она училась

1012 = 5 класс

3. Число книг в портфеле

1002 = 4 книги

4. Число её ног

102 = 2 ноги

Столько же ушей и глаз.

Щенок имел один хвост.

5) Устные задания.

Слайды 19-21 (Приложение 1)

Задача 7

Из спичек сложили неверное равенство: V I – I V = I X       

Переложите в равенстве одну спичку так, чтобы равенство стало верным. 

Задача 8

Прочитайте числа: Пушкин А.С. родился в  MDCCXCIX  году, а  умер в  MDCCCXXXVII году.

Задача 9

Угадайте закономерность форм фигурок. Какую фигуру следует поставить следующей?

6) Итог урока

Что интересного вы узнали на уроке? Что нового для себя вы получили? Где применяется двоичная система счисления? Как перевести число в другую систему счисления с помощью Калькулятора?Задание на дом: рабочая тетрадь, упр №22, стр 16

Выставление оценок за урок по предметам.

Приложение 2

Раздаточный материал

1.Магический квадрат.

+

10012

10002

+

+

+

+

+

+

2. Дополнительно. Задача.

У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Старший учится в 1001 классе. Может ли такое быть?

_________________________________________________

_________________________________________________

_________________________________________________

Если Вы являетесь автором этой работы и хотите отредактировать, либо удалить ее с сайта — свяжитесь, пожалуйста, с нами.

Что такое двоичный код и почему компьютеры используют его

Компьютеры не понимают слов и цифр так, как это делают люди. Современное программное обеспечение позволяет конечному пользователю игнорировать это, но на самых низких уровнях ваш компьютер оперирует двоичным электрическим сигналом, который имеет только два состояния: есть ток или нет тока. Чтобы «понять» сложные данные, ваш компьютер должен закодировать их в двоичном формате.

Двоичная система основывается на двух цифрах – 1 и 0, соответствующим состояниям включения и выключения, которые ваш компьютер может понять. Вероятно, вы знакомы с десятичной системой. Она использует десять цифр – от 0 до 9, а затем переходит к следующему порядку, чтобы сформировать двузначные числа, причем цифра из каждого следующего порядка в десять раз больше, чем предыдущая. Двоичная система аналогична, причем каждая цифра в два раза больше, чем предыдущая.

Подсчет в двоичном формате

В двоичном выражении первая цифра равноценна 1 из десятичной системы. Вторая цифра равна 2, третья – 4, четвертая – 8, и так далее – удваивается каждый раз. Добавление всех этих значений даст вам число в десятичном формате.

1111 (в двоичном формате) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 (в десятичной системе)

Учет 0 даёт нам 16 возможных значений для четырех двоичных битов. Переместитесь на 8 бит, и вы получите 256 возможных значений. Это занимает намного больше места для представления, поскольку четыре цифры в десятичной форме дают нам 10000 возможных значений. Конечно, бинарный код занимает больше места, но компьютеры понимают двоичные файлы намного лучше, чем десятичную систему. И для некоторых вещей, таких как логическая обработка, двоичный код лучше десятичного.

Следует сказать, что существует ещё одна базовая система, которая используется в программировании: шестнадцатеричная. Хотя компьютеры не работают в шестнадцатеричном формате, программисты используют её для представления двоичных адресов в удобочитаемом формате при написании кода. Это связано с тем, что две цифры шестнадцатеричного числа могут представлять собой целый байт, то есть заменяют восемь цифр в двоичном формате. Шестнадцатеричная система использует цифры 0-9, а также буквы от A до F, чтобы получить дополнительные шесть цифр.

Почему компьютеры используют двоичные файлы

Короткий ответ: аппаратное обеспечение и законы физики. Каждый символ в вашем компьютере является электрическим сигналом, и в первые дни вычислений измерять электрические сигналы было намного сложнее. Было более разумно различать только «включенное» состояние, представленное отрицательным зарядом, и «выключенное» состояние, представленное положительным зарядом.

Для тех, кто не знает, почему «выключено» представлено положительным зарядом, это связано с тем, что электроны имеют отрицательный заряд, а больше электронов – больше тока с отрицательным зарядом.

Таким образом, ранние компьютеры размером с комнату использовали двоичные файлы для создания своих систем, и хотя они использовали более старое, более громоздкое оборудование, они работали на тех же фундаментальных принципах. Современные компьютеры используют, так называемый, транзистор для выполнения расчетов с двоичным кодом.

Вот схема типичного транзистора:

По сути, он позволяет току течь от источника к стоку, если в воротах есть ток. Это формирует двоичный ключ. Производители могут создавать эти транзисторы невероятно малыми – вплоть до 5 нанометров или размером с две нити ДНК. Это то, как работают современные процессоры, и даже они могут страдать от проблем с различением включенного и выключенного состояния (хотя это связано с их нереальным молекулярным размером, подверженным странностям квантовой механики).

Почему только двоичная система

Поэтому вы можете подумать: «Почему только 0 и 1? Почему бы не добавить ещё одну цифру?». Хотя отчасти это связано с традициями создания компьютеров, вместе с тем, добавление ещё одной цифры означало бы необходимость выделять ещё одно состояние тока, а не только «выключен» или «включен».

Проблема здесь в том, что если вы хотите использовать несколько уровней напряжения, вам нужен способ легко выполнять вычисления с ними, а современное аппаратное обеспечение, способное на это, не жизнеспособно как замена двоичных вычислений. Например, существует, так называемый, тройной компьютер, разработанный в 1950-х годах, но разработка на том и прекратилась. Тернарная логика более эффективна, чем двоичная, но пока ещё нет эффективной замены бинарного транзистора или, по крайней мере, нет транзистора столь же крошечных масштабов, что и двоичные.

Причина, по которой мы не можем использовать тройную логику, сводится к тому, как транзисторы соединяются в компьютере и как они используются для математических вычислений. Транзистор получает информацию на два входа, выполняет операцию и возвращает результат на один выход.

Таким образом, бинарная математика проще для компьютера, чем что-либо ещё. Двоичная логика легко преобразуется в двоичные системы, причем True и False соответствуют состояниям Вкл и Выкл.

Бинарная таблица истинности, работающая на двоичной логике, будет иметь четыре возможных выхода для каждой фундаментальной операции. Но, поскольку тройные ворота используют три входа, тройная таблица истинности имела бы 9 или более.3). Масштабирование становится проблемой, поскольку, хотя троичность более эффективна, она также экспоненциально более сложна.

Кто знает? В будущем мы вполне возможно увидим тройничные компьютеры, поскольку бинарная логика столкнулась с проблемами миниатюризации. Пока же мир будет продолжать работать в двоичном режиме.

0 = 8 + 1= 9,1×23+0×22+0×21+1×20=8+1=9.

Таким образом, ответ 14+9=23,14+9=23,14+9=23.

В качестве альтернативы можно складывать числа без предварительного преобразования в двоичные числа, используя ту же арифметику, что и для десятичных чисел. Если вспомнить, что 12+12=102 1_2+1_2 = 10_212+12=102, сумма будет 101112=2310. 10111_2 = 23_{10}.101112​=2310​. □_\квадрат□​

Отправьте свой ответ

1011010−110111 \large{\begin{array}{cccccccc} &&1 & 0 & 1 & 1& 0 & 1&0\\ -&&& 1 & 1 & 0& 1 & 1&1\\ \hline && & & & & & & & &\\ && & & & & & & \\ && & & & & & & & \end{массив}} −​​1​01​11​10​01​11​01​​

Учитывая приведенное выше двоичное вычитание, каков результат этого вычитания в двоичной системе счисления?

Верно! Многие арифметические процедуры также возможны в двоичном формате и имеют ту же форму.0 = 11110_2 . 16+8+4+2=1×24+1×23+1×22+1×21+0×20=111102​.

Таким образом, сумма цифр равна 1+1+1+1+0=4,1+1+1+1+0 = 4,1+1+1+1+0=4. □ _\квадрат □​

Отправьте свой ответ

Найдите количество целых чисел от 111 до 100100100 включительно, которые при преобразовании в двоичные числа имеют сумму цифр меньше 5.5.5.

Что такое 13 \frac13 31​ преобразованное в двоичное?


Поскольку 43=13+1, \frac43 =\frac13+1, 34​=31​+1, если

13=(0.c1c2c3…)2,\frac13 = (0.c_1c_2c_3\ldots)_2,31​=(0.c1​c2​c3​…)2​,

, затем

43=(1.c1c2c3…)2.\frac43 = (1.c_1c_2c_3\ldots)_2.34​=(1.c1​c2​c3​…)2​.

Но 43=4⋅13 \frac43 = 4 \cdot \frac13 34​=4⋅31​, и умножение на 4=1002 4 = 100_2 4=1002​ сдвигает двоичное представление числа на две единицы влево.Итак, 0=c1,1=c2,c1=c3,c2=c4, 0 = c_1, 1 = c_2, c_1 = c_3, c_2= c_4, 0=c1​,1=c2​,c1​=c3​,c2 ​=c4​ и так далее. Это показывает, что

13=(0,0101…)2=(0,01‾)2,\frac13 = (0,0101\ldots)_2 = \big(0.{\overline{01}}\big)_2,31​=(0,0101…)2 ​=(0,01)2​,

что соответствует геометрическому ряду

13=14+116+164+⋯ . □\frac13 = \frac14+\frac1{16}+\frac1{64}+\cdots.\ _\square31​=41​+161​+641​+⋯. □​

Бинарная математика — Практика EE

Зачем нам нужно изучать двоичную математику? Причина связана с использованием цифровых сигналов.Цифровые сигналы имеют два состояния: высокое напряжение и низкое напряжение, и при правильной реализации они обладают идеальной точностью, по крайней мере, при простой прямолинейной цифровой передаче сигналов (SERDES — это другая история…). Это означает, что они передают свои значения от драйвера к получателю без ошибок… абсолютно без ошибок. Как вы узнали, состояния цифровых сигналов могут представлять два логических состояния, а определенные конфигурации логических вентилей могут выполнять математические операции с этими двоичными входными значениями. Итак, вот почему компьютеры на фундаментальном уровне используют двоичные числа, потому что они могут использовать преимущества идеальной точности цифровых сигналов, и потому что существуют логические схемы и процессы для выполнения практически любых математических или логических операций, которые мы хотим с двоичными числами. .

Двоичное сложение

Двоичное сложение следует тому же процессу, что и десятичное сложение. Давайте рассмотрим пример в десятичном формате.

 54 
+73
---
127

Во-первых, вы должны добавить 4 к 3, в результате чего получится 7. Поскольку это число меньше 10, переносимой стоимости нет, и вы ставите 7 на место 1 в ответе. Затем вы должны добавить 5 к 7, в результате чего получится 12. Поскольку это больше, чем 10, вы поместите 2 на позицию 10 и перенесете 1 на следующую позицию.В следующей позиции только нули, поэтому переносимая 1 добавляется к нулю, и результат равен 127.

Обратите внимание, что операция переноса 1 в следующую позицию соответствует 10 предыдущей позиции. Другой способ представить это так: 5+7 в позиции 10 – это 12 в позиции 10, что равно 120, но вы не можете представить это в позиции 10 секунд, поэтому вы переносите 10 10 секунд на следующую позицию, то есть 1 100 секунд. , и отложите две десятки, оставшиеся на позиции десятков. Двоичное сложение работает точно так же, за исключением того, что каждая позиция представляет степень числа 2, а не степень числа 10, а перенос 1 в следующую позицию представляет собой 2 в предыдущей позиции.Двоичный пример:

 011010 
+010110
-------
110000

Начать с крайнего правого положения (позиция 1 с). 0+0 равно нулю, что приводит к 0 в позиции 1s. Затем перейдите к позиции 2 с, где 1 + 1 равно 2. 2 слишком много, поэтому вам нужно перенести 1 на следующую позицию, которая представляет 2 в текущей позиции, оставив вам 0 в 2 с. Далее идет позиция 4s, где 1+0+перенесенная 1 равняется 2, что снова выходит за пределы и должно быть перенесено, оставляя 0 в позиции 4s.Позиция 8s — это та же история с 1 + 0 + перенос 1, равной 2, которую необходимо перенести, оставив 0 в позиции 8s. В позиции 16s 1+1+несет 1 = 3. Таким образом, вы переносите 2 в позицию 32s, оставляя 1 позади в позиции 16s. Позиция 32s равна 0+0+перенесено 1 = 1. Вы закончили, и результат равен 110000b.

Весело, правда? Ну, возможно, нет. Одна вещь, которая более увлекательна, чем этот ручной процесс, — это использование калькулятора или компьютерной программы для добавления двоичного кода для вас.

Двоичное умножение

Ручной процесс двоичного умножения аналогичен процессу десятичных чисел.На самом деле это проще, потому что вам никогда не придется носить с собой. Почему это? Это потому, что все возможные умножения в позиции равны 0*0=0, 1*0=0, 0*1=0 и 1*1=1. Невозможно получить результат выше 1, поэтому значения переноса никогда не нужны.

 111 
*110
---------
000
+1110
+11100
---------
101010

Как и в случае с десятичными числами, начните с 1-й позиции нижнего числа и умножьте это на каждую позицию верхнего числа.0*все равно 0, поэтому запишите 000. Сдвиньте строку вниз и добавьте 0 справа от результата. Затем умножьте 2-е положение второго числа на каждую позицию верхнего числа. 1 умноженное на число — это число, поэтому запишите 111. Затем сдвиньте строку вниз и добавьте 2 нуля справа от результата и умножьте 4 позиции нижнего числа на каждую позицию верхнего числа: 111. Затем , выполните двоичное сложение в 3 строках результата, чтобы получить ответ, который равен 101010b.

Интересная вещь происходит, когда вы умножаете двоичное число на 2 или на степень двойки.В результате это число сдвинуто влево на число позиций, равное степени двойки, на которую вы его умножаете. Итак, 1001b, умноженное на 100b (4 в десятичной системе), равно 100100b. 1001b сместился на позиции левее. Разделение имеет обратный эффект. Результат деления на 4 — это число, сдвинутое на две позиции вправо. Этот трюк можно использовать в некоторых ситуациях для повышения скорости и эффективности.

Отрицательные числа

Я пропущу деление двоичных чисел, потому что это тот же процесс, что и для десятичных чисел, и я думаю, вы разберетесь.Кроме того, кто, черт возьми, в наши дни занимается делением в длинное число вручную? Только недалёкие учителя математики, они единственные, кто этим занимается.

Я также собираюсь пропустить вычитание, так как это тот же процесс, что и для десятичных чисел. Однако вычитание затрагивает важную тему двоичной системы счисления, а именно отрицательные числа. Для десятичных чисел мы используем унарный оператор знака — например, -8 для обозначения отрицательного числа. Это также можно сделать для двоичных чисел: например, -10110b.Но есть трюк, очень полезный для компьютеров, и он называется Форма комплимента для двоих.

Форма комплимента для двоих

Вы можете представить отрицательное двоичное число в форме Комплимента Двойки, которая обладает некоторыми интересными и полезными свойствами. Для этого запишите положительную версию числа в двоичном формате, инвертируйте каждый бит, а затем добавьте 1. Например, давайте представим -27 в форме дополнения 2.

Запись в двоичном формате: 00011011b

Перевернуть каждый бит: 11100100b

Добавить 1: 11100101b — это форма комплимента двойки числа -27.

Форма комплимента 2: инвертируйте каждый бит, затем добавьте 1

Одной из замечательных особенностей формы комплимента для двоих является то, что крайний левый бит равен 1 для отрицательных чисел и 0 для положительных чисел. Итак, вы или компьютер можете просто посмотреть на этот бит, чтобы определить знак. Еще одна полезная вещь заключается в том, что если вы хотите преобразовать -27 в +27, вы просто делаете точно такой же процесс: инвертируете каждый бит и добавляете 1. Таким образом, этот процесс на самом деле просто инвертирует знак числа.

И это еще не все! Если вы хотите выполнить вычитание, вы можете просто добавить двойку к числу, которое хотите вычесть, и вы получите правильный ответ.Например, определите 12-5, что равно 12+(-5).

Пример: 12-5

Преобразовать -5 в форму Comp 2:
— Записать 5 в двоичном виде: 0101b
— Инвертировать каждый бит: 1010b
— Добавить 1: 1011b — Это форма Comp 2 для -5 Комп форма -5

 1100 
+1011
---------
1 0111

Видите, последние четыре цифры содержат правильный ответ 7. Вы должны игнорировать ту 1, которая была перенесена за пределы количества цифр, с которыми вы работаете.На самом деле, независимо от того, сколько цифр вы используете, эта операция всегда будет приводить к переносу 1 за пределы вашего количества цифр. Теперь давайте сделаем пример, который приводит к отрицательному числу: 5-12, что соответствует 5+(-12). Для этого нам на самом деле нужно использовать более 4 цифр. Вы всегда должны использовать как минимум на одну цифру больше, чем ваши числа занимают в положительной форме, потому что вам нужен этот дополнительный бит для представления знака. Мы можем использовать 8 бит для этого примера, хотя 5 — минимально необходимое число.

Пример: 5-12

Преобразовать -12 в форму Comp 2:
— Записать 12 в двоичном виде: 00001100b
— Инвертировать каждый бит: 11110011b
— Добавить 1: 11110100b — Это форма Comp 2 для -5 Комп форма -12

 00000101 
+11110100
---------
11111001

Ответ: 11111001b. Как вы думаете, это -7 в форме 2s Comp? Инвертируйте каждый бит: 00000110b и добавьте 1:00000111b. Это 7.БАМ!

Биты, байты и полубайты

Что касается количества цифр в двоичных числах, то в компьютерах обычно используется несколько цифр, и у каждой из них есть имя. Я понимаю, что в предыдущем обсуждении я использовал знакомый термин бит для обозначения одной цифры. Ознакомьтесь с таблицей ниже.

9 8
Имя # из цифр # Ценностей Диапазон Binary Пример Hex Value десятичное значение
Бит 1 2 1 = 2 = 2 без знака: от 0 до 1 1b 0x1 1
Nibble 4 2 4 = 16 Подписано: из -8 до 7
без знака: от 0 до 15
0101B 0x5 5
8 2 8 = 256 Подписано: от -128 до 127
без знака: от 0 до 255
00110101B 0x35 53 53
Word 16 2 16 = 65536 Подписано: от -32 768 до 32 767
без знака: от 0 65535
0100000010000000b 0x4080 16512
Double-Word 32 2 32 = 4294967296 Подпись: От -2147483648 до 2147483647
БЕЗЗНАКОВЫЙ: от 0 до 4294967295
01000000100000000100000010000001b 0x40804081 1082146945

Термины со знаком и без знака в таблице относятся к тому, разрешаете ли вы только положительные числа или разрешаете ли вы использовать как положительные, так и отрицательные числа, используя форму дополнения до двух.В случае со знаком, использующем форму дополнения до двух, крайний левый бит является битом знака, а остальные биты представляют число.

Вот видео от AtticAcademy на YouTube о двоичной математике.

Далее: Булева алгебра

Двоичный учебник — Понимание и работа с двоичными числами

Системы счисления!

Теория чисел и принцип работы двоичных чисел.

Введение

Числа окружают нас повсюду, и по большей части мы воспринимаем их как должное.Если бы я предложил вам 1337 долларов, вы были бы счастливы, потому что знаете, что это довольно разумная сумма. Система счисления — это средство представления количества вещей. Десятичная система счисления — это всего лишь одна из нескольких систем счисления, а другие, особенно двоичные, важны для понимания в различных областях, особенно в вычислительной технике.

В нашем введении для начинающих в двоичные, шестнадцатеричные и восьмеричные числа вы изучите двоичные преобразования и арифметику с интерактивными демонстрациями и подробными объяснениями.

Контур

Этот двоичный учебник разделен на 3 раздела. В общем, я рекомендую вам работать с ними по порядку, но если вы пришли сюда только для того, чтобы узнать о конкретной теме, то кто я такой, чтобы замедлять вас, просто идите прямо дальше.

  1. Системы счисления. Читайте ниже, чтобы узнать о теории чисел.
  2. Преобразования — Как преобразовать между двоичным и десятичным, шестнадцатеричным и восьмеричным.
  3. Арифметика. Узнайте, как выполнять различные арифметические операции с двоичными числами.
  4. Отрицательные числа — узнайте, как работать с отрицательными числами в двоичном формате.
  5. Плавающая запятая и дроби. Узнайте, как преобразовывать десятичные числа в двоичные дроби и числа с плавающей запятой.

Шаблоны и ярлыки

Когда вы работаете с системами счисления, вы можете использовать множество сокращений:

  • облегчают работу с ними.
  • помогите проверить вашу работу / выявить глупые ошибки, которые вы, возможно, сделали.

Я укажу на некоторые из них по мере работы с материалом, но вы всегда должны быть начеку (не только в работе с числами, но и в других областях).

В общем, вы должны следить за шаблонами, а затем думать о том, как вы можете использовать эти шаблоны для своей выгоды. С практикой вы научитесь их замечать.

Десятичная система счисления

Десятичная система счисления нам наиболее знакома, мы используем ее каждый день.Десятичная система счисления — это то, что мы называем позиционной системой счисления. То есть положение цифр придает значение значению, которое они представляют. Другие системы счисления (двоичная, шестнадцатеричная и восьмеричная) также являются позиционными, поэтому, как только мы поймем основную теорию десятичной системы счисления, мы сможем легко применить ее для понимания других систем.

Давайте рассмотрим пример:

Если у меня есть число 31415, то на самом деле это означает:

30 000 + 1 000 + 400 + 10 + 5

Или точнее:

3 * 10 4 30 000
1 * 10 3 1000
4 * 10 2 400
1 * 10 1 10
5 * 10 0 5

Десятичное число равно по основанию 10 .Это означает, что у нас есть 10 символов для представления значений (0-9). По мере того, как мы перемещаемся по каждой позиции, мы умножаем это число на 10 в степени этой позиции (начиная с 0 в крайнем правом углу).

Помните: все в степени 0 всегда равно 1

Десятичная система удобна в качестве системы счисления, так как каждый раз, когда мы увеличиваем мощность, все, что нам нужно сделать, это добавить еще один 0. Для каждой цифры в числе добавьте количество нулей, необходимых для позиции, и вы получите его позиционное значение.Затем каждая цифра естественным образом выстраивается в общее число.

Двоичный

Binary следует той же схеме, что и Decimal, за исключением того, что вместо 10 по основанию это по основанию 2 . Вместо 10 символов для представления значений у нас есть два (0 и 1).

Итак, десятичная система счисления — это система счисления с основанием 10, у нас есть 10 символов, и мы умножаем их на степени 10. Отсюда следует, что двоичная система счисления — это система счисления с основанием 2, у нас есть два символа, и мы умножаем их на степени 2.

Давайте рассмотрим пример:

Если у меня есть двоичное число 101010, это преобразуется в десятичное как:

32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 = 42

Или:

1 * 2 5 32
0 * 2 4 0
1 * 2 3 8
0 * 2 2 0
1 * 2 1 2
0 * 2 0 0

Как видно из этого примера, двоичная система не так удобна для чтения и работы, как десятичная.Итак, вы можете спросить, зачем тогда возиться с двоичным кодом? Ответ заключается в том, что это более простой формат для работы с компьютерами. Его также можно использовать в других областях в качестве ярлыка для представления настроек.

Поскольку все степени двойки, кроме 0, дают четное число, единственный способ получить нечетное число — это использовать крайнюю правую цифру, равную 1. Это можно использовать для быстрой проверки при выполнении преобразований, которые вы еще не выполняли. глупая ошибка.

Шестнадцатеричный и восьмеричный

Двумя другими системами счисления, которые обычно используются в вычислениях, являются шестнадцатеричная и восьмеричная.Обе они также являются базовыми системами счисления.

  • Шестнадцатеричное основание 16
  • Восьмеричное основание 8

Оба они тесно связаны с двоичным кодом. Вы заметите, что:

Это не относится к десятичной дроби (нет степени двойки, равной 10). Это дает шестнадцатеричные и восьмеричные характеристики по отношению к двоичному, которых нет у десятичного. Мы рассмотрим их в следующем разделе, конверсии.

Для шестнадцатеричных чисел мы увеличиваем число до 15 (помните, что мы начинаем с 0).Как только мы доберемся до 9, мы добавим буквы алфавита от A до F, чтобы представить 10-15 (см. справочную таблицу ниже).

Возьмем десятичное число 27.

В шестнадцатеричном виде это будет 1B, что в десятичном виде переводится как:

1 * 16 1 + 11 * 16 0 = 16 + 11

В восьмеричном формате это будет 33, что в десятичном виде означает:

.

3 * 8 1 + 3 * 8 0 = 24 + 3

Префиксы

Как видно из приведенных выше примеров, числа потенциально могут выглядеть одинаково независимо от того, являются ли они двоичными, десятичными, восьмеричными или шестнадцатеричными.Если бы я дал вам число 2F7, вы бы сразу поняли, что оно шестнадцатеричное, но если бы я дал вам число 101, то это:

  • 101 в двоичном формате и 5 в десятичном формате
  • 101 в десятичном формате
  • 101 в шестнадцатеричном формате и 257 в десятичном формате
  • 101 в восьмеричном и 65 в десятичном

??

Как видите, количество, которое представляет число 101, сильно различается в зависимости от используемой базы. Чтобы избежать этой двусмысленности, мы добавляем префиксы к числам, чтобы идентифицировать их основу.

  • Десятичное число не имеет префикса.
  • Шестнадцатеричное число имеет префикс Ox, например: Ox1B
  • Octal имеет префикс O, например: O421
  • Двоичный файл имеет префикс Ob, например: Ob1101

Некоторые люди вместо этого используют суффикс, но они не так популярны:

  • Десятичное число не имеет суффикса.
  • Шестнадцатеричное число имеет суффикс H, например: 1BH
  • Octal имеет суффикс O, например: 421O
  • Двоичный файл имеет суффикс B, например: 1101B

Примечание: для префиксов и суффиксов выше это заглавная буква, а не ноль.

В большей части этого руководства я не буду использовать префиксы, а укажу базу напрямую, чтобы было понятнее.

Справочная таблица

Вот справочная таблица для различных систем счисления.

Десятичный Двоичный Восьмеричный Шестнадцатеричный
0 0000 0 0
1 0001 1 1
2 0010 2 2
3 0011 3 3
4 0100 4 4
5 0101 5 5
6 0110 6 6
7 0111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 А
11 1011 13 Б
12 1100 14 С
13 1101 15 Д
14 1110 16 Э
15 1111 17 Ф

Вы заметите, что в двоичном файле есть шаблон.Крайний правый столбец чередуется между 0 и единицей. Следующий столбец делает то же самое, но по 2 за раз. Третий столбец делает то же самое, но по 4 за раз. Крайний левый столбец делает то же самое, но по 8 за раз. Этот шаблон упрощает проверку правильности написания.

Если вы сдаете экзамен по двоичному коду, вам часто не разрешают сдавать материал, но ничто не мешает вам самостоятельно нарисовать эту таблицу после начала экзамена. Это может быть хорошим справочным материалом, особенно для конверсий, которые мы рассмотрим в следующем разделе.

Совет

Этот материал может быть немного сложным для понимания. Если вы обнаружите, что чтение материала утомляет вас, вот что я предлагаю:

  • Работа с примерами на бумаге. Изучение двоичного кода похоже на езду на велосипеде. Лучший способ — просто сделать это.
  • Оставьте это на день или два, затем вернитесь и попробуйте еще раз.

Простая математика, лежащая в основе алгоритмов преобразования десятичных чисел в двоичные

Если вы поищете в Интернете «Как преобразовать десятичные числа в двоичные», вы найдете четыре простых алгоритма: два для целых чисел и два для дробей.Они представлены на примерах ниже в первой части статьи. Но хотя почти всегда достаточно просто знать алгоритмы, я решил попытаться понять, почему они работают. Во второй части этой статьи объясняется самая основная математика, стоящая за каждым из них. Знание этого может помочь вам вспомнить любой из алгоритмов, если вы вдруг забудете их. Я настоятельно рекомендую вам взять блокнот и ручку и выполнять операции вместе со мной, чтобы лучше запомнить математику. Вот четыре алгоритма с примерами, которые вы можете найти в Интернете.

Преобразование десятичного целого числа в двоичное

Чтобы преобразовать целое число в двоичное, начните с рассматриваемого целого числа и разделите его на 2, обращая внимание на частное и остаток. Продолжайте делить частное на 2, пока не получите частное, равное нулю. Затем просто выпишите остатки в обратном порядке.

Вот пример такого преобразования с использованием целого числа 12.
Сначала разделим число на два, указав частное и остаток:

Теперь осталось просто выписать остаток в обратном порядке — 1100 .Итак, 12 в десятичной системе представляется как 1100 в двоичной.

Преобразование десятичной дроби в двоичную

Чтобы преобразовать дробь в двоичную, начните с рассматриваемой дроби и умножьте ее на 2 , обращая внимание на полученную целую и дробную части. Продолжайте умножать на 2, пока не получите в результате дробную часть, равную нулю. Затем просто выпишите целые части из результатов каждого умножения.

Вот пример такого преобразования с использованием дроби 0,375 .

Теперь просто выпишем полученную целую часть на каждом шаге — 0,011 . Итак, 0,375 в десятичной системе представляется как 0,011 в двоичной.

Только дроби со знаменателем, равным степени двойки, могут быть конечно представлены в двоичной форме. Например, знаменатели 0,1 (1/10) и 0.2 (1/5) не являются степенями двойки, поэтому эти числа не могут быть конечно представлены в двоичном формате. Чтобы сохранить их как числа с плавающей запятой IEEE-754, их необходимо округлить до количества доступных битов для мантиссы — 10 бит для половинной точности, 23 бита для одинарной точности или 52 бита для двойной точности. В зависимости от того, сколько битов точности доступно, приближения с плавающей запятой 0,1 и 0,2 могут быть немного меньше или больше, чем соответствующие десятичные представления, но никогда не равны.Из-за этого у вас никогда не будет 0,1+0,2 == 0,3.

Преобразование двоичного целого числа в десятичное

Чтобы преобразовать двоичное целое число в десятичное, начните слева. Возьмите текущую сумму, умножьте ее на два и добавьте текущую цифру. Продолжайте до тех пор, пока не останется цифр. Вот пример такого преобразования с использованием дроби 1011 .

Преобразование целой дроби в десятичную

Чтобы преобразовать двоичную дробь в десятичную, начните справа с суммы 0.Возьмите текущую сумму, добавьте текущую цифру и разделите результат на 2. Продолжайте, пока не останется больше цифр. Вот пример такого преобразования с использованием дроби 0,1011 . Я просто заменил деление на 2 на умножение на 1/2 .

Вот вам 4 простых алгоритма, которые позволят вам преобразовывать двоичные числа в десятичные и обратно.

Расширение числа по основанию q

Ключом к пониманию того, почему эти алгоритмы работают, является расширение числа по основанию q числа.Целое число в любой системе счисления может быть представлено в следующей форме:

где

  • N — целое число
  • x — система с основанием 1-109 9051 0–908. , 0 и 1 для системы с основанием 2)
  • q — базовое значение (10 для системы с основанием 10, 2 для системы с основанием 2 )
  • 5 В этой статье эта форма называется расширением base q числа N , или просто расширением base q . Посмотрим, как выглядит число 12 в десятичной и двоичной системах счисления:

    Аналогично дробное число в любой системе счисления можно представить в следующем виде:

    где,

    • 3 — это дробь
    • x x (10 для системы с основанием 10, 2 для системы с основанием 2)

    Для номера 0.375 в десятичной и двоичной системах представление следующее:

    Преобразование десятичного целого числа в двоичную

    Как оказалось, мы можем использовать эту форму расширения base-q для преобразования числа из десятичной системы в двоичную. . Сделаем это для того же номера 12 . Во-первых, давайте притворимся, что мы не знаем, как оно представлено в двоичном формате, и запишем его, заменив неизвестные цифры на x :

    Наша задача — найти все x .Давайте посмотрим, что мы можем здесь сделать. Первое, что нам нужно здесь заметить, это то, что все слагаемые, кроме последнего, будут четными числами, потому что все они кратны двум. Теперь, используя эту информацию мы можем сделать вывод цифры для x0 x0 , если целое число преобразовано даже, то x0 равны 0 , если нечетное — то x0 должно быть 1 .Здесь у нас четное число 12, поэтому x0 равно нулю. Давайте запишем эту информацию:

    Далее нам нужно найти значение для x1 . Поскольку все слагаемые от x1 x1 до до xn xn 9 9 9 — это многократные из двух, мы можем факторировать 2 , чтобы выделить x1 .Сделаем так:

    Также легко увидеть, что сумма значений в скобках равна 6 . Итак, мы можем записать наш первый шаг как:

    Давайте продолжим находить оставшиеся x . Мы можем записать многочлен внутри скобок как отдельное утверждение:

    Здесь, применяя ту же логику, что и выше, мы можем видеть, что x1 равно 0 .Давайте перепишем его и снова вынесем 2:

    Итак, наш второй шаг:

    Теперь мы можем увидеть закономерность. Мы можем продолжать разлагать 2 , пока частное не станет равным нулю. Давайте последуем этой схеме и посмотрим, что у нас получится.

    Поскольку частное равно 1, осталось только одно слагаемое, поэтому перепишем предыдущее выражение:

    Итак, наш третий шаг:

    Итак, мы получаем следующее:

    Понятно, что x3 равно 1 .Но, поскольку для нашего алгоритма нам нужно частное, давайте перепишем предыдущее выражение так, чтобы оно имело частное:

    Поскольку в итоге мы получаем частное 0 , больше не с чем работать, и это был наш последний шаг. Запишем:

    Итак, мы закончили преобразование. Вот как выглядит наше преобразование по шагам:

    Теперь понятно, что остаток на каждом шаге соответствует значению x на соответствующих позициях: первый остаток соответствует первому x, второй остаток второму х и так далее.Так число 12 в двоичном виде с помощью описанного выше алгоритма представляется как 1100 .

    Помните, что мы начали с идеи показать, почему работает алгоритм, включающий погружение на 2 . Давайте выполним шаги, описанные выше, и переместим 2 в левую часть выражений:

    Таким образом, вы можете увидеть, как мы пришли к алгоритму, описанному в начале.Мы также можем поместить вычисления для этих четырех шагов в одно представление, подобное этому

    . Убедитесь, что вы понимаете, как мы пришли к этому представлению, так как оно понадобится нам при изучении того, как работает алгоритм преобразования из двоичного в десятичный.

    Преобразование десятичной дроби в двоичную

    Чтобы показать, почему мы умножаем на 2 и берем целую часть при преобразовании дробей в двоичную, я также буду использовать форму расширения по основанию q для дробей. Я собираюсь использовать дробное число 0.375 из первой части статьи. Аналогично целой части, давайте представим, что мы не знаем, как это число представлено в двоичном виде, и запишем его, заменив неизвестные цифры на x :

    Как и в случае с целыми числами, наша задача состоит в том, чтобы найти все x путем выделения x . Давайте посмотрим, как мы можем это сделать. Первое, на что следует обратить внимание, это то, что отрицательные степени числа 2 дают нам дроби со знаменателем числа 2 с положительными степенями.Давайте перепишем приведенное выше выражение:

    Сразу видно, что мы можем просто вынести 1/2 в правой части выражения. Давайте сделаем так:

    и тогда мы можем переместить 1/2 в левую часть

    Хорошо, здесь мы выделили x1 1 или 0 . Чтобы определить, какая у него цифра, давайте посмотрим на оставшиеся слагаемые:

    Давайте подумаем, насколько большой может быть сумма этих чисел.Если максимальное количество x цифр равно 1, то мы можем просто заменить x на 1 и записать сумму как:

    Хорошо, это геометрический ряд дробей, и сумма такой ряд лежит в границах [0 < сумма < 1], поэтому максимальное число, которое может дать такая сумма, равно 1. Теперь снова посмотрим на наше выражение:

    Теперь здесь должно быть ясно, что если правая часть меньше чем 1, то x1 x1 x1 475 .

    Именно так выглядит первый шаг алгоритма, представленного в начале:

    Отнимем дробную часть от 0,75 и вынесем еще 1/2 , чтобы выделить x2 3 3 3: 9

    и MOVE 1/2 1/2 Слева:

    Теперь, если x2 x2 x2 равны 0 , то сумма левой стороны выражения не может быть больше чем 1 , но левая сторона 1.5 , поэтому x1 должно быть 1 , а оставшаяся часть 0,5 . Запишем:

    Опять же, по схеме алгоритма, представленного в начале:

    Повторим те же действия для оставшейся дробной части 0,5 .

    Используя ту же логику, что и выше, мы можем видеть, что x3 равно 1 и нет оставшейся дробной части:

    Поскольку оставшаяся дробная часть вот как выглядит наш последний шаг:

    Итак, давайте еще раз выпишем все шаги:

    Это именно тот алгоритм, который я представил в начале.Точно так же, как мы делали с целыми числами, мы также можем поместить вычисления для этих трех шагов в одно представление, например:

    Опять же, важно, чтобы вы полностью усвоили это представление, так как оно понадобится нам при изучении двоичного преобразования в десятичное.

    Почему не все дроби могут быть конечно представлены в двоичной системе

    Тот факт, что некоторые дроби, представленные конечно в десятичной системе, не могут быть представлены конечно в двоичной системе, является неожиданностью для многих разработчиков.Но именно эта путаница лежит в основе кажущегося странным результата прибавления 0,1 к 0,2. Так что же определяет, может ли дробь быть конечно представлена ​​в системе счисления? Ну, чтобы число было представлено конечно, знаменатель дроби должен быть степенью основания системы. Например, для системы с основанием 10 знаменатель должен быть степенью 10, поэтому мы можем конечно представить 0,625 в десятичном виде:

    и не можем конечно представить 1/3:

    То же самое касается основания- 2 система:

    Но если мы проверим 0.1, знаменатель равен 10, и это не степень числа 2, поэтому 0,1 будет бесконечной дробью в двоичной системе. Давайте посмотрим на это, используя алгоритм, который мы изучили выше:

    Мы можем продолжать делать это бесконечно, но давайте запишем это как периодическую цепную дробь:

    Преобразование двоичного целого числа в десятичное

    Я собираюсь использовать то же двоичное целое число 1011 из первого раздела, чтобы показать вам, почему работает алгоритм умножения на 2. Здесь мы также будем использовать расширение base-q от числа .Давайте запишем это в такой форме:

    Поскольку все слагаемые кратны 2 , мы можем продолжать выносить 2 до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Давайте сделаем так:

    Теперь, если вы просто будете следовать порядку математических операций, вы получите точно такие же шаги, как я показал в начале, а именно:

    Таким образом, 1011 в двоичном виде 11 в десятичном формате.

    Преобразование двоичной дроби в десятичную

    Вот мы и подошли к последнему алгоритму.Наверное, вы уже сами разобрались с механикой, стоящей за этим. Если нет, давайте посмотрим, почему это работает. Расширение base-q от числа также является ключевым здесь. Число 0,1011 возьмем из первого раздела. Запишем его в расширенной форме:

    Опять же, поскольку все слагаемые кратны 1/2 , мы можем продолжать выносить 1/2 до тех пор, пока не останется дробной части.Сделаем так:

    Следуя порядку математических операций, получается алгоритм, описанный в начале:

    Таким образом, 0,1011 в двоичном виде равно 0,6875 в десятичном.

    2.3: Двоичные числа — Математика LibreTexts

    1. Последнее обновление
    2. Сохранить как PDF
      1. 1 ← 2 правило
      2. Проблема 7
      3. Определение и обозначение 9
      4. Определение и обозначение
      5. Думайте / Пара / Поделиться
      6. История

      Давайте вернемся к 1 ← 2 правило и проверьте, что на самом деле происходит.

      Правило 1 ← 2

      Всякий раз, когда в одной ячейке есть две точки, они «взрываются», исчезают и становятся одной точкой в ​​ячейке слева.

      Две точки в крайнем правом поле приравниваются к одной точке в следующем поле слева.

      Если каждая из исходных точек стоит «один», то единственная точка слева должна стоить два.

      Но у нас также есть две точки в ячейке со значением 2, которые стоят одну точку в ячейке слева…

      Значит, следующая коробка должна стоить две двойки, то есть четыре!

      И две из этих четверок составляют восемь.

      Ранее мы сказали, что код 1 ← 2 для девяти точек равен 1001. Давайте проверим:

      \[8 + 1 = 9\]

      так что это работает!

      Вы должны были обнаружить, что десять точек имеют 1 ← 2 кода 1010.

      Ага!

      \[8 + 2 = 10 \ldotp\]

      Проблема 7
      1. Если бы слева от поля 8 стояло поле, каким было бы значение этого поля?
      2. Чему будет равна коробка на два места слева от коробки 8? На три точки левее?
      3. Какое число имеет 1 ← 2 код 100101?
      4. Какой код 1 ← 2 для двухсот точек?
      Определение и обозначения

      Числа, записанные в коде 1 ← 2, называются двоичными числами или числами по основанию 2 .(Приставка «би» означает «два».)

      С этого момента, когда мы хотим указать, что число записано с основанием два, мы будем писать индекс «два» на числе.

      Таким образом, \(1001_{два}\) означает «количество точек, которые имеют 1 ← 2 кода 1001», что мы уже видели, равно девяти.

      Важно! Когда мы читаем, мы говорим «один ноль ноль один с основанием два». Мы не говорим «тысяча и один», потому что «тысяча» — не двоичное число.

      Подумай / Соедини / Поделись
      1. Ваша первая цель: придумать общий метод для нахождения количества точек, представленных любым двоичным числом.Четко опишите свой метод. Проверьте свой метод на этих числах и проверьте свою работу, фактически «не взорвав» точки. $$1_{два} \qquad 101_{два} \qquad 1011_{два} \qquad 11111_{два}$$
      2. Объясните, почему двоичные числа содержат только цифры 0 и 1.
      3. Вот новая (более сложная) цель: придумать общий метод для нахождения двоичного числа, относящегося к любому количеству точек , без фактического прохождения процесса «взрывающейся точки» . Четко опишите свой метод.Проверьте свой метод на этих числах и найдите способ проверить свою работу.

      две точки = ___ две семнадцать точек = ___ две

      шестьдесят три точки = ___ две сто точек = ___ две

      История

      Вы, наверное, уже поняли, что число — это абстрактное понятие, имеющее множество представлений. Стандартное десятичное представление числа является лишь одним из них. Для компьютеров числа всегда представлены в двоичном виде.Базовыми блоками являются транзисторы, которые либо включены (1), либо выключены (0).

      Электронная плата от Samsung Galaxy S III.

      Говорят, что транзистор [1] хранит один бит информации. Восемь бит составляют байт, и центральный процессор типичного домашнего компьютера выполняет вычисления с реестрами, каждый из которых состоит из 8 байтов (64 бита).

      Используя правило 1 ← 2, мы можем представить числа от 0 до 18 446 744 073 709 551 615 с помощью 64 бит.


      1. Изображение печатной платы из http://www.publicdomainpictures.net/, под лицензией CC0 Public Domain .

      Некоторые полинезийские островитяне объединили двоичную и десятичную математику

      Два примера Лейбница для двоичной записи и вычисления. Авторы и права: (c) PNAS , опубликовано в Интернете перед печатью 16 декабря 2013 г., doi: 10.1073/pnas.13010

      (физ.org) — Когда мы думаем о двоичной математике, мы думаем о компьютерах. Система счисления, состоящая всего из двух цифр, делает расчеты быстрыми и легкими. Однако двоичные числа могут быть очень длинными и поэтому громоздкими. Хотя двоичные числа могут быть полезны для машин, десятичные числа короче и удобнее для людей. Система, которая сочетает в себе преимущества базы 2 и базы 10, может быть идеальной. Андреа Бендер и Зигхард Беллер из Бергенского университета в Норвегии обнаружили, что мангареванцы Французской Полинезии использовали такую ​​гибридную систему по крайней мере 500 лет назад.Их исследование опубликовано в Proceedings of the National Academy of Sciences .

      Готфрид Лейбниц представил двоичные числа западному миру в 18 веке, провозгласив их практические преимущества и указав, что изучение двоичных таблиц сложения и умножения будет намного проще, чем изучение десятичных. Тем не менее, хотя двоичная система стала основой для компьютеров, двоичные числа так и не вошли в повседневную западную жизнь.Мы привыкли к десятичной системе — в конце концов, у нас 10 пальцев на руках и ногах — и хотя у системы с основанием 2 могут быть свои преимущества, эти длинные цепочки из единиц и нулей кажутся неестественными.

      Сотни лет назад жители острова Мангарева во Французской Полинезии разработали способ использования двоичной математики, избавляя при этом от проблемы длинных чисел. Они сделали это, объединив двоичную систему с десятичной. Бендер и Беллер узнали об этой системе, изучая мангареванский язык и исторические записи мангареванцев.

      Полинезийцы, прибывшие в Мангареву более 1000 лет назад, использовали десятичную систему, как и другие полинезийцы. Однако к 1450 году нашей эры мангареванцы использовали систему, сочетающую 10 и 2 основания. В мангареванском языке есть слова для чисел от 1 до 9, как и во всех десятичных системах. После этого система превращается в бинарную, со словами на 10, 20, 40 и 80.

      Эта смешанная система упрощает арифметику в уме, но не затрудняет выражение больших чисел.Исследователи считают, что гибридная система сыграла полезную роль в мангареванской культуре, где люди часто торговали большими количествами товаров или предлагали их в качестве дани. Мангаревцы использовали свою систему для подсчета предметов, считавшихся очень ценными, включая кокосы, рыбу и осьминогов.

      Сегодня мангареванскому языку грозит исчезновение. Количество говорящих сократилось примерно с 1600 в 1987 году до 600 в 2011 году, несмотря на то, что население острова остается стабильным. Мангареванцы переняли арабские цифры и десятичную систему счета, используемые большей частью мира.


      Сумма цифр простых чисел распределена равномерно
      Дополнительная информация: Мангареванское изобретение двоичных шагов для упрощения вычислений, PNAS , опубликовано в Интернете перед печатью 16 декабря 2013 г., DOI: 10.1073/пнас.13010

      Реферат
      Когда Лейбниц еще в 1703 году продемонстрировал преимущества двоичной системы вычислений, он заложил основы вычислительных машин. Однако подходит ли бинарная система и для человеческого познания? Одна из двух систем счисления, традиционно используемых на Мангареве, маленьком острове во Французской Полинезии, имела три двоичных разряда, наложенных на десятичную структуру. Здесь мы покажем, как работает эта система, как она упрощает арифметику и почему она уникальна.Изобретение мангареванцами бинарных шагов за столетия до их формального описания Лейбницем свидетельствует о возможных достижениях в области счета даже при отсутствии обозначений и тем самым подчеркивает роль культуры в эволюции и разнообразии числового познания.

      © 2013 Физ.организация

      Цитата : Некоторые полинезийцы объединили двоичную и десятичную математику (17 декабря 2013 г.) получено 3 марта 2022 г. с https://физ.org/news/2013-12-polynesian-islanders-combined-binary-decimal.html

      Этот документ защищен авторским правом. Помимо любой добросовестной сделки с целью частного изучения или исследования, никакие часть может быть воспроизведена без письменного разрешения. Контент предоставляется только в ознакомительных целях.

      №504: Эфиопская двоичная математика

      Сегодня колдун практикует компьютер арифметика. Колледж Университета Хьюстона Engineering представляет серию о машинах которые заставляют нашу цивилизацию работать, а людей чья изобретательность создала их.

      Сцена удаленная Эфиопская деревня в 1940 году.Фермер предлагает свое стадо Продам 34 коз. Одна коза стоит, скажем, 7 долларов. Сельские жители не умеют умножать, поэтому они вызвать шамана. Они просят его установить справедливую цену для всего стада.

      Шаман выкапывает в твердом грунте два ряда ямок. сухая земля. Он лезет в свой мешок с камешками и идет работать.Он кладет 34 камня в первую лунку слева — по одному на каждую козу. Он кладет половину то или 17, в следующем — половина 17, или 8, в далее — и так далее. Он продолжает делить на два и отбрасывая остаток, пока шестое отверстие не только один камень в нем.

      Теперь он идет в другой ряд. Он кладет 7 камней… стоимость одного козла — в первой норе.Он кладет в два раза больше, или 14 камней в следующую лунку, и так далее. на. Теперь начинаются его размышления.

      Он спускается по левой стороне, наблюдая, дыры это хорошо или плохо. Четное количество камней делает дыру злой. Нечетное число делает его хорошим. Две дырки это хорошо. Отверстия рядом с ними, в правый ряд, содержит 14 камней и 224 камня.Он складывает эти числа вместе. Результат — ярмарка рыночная стоимость стада. Это 238 долларов.

      Мы с вами знаем об умножении. Итак, мы умножаем количество овец, по стоимости овцы — 7 умножить на 34. Когда мы это сделаем, мы получим 238 долларов. Но это как раз то, что получил шаман! Так что в мире было все дело в дырках? И получит ли он правильный ответ с разными номерами?

      Пробуем с другими числами.Это работает каждый раз. Итак, обратимся к математику. Он говорит, что это не в все очевидно. Он долго ломает голову. Наконец он видит это. Этот эфиопский шаман создал замечательный алгоритм.

      Все это дело с дырками идентифицирует числа в их двоичной форме. Это позволяет шаману свести умножение к простому сложению.Он умножается точно так же, как это делает цифровой компьютер. Откуда взялся его метод? Как долго его предки несли эту заученную традицию?

      Анонимный гений таится где-то в тумане его история. Итак, мы смотрим на наше собственное умножение и осознаем, что мы тоже используем ритуал, чтобы найти то, что 7 раз 34 есть.Это не имеет больше смысла для большинства людей кто его использует, чем шаманские норы. Наш Алгоритм умножения также был дан нам анонимный гений. Он также потерян в памяти традиция.

      Так чем же мы отличаемся от этого эфиопского шамана? Очень немного, я считаю. Действительно очень мало. Конечно я не удивлюсь, если он будет делать меньше ошибок чем мы.

      Я Джон Линхард из Хьюстонского университета. где нас интересует, как изобретательные умы работай.

      (Музыкальная тема)

      Карри, В.С., Двойной файл в каменном веке. Геофизика: передовой край Разведка , март 1985 г., с.50-52.

      Шаманское умножение 7 х 34:

                ряд №1 ряд №2 расчет
      
      
      
      
      
           34 камня (зло) 7 зло 0
      
      
           17 (хорошо) 14 хорошо 14
      
      
            8 (зло) 28 зло 0
      
      
            4 (зло) 56 зло 0
      
      
            2 (зло) 112 зло о
      
      
            1 (хорошо) 224 хорошо 224
      
      
                                              ________
      
      
                                                   238 = 7 х 34
       
      Двигатели нашей изобретательности Copyright © 1988-1997 Джон Х.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.